1、第一章第一章 事件與概率事件與概率1.1 隨機(jī)事件和樣本空間隨機(jī)事件和樣本空間1.2 概率和頻率概率和頻率1.3 古典概型古典概型1.4 概率的公理化定義及性質(zhì)概率的公理化定義及性質(zhì) 1. 5 條件概率、條件概率、 1. 7 貝努里概型貝努里概型 1. 6 獨(dú)立性獨(dú)立性全概率與全概率與貝葉斯貝葉斯公式公式 概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)學(xué)科, 理論嚴(yán)謹(jǐn)理論嚴(yán)謹(jǐn), 應(yīng)用廣泛應(yīng)用廣泛, 發(fā)展發(fā)展迅速。目前，不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開迅速。目前，不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程設(shè)了這門課程, 而且從上世紀(jì)末開始，而且從上世紀(jì)末開始，這門課程特意被國家教委定

2、為本科生考這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一。研的數(shù)學(xué)課程之一。 概率概率( (或然率或幾率或然率或幾率)隨機(jī)事件出隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度現(xiàn)的可能性的量度起源：博弈問題。起源：博弈問題。1616世紀(jì)意大利學(xué)者研究擲骰子問題，世紀(jì)意大利學(xué)者研究擲骰子問題，1717世世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家B. B. 帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家家C. C. 惠更斯惠更斯 基于排列組合的方法，解決基于排列組合的方法，解決了了“ “ 合理分配賭注問題合理分配賭注問題” ” 。本學(xué)科的本學(xué)科的 A B C 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集收集

3、、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以 對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率概率論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.J.伯努利；而概伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在率論的飛速發(fā)展則在1717世紀(jì)微積分學(xué)說建世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后。立以后。 統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，概率論是數(shù)理統(tǒng)

4、計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用。是概率論的一種應(yīng)用。 而它們又是兩個(gè)而它們又是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。對(duì)所考察的問題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為對(duì)所考察的問題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。數(shù)學(xué)分支學(xué)科。本學(xué)科的應(yīng)用本學(xué)科的應(yīng)用 概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域：有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域： 1. . 氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)及預(yù)測(cè)都與測(cè)都與 概率論概率論 緊密相關(guān)；緊密相關(guān)；2.

5、產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否3. 尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理；數(shù)據(jù)處理；在臨床中應(yīng)用，均需要用到在臨床中應(yīng)用，均需要用到 假設(shè)檢驗(yàn)；假設(shè)檢驗(yàn)； 4. .電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì), , 火箭衛(wèi)星的研制火箭衛(wèi)星的研制 與發(fā)射都離不開與發(fā)射都離不開 可靠性估計(jì)可靠性估計(jì); ; 5. .探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí)，時(shí)間探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí)，時(shí)間序列分析方法非常有用序列分析方法非常有用; 6. 研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以馬爾可夫過程來描述要以馬爾可夫過程來描述; 7. .在生物學(xué)中研究群體的增長

6、問題時(shí)提在生物學(xué)中研究群體的增長問題時(shí)提出了生滅型隨機(jī)模型，傳染病流行問題要用出了生滅型隨機(jī)模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；到多變量非線性生滅過程；法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說 ：“生活中最重要生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題。問題。” 許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、 購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率 模型來描述，其涉及到的知識(shí)就是排隊(duì)論。模型

7、來描述，其涉及到的知識(shí)就是排隊(duì)論。1.11.1隨機(jī)事件和樣本空間隨機(jī)事件和樣本空間 生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題。實(shí)質(zhì)上只是概率的問題。 -拉普拉斯拉普拉斯 我又轉(zhuǎn)念，見日光之下，快跑的人未必我又轉(zhuǎn)念，見日光之下，快跑的人未必 能贏能贏 ，力戰(zhàn)的未必得勝，力戰(zhàn)的未必得勝 ，智慧的未必得糧智慧的未必得糧食食 ，明哲的未必得資財(cái)，明哲的未必得資財(cái) ，靈巧的未必得喜，靈巧的未必得喜悅悅 ，所臨到眾人的，是在乎當(dāng)時(shí)的機(jī)會(huì)。，所臨到眾人的，是在乎當(dāng)時(shí)的機(jī)會(huì)。 -傳道書傳道書 概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支，

