1、對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)大學(xué)第五版）（同濟(jì)大學(xué)第五版）主講：張曉斌主講：張曉斌中國民航大學(xué)理學(xué)院中國民航大學(xué)理學(xué)院中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌一、一、 常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理二、定理的應(yīng)用（典型例題分析）二、定理的應(yīng)用（典型例題分析）三、小結(jié)三、小結(jié)主要內(nèi)容中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌一、一、 常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理常用的有關(guān)二重積分的對(duì)稱性定理(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x y定義定義 1 1：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足 （或 ），則稱 關(guān)于 為奇（偶

2、）函數(shù)。( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y( , )( , )f x yf y x定義定義 2 2：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足 （或 ），則稱 關(guān)于 為奇（偶）函數(shù)。中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x yxxyyDyDx定義定義 3 3：若二元函數(shù) 的定義域 關(guān)于直線 對(duì)稱，且滿足 ，則稱 關(guān)于 和 對(duì)稱。D yx( , )d dDf x yx y定理定理 1 1若有界閉區(qū)域 關(guān)于 軸對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則當(dāng) 關(guān)于 為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)

3、 關(guān)于 為偶函數(shù)時(shí) 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD xD1DxyO中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌( , )f x y( , )f x yDyxxD( , )f x y( , )d dDf x yx y 定理定理 1若有界閉區(qū)域 關(guān)于 軸對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則當(dāng) 關(guān)于 為奇函數(shù)時(shí)當(dāng) 關(guān)于 為偶函數(shù)時(shí) 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD yD1DxyO中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌Dx( , )f x yy( , )f x yy( , )f x yD( , )d dDf x yx y推論推論 1.11.1若 有界閉區(qū)域 關(guān)于 軸 和

4、 軸都對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，且關(guān)于 和 均為偶函數(shù)，則1( , )|0,0Dx yD xy14( , )d dDf x yx yD1DxyO中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌DxyxyD( , )f x y定理定理 2 2若有界閉區(qū)域 與區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則1( , )d d( , )d dDDfx yfyxyxxyD1DxyO中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌1DD yx( , )f x yD yx推論推論 2.12.1若 有界閉區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則( , )d d( , )d dDDfx yf yyxyxxDxyO中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌D yx( , )f

5、 x yD yx例1. 如圖，由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸， 軸都對(duì)稱，且 和 中的被積函數(shù)分別關(guān)于 是奇函數(shù)，根據(jù)定理1和定理1得計(jì)算 其中3()d d ,DIxyx y( , ) | 1.Dx yxyDx12000.IIIDxyO3312()d dd dd d,DDDIxyx yx x yyx yIIy1I, xy解：中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌1111二、定理的應(yīng)用二、定理的應(yīng)用2ID2D3D4D例2. （總習(xí)題九 1(2)）. 則.dd)sincos( yxyxyxDyxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示: 如圖

6、 ， A,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD xyaaaO設(shè)有平面閉區(qū)域中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌1234.DDDDD例3. 有一個(gè)平面薄片, 在 平面上占有區(qū)域 其面密度為 ，求該薄片的質(zhì)量M。 由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸， 軸都對(duì)稱，且 被積函 數(shù)關(guān)于 都是偶函數(shù)，根據(jù)推論1.1得| | | |ed d .xyDMx y( , ) | 1,Dx yxyDxDxyOy, xy| | | |ed dxyDMx y1D中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌111114ed dx yDx y11004 dedxx yxy4.| | | |exy解：根據(jù)二重積分的物理意義， xoy1yx 例4.

7、 設(shè) 在 連續(xù)，且證明,d)()(d110yyfxfxIx證明證明: 補(bǔ)區(qū)域 使其與區(qū)域oyx1xy 1Ixyfxfyd)()(010d y1010d)(d)(yyfxxf,2A.22AI 證畢D1Dxy1DDxy ( ) ( )d dDf x f yx y1( ) ( )d dDf y f xx y1,I12III1( ) ( )d dDDf x f yx y1100d( ) ( )dxf x f yy.22AI 注意到被積函數(shù)關(guān)于 和 對(duì)稱,考慮利用定理2，關(guān)于直線 對(duì)稱。( )f x0,110( )d,f xxA例5.中國民航大學(xué)理學(xué)院 張曉斌設(shè) 為取值恒大于0的連續(xù)函數(shù)，區(qū)域 ， 與 是兩個(gè)非零常數(shù)，則二重積分( )f x 222: ( , )|(0)Dx yxyRR ( )( )d d _.( )( )Daf xbf yxyf xf y DyxoRR ab解：由于區(qū)域 關(guān)于直線 對(duì)稱，根據(jù)推論2.1可得yx( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y 從而( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y ( )( ),( )( )Daf ybf xdxdyf yf x 1( )( )( )( )2( )( )( )( )Daf xbf yaf ybf xdxdyf xf yf yf x 2Dabdxdy 2.2ab