1、建模方法的選擇劉永貴賀曉東（永城職業(yè)學院476600）關(guān)鍵字：數(shù)學建模、數(shù)學模型、建模方法大家知道，數(shù)學最重要的一個特點是它的思維的抽象性、推理的嚴謹性和應(yīng)用的廣泛性。這是數(shù)學在其發(fā)展的漫長的歷程中漸漸形成的。它主要來自人們對生產(chǎn)和生活的需求。是對有關(guān)的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系的共性的抽象、升華從而形成了當今的數(shù)學。它為我們在更深的層次上認識世界提供了一條重要的方法。其抽象性和嚴謹性的特性也成為我們科學地思維和組織構(gòu)造知識的一個有效的方式。數(shù)學的廣泛應(yīng)用性也為各學科和人們的生產(chǎn)、生活以及社會活動在定量方面向深層次發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。但是在過去的時代由于各種原因，這個特點在人們的思想中反映得并不那么

2、充分。往往只把數(shù)學理解為訓練人們科學思維的一種工具，致使人們經(jīng)常感到學了大量的數(shù)學知識和方法卻不會用或者用不上。當前，在數(shù)學與其它科學技術(shù)及經(jīng)濟建設(shè)緊密結(jié)合變得更加需要和可能的今天，學術(shù)界在研究數(shù)學科學的技術(shù)基礎(chǔ)以及其對經(jīng)濟競爭力的作用時指出：“在經(jīng)濟競爭中數(shù)學是不可少的，數(shù)學科學是一種關(guān)鍵性的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)?！薄案呒夹g(shù)的出現(xiàn)把我們的社會推進到數(shù)學技術(shù)的時代”。數(shù)學的應(yīng)用特征在當今尤其顯得突出和重要。數(shù)學建模是應(yīng)用數(shù)學知識和計算機解決實際問題的一種行之有效的重要方法，而建模方法的選擇也可能使問題簡單或復(fù)雜，精確或粗放。請看下面幾個例子。例如十字路口的交通問題，為使路口的交通順暢，需要

3、制定一個路口的最佳交通流的控制方案?？梢允褂玫姆椒ê芏?，其中之一是將幾種不同的交通控制的設(shè)計方案交給交通隊進行實地試驗觀測，然后找出最優(yōu)的方案。很明顯，這種辦法不僅費時費力，而且還會造成該路口和臨近地區(qū)的交通混亂，以至根本無法執(zhí)行。另一種辦法就是由研究人員調(diào)查路口的車流規(guī)律，收集有關(guān)的數(shù)據(jù)資料，例如車流密度、車輛速度、大小以及路口狀況等，然后使用數(shù)學和統(tǒng)計學的方法手段提煉出這些量之間的關(guān)系，再使用計算機進行分析比較，這樣就可以找到最優(yōu)的控制管理方案。這種方法就是交通管理的數(shù)學模型。又比如生物醫(yī)學專家掌握了藥物濃度在人體內(nèi)隨著時間和空間的變化而變化的數(shù)學模型，就可以分析藥物的療效，從而有效地指導

4、醫(yī)院的臨床用藥。而廠長和經(jīng)理們掌握了工廠、企業(yè)的生產(chǎn)與銷售的數(shù)學模型，就可以用計算機控制生產(chǎn)和銷售以獲取盡可能高的經(jīng)濟效益，從而增強他們在經(jīng)濟活動中的競爭力。應(yīng)用數(shù)學知識及計算機去解決各種科學和社會生產(chǎn)活動中的實際問題時，首先要對實際問題進行分析研究，組建用來描述這種問題的數(shù)學模型，應(yīng)用數(shù)學的理論及方法或編程、計算，并對模型分析，繼而得到結(jié)果，然后回去解決實際問題。因此數(shù)學模型、數(shù)學建模是使用數(shù)學的理論知識及計算機解決實際問題的重要方法和手段。很多事實說明，掌握了數(shù)學知識只是解決實際問題的一個必要條件。在當今數(shù)學作為一種技術(shù)的手段的過程中應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力的培養(yǎng)更是特別重要的。尤其是數(shù)

5、學模型的相關(guān)知識及數(shù)學建模能力的培養(yǎng)。我們所說的數(shù)學模型，是指通過抽象和簡化，應(yīng)用數(shù)學語言對實際問題的一個大概的描述，使人們更深刻地把握所研究的對象。當然數(shù)學模型也不是對現(xiàn)實問題的簡單的描述，而是對現(xiàn)實問題所包含的信息進行提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。它使用數(shù)學語言準確地反應(yīng)問題的內(nèi)在特征。并通過數(shù)學演繹推理和分析求解，使我們深化對所研究的問題的認知。力學中牛頓第二定律使用公式F=mdx2/dt2反應(yīng)受力物體的運動規(guī)律就是一個成功的數(shù)學模型，x(t)指運動物體在時刻t的位置,m是運動物體的質(zhì)量，F(xiàn)指在運動期間運動物體受到的外力。模型并不考慮物體的形狀及大小。這一模型以物體受力運動的關(guān)鍵因素為主

