1、定積分在物理學上的應用 設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動到,bx 力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(一個單求電場力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律庫侖定律電場力為2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b)

2、 , 在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, S體, 求移動過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標系如圖.xxdx 由波義耳馬略特定律知壓強 p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標系如圖.oxm3xxxdm5在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(

3、功元素功元素)為Wdxxdg9故所求功為50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強: hpgh當平板與水面平行時, ApP 當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點的壓強xpg33g2R 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半

4、徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 當桶內(nèi)充滿液體時, )(gxR 小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRPd)(g222奇函數(shù)奇函數(shù)3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令( P350 公式67 )oxyRxxxd質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點 , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,M該棒對質(zhì)點的引力.解解: 建

5、立坐標系如圖.y2l2l,dxxx細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為 dkF xm d22xa 故垂直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在試計算FdxFdyFdxxd利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對質(zhì)點引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒對質(zhì)點的引力大小為2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為 y2l2laoxxxdxamk22) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為

6、方向與細棒垂直且指向細棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有l(wèi)oxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正負號3) 當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時, 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為l2rmI 的質(zhì)點系),2, 1(,nimrlii質(zhì)量為的距離為與軸21iniirmI若考慮物體物體的轉(zhuǎn)動慣量 , 則需用積分解決 .r關(guān)于軸 l

7、 的轉(zhuǎn)動慣量為m 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ; 求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量 .解解: 建立坐標系如圖.設(shè)圓盤面密度為 .的對應于d,xxx小圓環(huán)質(zhì)量xx d2對應于d,xxx的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為xxId2d3故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為RxxI03d2421R221RMlRoxxxxd)(2RMo設(shè)有一個半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤 , oxRyxxxd平行 y 軸的細條的對應于d,xxx關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為yId細條質(zhì)量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx

8、 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標系如圖.(1) 先用微元分析法求出它的微分表達式 dQ一般微元的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力, 轉(zhuǎn)動慣量等.條條、段段、環(huán)環(huán)、帶帶、(99考研)提示提示: 作 x 軸如圖.ox30 xxd1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井

9、口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功為 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 處所需時間 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321d

10、dddWWWW克服抓斗自重: xyoABtaytax33sin,cos上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示: 如圖.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxk dsinddFFysykd),(yxsd在點O 處有一單 位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytaxxyoAB),(yxsd引力大小為銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標系如圖. 設(shè)斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊, cosco