1、1第八節(jié)第八節(jié) 常系數(shù)常系數(shù)非齊次非齊次 線性微分方程線性微分方程小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)xxPexflx cos)()( 型型)()(xPexfmx 型型sin)(xxPn 非齊次非齊次第七章第七章 微分方程微分方程2方程方程對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程方程0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm Yy)(xf難點(diǎn)難點(diǎn)方法方法二階二階常系數(shù)常系數(shù)非齊次非齊次線性線性的的類類型型)(xf y yY次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是mxPm)( qyypy二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程型型一、一、)()(xPexf

2、mx 如何求如何求非齊次非齊次方程特解？方程特解？待定系數(shù)法待定系數(shù)法.3設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為)(xQy 求導(dǎo)代入原方程求導(dǎo)代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根是特征方程的單根若若 )2( )(xQ可可設(shè)設(shè)xmexxQy )( xmexQy )( xe )(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmexPqyypy )( m0 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 0 0 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程4是特征方程的重根是特征方程的重根若若 )3(

3、 )(xQ可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) kxmexQxy )(2 注注)(xQm2x)(xPeqyypymx )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 1020 0 上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程(k是重根次數(shù)是重根次數(shù)).不是根不是根是單根是單根是重根是重根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程5.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是單根，是單根，2 y設(shè)設(shè)

4、例例(1) 求對(duì)應(yīng)求對(duì)應(yīng)齊次齊次方程的通解方程的通解(2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解此題此題.)()(2型型屬屬于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xxe2?二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程6代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,將將 yYyxexx2)121( 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程通解方程通解xxeCeCY221 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分

5、方程7.323的通解的通解求方程求方程xeyyy 解解對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY231 (1) 求對(duì)應(yīng)求對(duì)應(yīng)齊次齊次方程的通解方程的通解此題此題.)()(3型型屬屬于于xmxexPexf 其中其中, 0 m. 3 )3(是是單單根根 (2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解 y設(shè)設(shè)1992年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 6分分xxAe3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程8代入方程代入方程, yyy,將將.323的通解的通解求方程求方程xeyyy ,41 Axxey341 原方程通解為原方程通解

6、為 yYyxxeCeC231 xxe341 xxAey3 設(shè)設(shè)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程通解方程通解xxeCeCY231 得得二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程9( ) ( )cos( )sinxnlf xeP xxP xx二、型sincos)(xPxPexfnlx 2xixilxeePe xinleiPP)()22( xiexP)()( ,)()(xiexPqyypy 設(shè)設(shè)ximkeQxy)(1 歐拉公式歐拉公式2ieePxixin xinleiPP)()22( xiexP)()( 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程10是單根是單根 i,)()(xiex

7、Pqyypy 設(shè)設(shè)ximkeQxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm nlm,max kximximxkeQeQex 歐拉公式歐拉公式 )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 不不是是根根 i 01,次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式m注注 上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次階常系數(shù)非齊次線性微分方程線性微分方程.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程11.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xCxCYsincos2

8、1 例例(1) 求求對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解這是二階常系數(shù)非齊次線性方程這是二階常系數(shù)非齊次線性方程.且且 .sin)(cos)()(型型屬于屬于xxPxxPexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程12xCxCysincos21 (2) 求求非非齊次齊次方程方程 xyysin4 i故設(shè)故設(shè)代入方程代入方程,比較系數(shù)比較系數(shù).得得xxycos2 這里這里i 0Asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根i

9、r 非齊次方程特解為非齊次方程特解為是特征根是特征根.原方程通解為原方程通解為B xcos 的特解的特解.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程13 1989年考研數(shù)學(xué)二年考研數(shù)學(xué)二, 7分分 xttftxxxf0,d)()(sin)(設(shè)設(shè)解解 )(xf xcos xttfx0d)(cos兩端再對(duì)兩端再對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得 )(xf積分方程積分方程 微分方程微分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x積分方程積分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 這是二階

10、常系數(shù)非齊次線性方程這是二階常系數(shù)非齊次線性方程.)(sinxfx 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中其中 f 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù),求求f (x).14即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(為為未未知知函函數(shù)數(shù)其其中中xfy 初始條件初始條件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 xttfxxf初始條件初始條件, 1)0( f .sin)(cos)(型型自由項(xiàng)屬于自由項(xiàng)屬于xxPxxPenlx , 0( 其中其中, 1 , 0)( xPl)1)( xPn001 11000; 0)0( y即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,

11、d)()(sin)(設(shè)設(shè),為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)其其中中f).(xf求求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)(15.sincos21xCxCY 其通解其通解(1)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次齊次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為 xAcossin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 則則方程的通解為方程的通解為xCxCysincos21 xxcos21 由初始條件由初始條件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始條件初始條件, 0)0( y. 1)0( y二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 16三、小結(jié)三、小結(jié))()()1(xPexfmx )(xQexymxk sin)(cos)()()2(xx