8、為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的有關(guān)問題數(shù)學(xué)分支，為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的有關(guān)問題作出明確的數(shù)學(xué)描述，像其它數(shù)學(xué)學(xué)科作出明確的數(shù)學(xué)描述，像其它數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，概率論具有自己的嚴(yán)格的體系和一樣，概率論具有自己的嚴(yán)格的體系和結(jié)構(gòu)。本章重點(diǎn)介紹概率論的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)。本章重點(diǎn)介紹概率論的兩個(gè)基本概念：概念：隨機(jī)事件和概率。隨機(jī)事件和概率。 在重力的作用下，物體的位移隨時(shí)間變?cè)谥亓Φ淖饔孟?，物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)化的函數(shù)x(t t) )，由二階微分方程，由二階微分方程 來描述，其中來描述，其中g(shù) g為重力加速度，這是確定的，為重力加速度，這是確定的，必然的。必然的。 gtx 客觀世界的兩類現(xiàn)象，客觀世界的兩類現(xiàn)象， 一類是在

9、一定一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象。 另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象。 擲一枚硬幣擲一枚硬幣, ,觀察向上的面觀察向上的面; ; 下一個(gè)交易日觀察股市的指數(shù)上升情況下一個(gè)交易日觀察股市的指數(shù)上升情況; ; 某人射擊一次某人射擊一次, ,考察命中環(huán)數(shù)考察命中環(huán)數(shù); 拋一石塊拋一石塊, ,觀察結(jié)局觀察結(jié)局; ; 導(dǎo)體通電導(dǎo)體通電, ,考察溫度考察溫度; ; 異性電菏放置一起異性電菏放置一起, ,觀察其關(guān)系觀察其關(guān)系; ; 確定性現(xiàn)象：確定性現(xiàn)

10、象：隨機(jī)現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象： 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性性 雖然隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結(jié)果不能雖然隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結(jié)果不能事先預(yù)言，但是可以假定全部可能結(jié)果是已事先預(yù)言，但是可以假定全部可能結(jié)果是已知的。在上述例子中，拋擲一枚硬幣只會(huì)有知的。在上述例子中，拋擲一枚硬幣只會(huì)有“正面正面”與與“反面反面”這兩種可能結(jié)果，而股這兩種可能結(jié)果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的實(shí)數(shù)?？梢姷膶?shí)數(shù)?？梢姟叭靠赡懿靠赡艿慕Y(jié)果的集合是已的結(jié)果的集合是已知的知的”這個(gè)假定是合理的，而且它會(huì)給我們這個(gè)假定是合理的，而且它會(huì)給我們的學(xué)習(xí)研究帶來許多方

11、便。的學(xué)習(xí)研究帶來許多方便。 由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先無法預(yù)知，由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先無法預(yù)知，初看起來，隨機(jī)現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然初看起來，隨機(jī)現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。這一點(diǎn)被歷史上許多人固有的規(guī)律性。這一點(diǎn)被歷史上許多人的試驗(yàn)所證明。的試驗(yàn)所證明。 進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果其所得結(jié)果不能進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果其所得結(jié)果不能完全預(yù)知，但其全體可能結(jié)果是已知的，完全預(yù)知，但其全體可能結(jié)果是已知的，

12、則稱此試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。則稱此試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。（1） 可重復(fù)性可重復(fù)性：試驗(yàn)原則上可在相同條件：試驗(yàn)原則上可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行下重復(fù)進(jìn)行; ;（2） 可觀察性可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果是可觀察的，所：試驗(yàn)結(jié)果是可觀察的，所有可能的結(jié)果是明確的；有可能的結(jié)果是明確的；隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：（3） 隨機(jī)性隨機(jī)性：每次試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果：每次試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，事先無法準(zhǔn)確預(yù)知。是不確定的，事先無法準(zhǔn)確預(yù)知。 下表列出下表列出Buffon等人連續(xù)拋擲均勻硬等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當(dāng)幣所得的結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當(dāng)拋擲次數(shù)很大時(shí)，正面出現(xiàn)的頻率非常接拋擲次數(shù)