6、，從而深化了力與物體運動之間的關(guān)系。而在描述人口N(t)隨時間t的變化而變化的數(shù)學模型dN(t)/dt=rN(t),沒有考慮性別、年齡、社會經(jīng)濟及自然界約束條件等諸多因素，從而大大簡化了實際人口的動態(tài)變化?？伤沂境龅娜丝诔傻缺燃墧?shù)的增長的理論卻是我們所要面對的嚴酷事實。數(shù)學模型的好不好，并不是說它使用了多么高深的數(shù)學。作為一個好的模型最好是直接針對某個實際問題的，該模型應(yīng)經(jīng)過實際的檢驗，表明它是可以接受的；數(shù)學模型應(yīng)能使人們對所研究的問題有更深的認識，并盡可能的簡單，從而便于使用者理解和接受。例如2007年全國大學生數(shù)學建模試題；人口預(yù)測是國家工作中的重點，關(guān)系著國家的發(fā)展方向和命運。我國是

7、一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對我國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。近年來我國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著我國人口的增長。2007年初發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告對此做出了進一步的分析。從我國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考相關(guān)數(shù)據(jù)，建立我國人口增長的數(shù)學模型，并由此對我國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別注意指出模型中的優(yōu)點與不足之處。這是一個我們常要面對的社會問題，同時也是一個有很大難度的數(shù)學建模問題，一個社會人口的變化是一個隨

8、時間的發(fā)展而變化的過程，是很多因素影響的結(jié)果，社會制度、自然環(huán)境、生活水平、科學文化水平、戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害以及移民等，都在影響社會人口的發(fā)展。人的生老病死、居民的遷移也決定著這個社會人口的變化。當今我國老齡化進程加速、出生人口性別比例的持續(xù)升高，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，都在直接或間接地表現(xiàn)出來。綜合研究這些因素對人口構(gòu)成的影響就成為選擇符合中國國情的人口增長模型的重要問題。建立數(shù)學模型要對人口發(fā)展過程進行定量預(yù)測，即根據(jù)現(xiàn)有的人口統(tǒng)計資料及原始數(shù)據(jù)，把握當前實際的人口狀況，并充分考慮將來的人口發(fā)展狀況，從而給出合理的控制要求和假定，使用科學的手段，推理測算將來幾年、幾十年乃至上百年的人口發(fā)展變化趨

9、勢，其中包括人口的總數(shù)、人口性別比例、年齡結(jié)構(gòu)、城鄉(xiāng)結(jié)構(gòu)，人口的生老病死和自然增長率的變化及其在將來的人口結(jié)構(gòu)中勞力和撫養(yǎng)水平及老化水平等的變化。因此為了解決這個問題，我們不妨作如下合理假設(shè)：1.題中所給數(shù)據(jù)要反映中國人口變化的基本狀況；2,暫不考慮某些重大事件，比如戰(zhàn)爭和自然災(zāi)害等對人口變化的影響；3 .所有的數(shù)據(jù)都是年終數(shù)據(jù)，也就是下一年的年初數(shù)據(jù)，例如2001年的總?cè)丝跀?shù)其實也是2002年的年初的總?cè)丝跀?shù)；4 .當年所統(tǒng)計的i歲的人口到次年的年初都是i十1歲；5 .生育模式并不隨時間的變化而變化。在以上工作的基礎(chǔ)上，我們就可以做一些模型建立的工作了。這部分工作往往由數(shù)預(yù)處理、模型選擇、模

10、型求解、數(shù)據(jù)分析與檢驗、模型優(yōu)缺點分析等部分組成。一個問題往往可以采用多種不同的模型來解決，它們會有不同的特點，有的簡單易行但精確度不高，有的判斷準確，數(shù)據(jù)精準，但運算量大，運算模式較為復(fù)雜。我們應(yīng)該根據(jù)具體對數(shù)據(jù)的要求選取適當?shù)臄?shù)學模型，力求達到簡單易行而又能滿足問題解決所要求的精確度。本例就是這樣，既可以采用基于傳統(tǒng)的logistic模型，所需數(shù)據(jù)少，具有簡潔易行等特點，使求解難度大大降低，也可以采用構(gòu)造復(fù)雜，所需數(shù)據(jù)種類多、量大，求解也較復(fù)雜，需要用到專門的數(shù)學軟件的另一種數(shù)學模型。參考文獻:1、數(shù)學模型與數(shù)學建模劉來福、曾文藝1997年北京師范大學出版社。2、數(shù)學建模方法楊學楨2000年河南大學出版社3、基于差分方程的人口預(yù)測模型2007年文峰、郭