1、第十三章（精編）軸對(duì)稱軸對(duì)稱、線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，？這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.軸對(duì)稱有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，？那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，？那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.畫一圖形關(guān)于某條直線的

2、軸對(duì)稱圖形的步驟：找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接各點(diǎn)。軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，？成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱.考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”與“軸對(duì)稱”的認(rèn)識(shí)1 .下列幾何圖形中，線段C?角直角三角形。4半圓，其中一定是軸對(duì)稱圖形的有【A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .圖中，軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是【】A4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)3 .正n邊形有條對(duì)稱軸，圓有條對(duì)稱軸線段的垂直平分線(1)經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，？叫

3、做這條線段的垂直平分線(或線段的中垂線).(2)線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，？與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.考點(diǎn)二、線段垂直平分線的性質(zhì)4 .如圖，ABC中，ZA=90°,BD為/ABC平分線，DHBC,E是BC的中點(diǎn)，求/C的度數(shù)。5 .如圖，ABC中，AB=ACPB=PC連AP并延長(zhǎng)交BC于D,求證：AD垂直平分BC6 .如圖，DE是AABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則EEBC的周長(zhǎng)為【】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.2

4、8厘米A則AM7 .如圖，/BAC=30°,P是/BAC平分線上一點(diǎn)，PM/AC,PDLAC,PD=30,軸對(duì)稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.？成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到.軸對(duì)稱變換的性質(zhì)(1)經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣(2)經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).(3)連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形(1)作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).(2)按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.關(guān)于坐標(biāo)

5、軸對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一x,y)關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(y,x)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一y,x)關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線x=m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2m-x,y);點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,2ny);考點(diǎn)三、軸對(duì)稱變換及用坐標(biāo)表不軸對(duì)稱8 .點(diǎn)A(-3,2)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(-3,-2)B

6、(3,2)C(-3,2)D(2,-3)9 .點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，(1,-6),則A、B的值分別為()A1,6B-1,-6C-1,6D1,-610 .點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P，的坐標(biāo)為(4,-5),那么點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P"的坐標(biāo)為：A(-4,5)B(4,-5)C(-4,-5)D(-5,-4)11 .平面內(nèi)點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)B(-1,6)的對(duì)稱軸是()A.x軸B.y軸C.直線y=4D.直線x=-112 .下列關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)是()A點(diǎn)(0,-3)與點(diǎn)(-2,-3)B點(diǎn)(2,3)與點(diǎn)(-2,3)C點(diǎn)（2,3）與點(diǎn)（0,3）D點(diǎn)（2,3）與點(diǎn)（2,-3）13 .已知A(

7、-1,-2)和B(1,3),將點(diǎn)A向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)與點(diǎn)Bf中關(guān)于y軸對(duì)稱.14 .如下圖：若正方形ABCD關(guān)于x軸與y軸均成軸對(duì)稱圖形，°點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),標(biāo)出點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為：。*B(,，,C(,±,D(,±o'°15 .若A(m-1,2n+3)與B(n-1,2m+1)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m=,n=16 .已知a<0,那么點(diǎn)P(-a2-2,2-a)關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'在第象限三、解答題17 .已知點(diǎn)M(1-a,2a+2),若點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第三象限，求a的取值范圍？18 .已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x+y-

8、3,x-2y)。它關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(x+3,y-4),求點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。如果是軸對(duì)稱變換,19 .如圖，從ABC到A'B'C'是進(jìn)行的平移變換還是軸對(duì)稱變換,找出對(duì)稱軸，如果是平移變換，是怎樣平移的？坐標(biāo)系中畫出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的EDE20 .如圖，ABC求頂點(diǎn)AB、C關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)并在21 .已知兩點(diǎn)A(-1,2)B(3,1)(1) P點(diǎn)在X軸上移動(dòng)。求PA+PB的最小值。(2) Q點(diǎn)在Y軸上移動(dòng)。求QA+QB勺最小值。(3)并求出P.Q的坐標(biāo)?？键c(diǎn)四、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形(1)作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).(2

9、)按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形22 .如圖，RtAB(C/C=90°,ZB=30°,BC=8,D為AB中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接ARDP,則AP+DP的最小值是A23 .已知等邊ABCE在BC的延長(zhǎng)線上，CF平分/DCEP為射線BC上一點(diǎn)，Q為CF上一點(diǎn)，連接ARPQ.若AP=PQ求證/APQ多少度A作點(diǎn)Q關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)R,交BE于點(diǎn)H,從而可得AQCHZARCH,/QCH=/RCH=60度。A,C,R在同一直線上。易證APCQZAPCR,從而/QPH=/RPH,PR=PQ,/PQC=/PRC.又由于AP=PQ,從而AP=PR,得至ij

10、/PRA=/PAR/BAP+/PAC=/PQC+/QPC/BAP=/QPC即有：/BAP+/B=/QPC+/APQ即/APQ=60o等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.特別的：(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.(2)等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).特別的：(1

11、)有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形.(2)有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.(3)有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.(4)有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識(shí)別24 .如圖，ABC中，AB=AC=8,D在BC上，過(guò)D作DE/AB交AC于E,DF/AC交AB于F,則四邊形AFDE的周長(zhǎng)為25.如圖，ABC中,BQCD分另I平分/ABC與/ACBEF過(guò)D且EF/BC,若AB=7,BC=8,AC=6,則AEF周長(zhǎng)為【】A.15B.14C.13D.1826 .如圖，點(diǎn)B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=