13、很大時(shí)，正面出現(xiàn)的頻率非常接近近0.5，就是說，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的，就是說，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機(jī)會(huì)差不多各占一半。機(jī)會(huì)差不多各占一半。 表表1.11.1拋擲硬幣試驗(yàn)拋擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)試驗(yàn)拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面頻率出現(xiàn)正面頻率Buffon4040404020480.50690.5069De Morgan40924092 20480.50050.5005Feller100001000049790.49790.4979Pearson120001200060190.50160.5016Pearson2400024000120120.50050.5005Lomanovsk

14、ii8064080640396990.49230.4923 試驗(yàn)的結(jié)果表明，在相同條件下大量試驗(yàn)的結(jié)果表明，在相同條件下大量地重復(fù)某一隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，各可能結(jié)果出現(xiàn)地重復(fù)某一隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，各可能結(jié)果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某個(gè)確定的數(shù)值附近。稱這的頻率穩(wěn)定在某個(gè)確定的數(shù)值附近。稱這種性質(zhì)為種性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性。樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一一個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)，因而一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本，因而一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)也是明確的，它們的全體，稱為點(diǎn)也是明確的，它們的全體，稱為樣本空樣本空間間，習(xí)慣上分別用，習(xí)慣上分別用 與與 表示樣本點(diǎn)與表示樣本點(diǎn)與

15、樣本空間。樣本空間。 例例1. 拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的情況。其樣本空間由四個(gè)樣本點(diǎn)組成。即的情況。其樣本空間由四個(gè)樣本點(diǎn)組成。即 =(正，正正，正)，(正，反正，反)，(反，正反，正)，(反，反反，反)。這里，比如樣本點(diǎn)這里，比如樣本點(diǎn) =（正，反）表示第一枚（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。 例例2. 觀察某電話交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫觀察某電話交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，其樣本點(diǎn)有可數(shù)無窮多個(gè)：次數(shù)，其樣本點(diǎn)有可數(shù)無窮多個(gè)：i 次，次，i = 0,1,2, ，樣本空間為，樣本空間為 = 0次，次，1

16、次，次，2次次, 例例4. 觀察一個(gè)新燈泡的壽命，其樣本點(diǎn)也有無觀察一個(gè)新燈泡的壽命，其樣本點(diǎn)也有無窮多個(gè)：窮多個(gè)：t小時(shí)，小時(shí)， 樣本空間為：樣本空間為：,t0tt0|小時(shí) 例例3. 連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫出其樣本空間，我們約定以出其樣本空間，我們約定以“0”表示一次射擊表示一次射擊未中，而以未中，而以“1”表示命中。則樣本空間表示命中。則樣本空間 =1，01，001， ，0001，寫出下列各個(gè)試驗(yàn)的樣本空間寫出下列各個(gè)試驗(yàn)的樣本空間:1 擲一枚均勻硬幣，觀察正面擲一枚均勻硬幣，觀察正面(H)反面反面(T)出現(xiàn)出現(xiàn)的情況；的情況；2.將一枚硬幣連

17、拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況；況；3.某袋子中裝有某袋子中裝有5個(gè)球個(gè)球,其中其中3個(gè)紅球個(gè)紅球,編號(hào)編號(hào)A、B、 C,有有2 個(gè)黃球，編號(hào)個(gè)黃球，編號(hào)D、F，現(xiàn)從中任取一個(gè)，現(xiàn)從中任取一個(gè)球球,觀察顏色觀察顏色.若是觀察編號(hào)呢？若是觀察編號(hào)呢？課堂練習(xí)課堂練習(xí)4.袋中有編號(hào)為袋中有編號(hào)為1,2,3,n的球的球,從中任取一個(gè)從中任取一個(gè),觀察球的號(hào)碼；觀察球的號(hào)碼；5.從自然數(shù)從自然數(shù) 1,2,3,N(N 3)中接連隨意取三中接連隨意取三個(gè)個(gè),每取一個(gè)還原后再取下一個(gè)每取一個(gè)還原后再取下一個(gè).若是不還原若是不還原呢？若是一次就取三個(gè)呢？呢？若是一次就取三個(gè)呢？

