1、2022-4-301隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 第第 二二 章章隨隨 機機 變變 量量 及及 其其 分分 布布2022-4-302隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 定義：設(shè)定義：設(shè)E E的樣本空間為的樣本空間為W W，對于每一個樣本點，對于每一個樣本點w Ww W，都有唯一實數(shù)，都有唯一實數(shù)X(w)X(w)與之對應(yīng)與之對應(yīng), ,且對于任意實且對于任意實數(shù)數(shù)x x，事件，事件 w| X(w) x w| X(w) x 都有確定的概率，則稱都有確定的概率，則稱X(w) X(w) 為隨機變量，簡記為為隨機變量，簡記為X. X. 摸彩賭博摸彩賭博 2022-4-303隨機變量的分布函數(shù)隨機

2、變量的分布函數(shù) 注注:（1分布函數(shù)分布函數(shù)F( x )的函數(shù)值表示事件的函數(shù)值表示事件“隨機點隨機點X落在落在(, x 內(nèi)的概率內(nèi)的概率.OxxX （2） F( x )的改變量的改變量 DF = F( x +Dx) - F( x ) = Px X x +Dx 是事件是事件“隨機點隨機點X落在落在(x , x +Dx 內(nèi)概率內(nèi)概率.Oxxx+DxX2022-4-304隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 摸彩試驗摸彩試驗例如例如射擊試驗射擊試驗儀器壽命問題儀器壽命問題 隨機變量的好處：隨機變量的好處：(1)(1)將樣本空間數(shù)值化、變量化將樣本空間數(shù)值化、變量化( (但不同于通常變量但不同于通常變

3、量) )，(2)(2)可以完整地描述隨機試驗可以完整地描述隨機試驗, ,(3)(3)可以借用其它高數(shù)工具來解決隨機問題可以借用其它高數(shù)工具來解決隨機問題. .2022-4-305隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì):（1） F( x ) 為單調(diào)不降函數(shù)，為單調(diào)不降函數(shù)， 即若即若 x1 x2 ，則，則有有F( x1 ) F( x2 ) .（2） 0F( x ) 1，且，且limF( x ) = 0 , limF( x ) = 1 .x-x+（3） F( x ) 是右連續(xù)函數(shù)，是右連續(xù)函數(shù)， 即即F( x +0 ) = F( x ) . 分布函數(shù)的性質(zhì)可以分布函數(shù)的

4、性質(zhì)可以 用來確定某一函數(shù)是否為一用來確定某一函數(shù)是否為一個隨機變量的分布函數(shù)，還可以用來求解分布函數(shù)個隨機變量的分布函數(shù)，還可以用來求解分布函數(shù).分布函數(shù)的確定分布函數(shù)的確定例如例如2022-4-306例例1 1 一個莊家在一個簽袋中放有一個莊家在一個簽袋中放有8 8個白、個白、8 8個黑的圍棋子。個黑的圍棋子。規(guī)定：每個摸彩者交一角錢作規(guī)定：每個摸彩者交一角錢作“手續(xù)費手續(xù)費”，然后從，然后從 一一個袋中摸出五個棋子個袋中摸出五個棋子, ,按下面按下面“摸子中彩表給摸子中彩表給“彩金彩金”。摸到摸到五個白五個白四個白四個白三個白三個白其它其它彩金彩金2元元1元元5角角共樂一次共樂一次解：用

5、解：用“i ”表示摸出的五個棋子中有表示摸出的五個棋子中有 i 個白子，則試驗個白子，則試驗的樣本空間為的樣本空間為W = 0，1，2，3，4，52022-4-307 用用Y (Y (單位單位: :元元) )表示賭徒摸一次得到的彩金，則表示賭徒摸一次得到的彩金，則有有Y ( i ) = 0，i = 0，1，2Y ( 3 ) = 0.5， Y ( 4 ) =1，Y ( 5 ) = 2 Y是定義在是定義在W上的隨機變量，對于每一個上的隨機變量，對于每一個 i ，都有，都有一個實數(shù)與之對應(yīng)。一個實數(shù)與之對應(yīng)。 并且并且 5001. 0 0128. 01282. 03589. 012 , 1 , 00