12、CD=ED=EF,/A=20o，貝U/FEB=度.A27 .已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是28 .如圖：在ABC中，AB=AC,AD±BC,DEAB于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)F。試說(shuō)明D上DR29 .如圖,E在4ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F,DF=EF,BD30 .已知：如圖，ABC中，/ACB的平分線交AB于E,EF/BC交AC于點(diǎn)F,交/ACB的外角平分線于點(diǎn)G.試判斷EFC的形狀，并說(shuō)明你的理由.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，？并且每一個(gè)

13、內(nèi)角都等于60°等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識(shí)別31 .下列推理中，錯(cuò)誤的是【】A. .一/A=ZB=ZC,，ABC是等邊三角形B. AB=AC,且/B=/C,，ABC是等邊三角形C. A=60°,/B=60°,.ABC是等邊三角形D. AB=AC,/B=60°,.ABC是等邊三角形32 .如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CDDMLBC,垂足為M求證：M是BE的中點(diǎn)。33

14、 .已知ABC是等邊三角形，分別在ACBC上取點(diǎn)E、F,且AE=CF,BEAF交于點(diǎn)D,則/BDF=度34 .如圖，DE、F分別是等邊ABC#邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF,則DEF?勺形狀是【A.等邊三角形B.腰和底邊不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等邊三角形A角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上三角形的角平分線的性質(zhì)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.考點(diǎn)七、30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半35 .如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BGDE垂直于橫梁AC,AB=8m,/A=3

15、0°,則DE等于1】A.1mB.2mC.3mD.4m36 .一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知ACB0=40cm,C0=D0=30cm,現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度/AOB®好為120。，求桌面到地面的距離是多少？B甲37.如圖，AB=AC,DELAB于E,DF±AC于F,/BAG=120°,BC=6,貝UDE+DF=38 .在AABC中，AB=AC,/A=120。，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E.如果EF=1,求BC的長(zhǎng)39 .已知：在ABC中，AB=AC/BAC=120°,AB的垂直平分線交AB于E,交BC于F.求證

16、：CF=2BF.作圖題專練1 .如圖：已知ZAOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且P到/AOB兩邊的距離相等.2 .已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M.(1)如圖，在l上求作一點(diǎn)M,使得|AM-BM|最?。?B作法：.4.(2)如圖，在l上求作一點(diǎn)作法：M,使得|AMBM|最大(3)如圖，在l上求作一點(diǎn)M,使得AM+BM最小.(4)如果兩點(diǎn)位于直線異側(cè)，請(qǐng)你去解決上述問(wèn)題變式練習(xí)1、如圖，已知直線MN與MN同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)P,使點(diǎn)P在MN上，且/APM=/BPN2 .如圖點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P,使得四邊形APBC的周長(zhǎng)最??；3

17、.如圖已知線段a,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQ=a,四邊形APQB的周長(zhǎng)最小./._14、已知：如圖點(diǎn)M在銳角/AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P,在OB邊上求作一點(diǎn)Q,使得APMQ的周長(zhǎng)最小；5、已知：如圖314,點(diǎn)M在銳角/AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小.AA6、一條河兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋,路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到B所走的路線最短？4B軸對(duì)稱專題訓(xùn)練一、選擇題（每題3分，共24分）1、卜列圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）瓜瓜瓜ABC2

18、、（易錯(cuò)易混點(diǎn)）卜列長(zhǎng)度的三線段，能組成等腰三角形的是A.112B.225C.335D.：3 .如圖，已知AC/BD,OA-OC,則下列結(jié)論不一定成立的是A./B-/DB./A-/BC.AD-BCD.4 .（易錯(cuò)易混點(diǎn)）卜列說(shuō)法正確的是（）用來(lái)連接A、B兩地，問(wèn)AD（）345（）OA-OBA.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B.頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等C.等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D.等腰三角形的兩個(gè)底角相等5、如圖，4ABC與ABC'關(guān)于直線l對(duì)稱，且NA=78°,NC'=48°,則/B的度6、如圖所示,把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D

19、,C分別落在D',C'的位置.若/EFB=65°,則/AED等于A.70B.65C.50D.257、已知M(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則（a+b）2012的值為（A.1B、一12009C.72009D.-78、如圖，/BAC=110°若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則/PAQ的度數(shù)是（A.20B.40C.50D.60二、填空題（每題3分，共24分）9.軸對(duì)稱是指?jìng)€(gè)圖形的位置關(guān)系；軸對(duì)稱圖形是指?jìng)€(gè)具有特殊形狀的圖形.10、有一條對(duì)稱軸的三角形是三角形，有三條對(duì)稱軸的三角形是三角形.11.如圖，在ABC中，NA=900,BD是/ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線，貝U/C=.12、（易錯(cuò)易混點(diǎn)）在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°,則/B等于度.13、如圖，在AABC中，AB=AC,/A=500,P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/PBC=/PCA,貝U/BPC=.14、如圖，ABC中，/A=36°,AB=