18、6.接連進(jìn)行接連進(jìn)行n次射擊次射擊,記錄命中次數(shù)記錄命中次數(shù).若是記錄若是記錄n次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？7.觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。課堂練習(xí)課堂練習(xí) 我們時(shí)常會(huì)關(guān)心試驗(yàn)的某一部分可能結(jié)果我們時(shí)常會(huì)關(guān)心試驗(yàn)的某一部分可能結(jié)果是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點(diǎn)組成的試驗(yàn)結(jié)是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點(diǎn)組成的試驗(yàn)結(jié)果為隨機(jī)事件果為隨機(jī)事件 ，簡稱事件，簡稱事件 。通常用大寫的字。通常用大寫的字母母A、B 等表示等表示 。 某事件發(fā)生，就是屬于該某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)集合的某一樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn) 。記。記

19、為試為試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn) ，那么事件，那么事件 A 發(fā)生當(dāng)且僅發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng) 時(shí)發(fā)生時(shí)發(fā)生 。由于樣本空間。由于樣本空間 包含了包含了全部可能結(jié)果，因此在每次全部可能結(jié)果，因此在每次 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算試驗(yàn)中試驗(yàn)中 都會(huì)發(fā)生，故稱都會(huì)發(fā)生，故稱 為必然事件。為必然事件。相反，空集相反，空集 不包含任何樣本點(diǎn)，每次試不包含任何樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)必定不發(fā)生，故稱驗(yàn)必定不發(fā)生，故稱 為不可能事件。為不可能事件。1.事件的包含事件的包含如果事件如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)發(fā)生必然導(dǎo)致致 B發(fā)生，則稱事件發(fā)生，則稱事件B包含事包含事件件A，或稱事件，或稱事件A包含于事件包含于事件B。

20、記作。記作 或或 2.2.事件相等事件相等如果事件如果事件A包含事件包含事件B，事件，事件B也包含事也包含事件件A，則稱事件，則稱事件A與與B相等。記作相等。記作 A=B。 3.3.事件的并事件的并“事件事件A與與B至少有至少有一個(gè)發(fā)生一個(gè)發(fā)生”這一事件稱這一事件稱作事件作事件A與與B的并，記作的并，記作 。4. 4. 事件的交事件的交 “ 事件事件A與與B都發(fā)生都發(fā)生”這一事件稱作事件這一事件稱作事件A與與B的交的交,記作記作 或或AB。 5. 5. 事件的差事件的差“事件事件A發(fā)生而發(fā)生而B不發(fā)生不發(fā)生”這這一事件稱作事件一事件稱作事件A與與B的差的差, 記記作作 A-B .AABB事件事

21、件A與與B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說不能同時(shí)發(fā)生，也就是說AB是不可能事件，即是不可能事件，即 ， 則稱則稱A與與B是是互不相容事件互不相容事件.6. 6. 互不相容事件互不相容事件7. 7. 對(duì)立事件對(duì)立事件 “事件事件A不發(fā)生不發(fā)生”這一事件這一事件稱作事件稱作事件A的對(duì)立事件，記作的對(duì)立事件，記作 ，易見，易見，_ _AB 8.8.完備事件組完備事件組 iijijiji12211,n，21設(shè)設(shè)是有限或可數(shù)個(gè)事是有限或可數(shù)個(gè)事件，若滿足：件，若滿足：是一個(gè)完備事件是一個(gè)完備事件_n，21則稱則稱組。顯然，組。顯然，A A與與 構(gòu)成一個(gè)完備事件組。構(gòu)成一個(gè)完備事件組。表表1.2符號(hào)符號(hào)集合論集合論概率論概率論全集全集樣本空間：必然事件樣本空間：必然事件空集空集不可能事件不可能事件事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算集合論的有關(guān)結(jié)論集合論的有關(guān)結(jié)論 中的點(diǎn)（或稱元素）中的點(diǎn)（或稱元素）樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 單點(diǎn)集單點(diǎn)集 基本事件基本事件 的子集的子集A事件事件A集合集合A包含在集合包含在集合B中中事件事件A包含于事件包含于事件B中中集合集合A與集合與集合B相等相等事件事件A與事件與事件B相等相等集合集合A與集合與集合B的并的并事件事件A與與B至少有一