6、= =- - - -= = = =PYP0128. 05251658= = = = =CCPYP1282. 0415164818= = = = =CCCPYP3589. 035. 05163828= = = = =CCCPYP2022-4-308 對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x x，Y(w) x Y(w) x 實際表示一個隨實際表示一個隨機事件，從而有確定的概率。機事件，從而有確定的概率。例如例如1)(5= = =W WPYP9872. 00128. 014 , 3 , 2 , 1 , 02 . 1= =- -= = =PYP0)(5 . 0= = =- -PYPf f 總結(jié)：從本例中可看到，隨機

7、變量總結(jié)：從本例中可看到，隨機變量Y完整地描述完整地描述了試驗的全過程，而不必對每一個事件進行重復(fù)討論。了試驗的全過程，而不必對每一個事件進行重復(fù)討論。進一步，我們可以把高等數(shù)學(xué)工具用在對隨機試驗的進一步，我們可以把高等數(shù)學(xué)工具用在對隨機試驗的分析。分析。2022-4-309例例2.2.一袋中有依次標(biāo)有一袋中有依次標(biāo)有-1-1、2 2、2 2、2 2、3 3、3 3數(shù)字的六個數(shù)字的六個球，從中任取一球，試寫出球上號碼球，從中任取一球，試寫出球上號碼X X 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解：由題意有解：由題意有313,212,61 1= = = = = =- -= =XPXPXP當(dāng)當(dāng)x -1時時,F(

8、x) = P Xx = P(f ) = 0。x-123xX2022-4-3010當(dāng)當(dāng)-1 x 2時時,F(x) = PXx = PX = - 1 = 1/6 。x-123xX當(dāng)當(dāng)2 x 3時時,F(x) = P Xx = PX = - 1 + PX = 2 =2/3 。x-123xX當(dāng)當(dāng)3 x 時時,F(x) = PXx = P W = 1 。x-123xX2022-4-3011綜上所述綜上所述,可得可得 - - - = =313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1 這是一個右連續(xù)的單調(diào)不降階梯函數(shù)，在不連續(xù)點這是一個右連續(xù)的單調(diào)不降階梯函數(shù)，在不連續(xù)點處的階躍值恰為處的

9、階躍值恰為PX=k, k=-1,2,3。2022-4-3012例例3.3.一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2 2米的圓盤米的圓盤, ,設(shè)擊中靶上任一同心設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X X 表示彈著點與圓心的距離。試求表示彈著點與圓心的距離。試求X X 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解：由題意有解：由題意有當(dāng)當(dāng)x 0時時, F(x) = P Xx = P( f ) = 0。當(dāng)當(dāng)x 2時時, F(x) = P Xx = P( W ) = 1。 當(dāng)當(dāng)0 x 2時時, 由題意知由題意知 P 0 Xx = k x2 其中其中

10、k為一常數(shù)。為一常數(shù)。Xx2022-4-3013 由題意可得由題意可得 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 。x1O2從而有從而有 F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx =241x所以分布函數(shù)為所以分布函數(shù)為: 0 l 0 為一常數(shù)為一常數(shù), ,試寫試寫出電子管的壽命出電子管的壽命T T 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解：由題意解：由題意 當(dāng)當(dāng)t 0，由題設(shè)條件有，由題設(shè)條件有 P T t + Dt |T t = lDt + o(Dt ), F( t + Dt ) = PT t + Dt = PT t + Pt T t + Dt

11、從而有從而有 DF = F( t + Dt ) - F( t ) = Pt T t + Dt 2022-4-3015又因為又因為 t t T t t T t + Dt t + Dt DF = PT t PT t + Dt | T t =1 - F(t )lDt + o(Dt )求解方程得分布函數(shù)求解方程得分布函數(shù). 0, 0; 0,e1)( - -= =- -tttFtl l令令 Dt 0時，得到關(guān)于函數(shù)時，得到關(guān)于函數(shù)F(t )的微分方程的微分方程= =- -= =0)0()(1 )(FtFdttdFl l2022-4-3016解：解：例例5.5.隨機變量隨機變量X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為xeex11xxF = =d;a)(dcxxbx+ + +ln 0FxFx= =- -