1、12HVX水平投影面水平投影面正立投影面正立投影面oW側(cè)立投影面?zhèn)攘⑼队懊鎍aaYZaxayazAVWHoXYHYWZaaaaxaz3oXYHYWZaaaaxazHVXoWaaaYZaxayazA4aaXZYHYWxzyy(y,z)(x,z)(x,y)oA(x, y, z)a3.點(diǎn)的坐標(biāo)及立體圖5VHW例：畫出點(diǎn)例：畫出點(diǎn)A(15,5,10)(15,5,10)的投影及空間位置的投影及空間位置XoZYHYWaaaaaaA3.點(diǎn)的坐標(biāo)及立體圖456XZYHYW例例：根據(jù)點(diǎn)的兩面投影求第三投影根據(jù)點(diǎn)的兩面投影求第三投影a輔助線輔助線bbbfff45ggaag4.特殊位置的點(diǎn)7( ) a稱點(diǎn)稱點(diǎn)A、C

2、為對(duì)為對(duì)W面的重影點(diǎn)面的重影點(diǎn)aabbbcccB在在A的右下前方的右下前方C在在A的正左方的正左方XZYHYWo5.兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)8dddbbbaaaXOZYHYW(b)(d)例例: :重影點(diǎn)及其投影的可見(jiàn)性重影點(diǎn)及其投影的可見(jiàn)性9例例:已知點(diǎn)已知點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B之前之前5mm，之上，之上9mm，之右，之右8mm，求點(diǎn)求點(diǎn)A的投影。的投影。a a a98510兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中x值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) 在左在左兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中y 值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) 在前在前 兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中z 值大的點(diǎn)值大的點(diǎn) 在上在上a a ab b bBA11c( )( )a aabbbXYHYWod ddc

3、cXYWoZZYH cd(c)dCD a(b)abABVH12直線的投影由兩端點(diǎn)同名投影的連線確定直線的投影由兩端點(diǎn)同名投影的連線確定2.2 直線的投影直線的投影aabbab13直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜ABABAB aba bab P14(1) 投影面的平行直線投影面的平行直線aababb Xa b ab baOzYHYWAB投投影影特特性性=ABH =ABV =ABW15名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性水平線水平線（H H）正平線正平線（V V）側(cè)平線側(cè)平線（W W）(1)(1)a a b b OX,OX,a a b b O

4、YOYW W；(2)(2)ab=ABab=AB；(3)(3)反映夾角反映夾角 、 大小大小(1)abOX,(1)abOX,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b =AB=AB；(3)(3)反映夾角反映夾角 、 大小大小(1)(1)abOYabOYH H, ,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b =AB=AB；(3)(3)反映夾角反映夾角 、 大小大小投影面平行線投影面平行線16b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa（2）投影面）投影面的垂直直線的垂直直線AB投影特性投影特性17名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性鉛垂線鉛垂線（ H H

5、）正垂線正垂線（ V V ）側(cè)垂線側(cè)垂線（ W W ）(1)(1)H H投影為一點(diǎn)，投影為一點(diǎn)，有積聚性；有積聚性；(2)(2)a a b bOX,OX, a a b bOYOYW W ；(3)(3)a a b b = =a a b b =AB =AB(1)(1)V V投影為一點(diǎn)，投影為一點(diǎn)，有積聚性；有積聚性；(2)(2)abab OX,OX, a a b bOZOZ ；(3)(3)abab= =a a b b =AB=AB(1)(1)W W投影為一點(diǎn)，投影為一點(diǎn)，有積聚性；有積聚性；(2)(2)abab OYOYH H, , a a b bOZOZ ；( (3)3)abab= =a a b

6、 b =AB =AB投影面垂直線投影面垂直線18直線相對(duì)于投直線相對(duì)于投影面的位置可影面的位置可歸結(jié)為幾類？歸結(jié)為幾類？(3) 一般位置直線一般位置直線 ZXabaOYYabb投影特性：投影特性：ZYX19水平線：水平線： H H面面正平線：正平線： V V面面?zhèn)绕骄€：側(cè)平線： W W面面鉛垂線：鉛垂線： H H面面正垂線：正垂線： V V面面?zhèn)却咕€：側(cè)垂線： W W面面20例題2例例: :根據(jù)直線的兩投影判斷其空間位置根據(jù)直線的兩投影判斷其空間位置. .XOggXOaabbXOcddhhOa正平線正平線側(cè)平線側(cè)平線水平線水平線一般位置直線一般位置直線側(cè)垂線側(cè)垂線鉛垂線鉛垂線ca“ cZZOa

7、bbabdb“ c“ d“ 212525XOZYHYWaaa30bbb例題例題1例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)A A向向右上方作一正平線右上方作一正平線AB,AB,使使其實(shí)長(zhǎng)為其實(shí)長(zhǎng)為2525，與，與H H面的傾角面的傾角=30。22 ababcc判定判定abbakk23eeddcababXc例例:判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)C 、D 、E是否在直線是否在直線AB上上.國(guó)標(biāo)規(guī)定采用國(guó)標(biāo)規(guī)定采用第一分角投影第一分角投影 24ba ba XOcc20fe f e XOkk25例例: : 已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C 的正面投影。ccabcc26 2.2一般位置直線一般位置直線求實(shí)長(zhǎng)和傾角求實(shí)長(zhǎng)和傾角 ABXOVHb b a a

8、bZ ABabZ AB ABb bXab b a 直角三角形法直角三角形法=利用已知邊作利用已知邊作直角三角形直角三角形27XOVHb b a abYb bXab b a ABOABa b Y=AB=直角三角形法直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角利用已知邊作利用已知邊作直角三角形直角三角形28XABab ZABabABYab 29Zab 例例2 已知直線已知直線AB的實(shí)長(zhǎng)，完成其正面投影。的實(shí)長(zhǎng)，完成其正面投影。 bbaxaZabZabbAB a b YABabZAB30例：例： 求直線的實(shí)長(zhǎng)和求直線的實(shí)長(zhǎng)和 角。角。a ab XbABa b AB a b YAB

9、 YY方法一方法一方法二方法二31例已知線段例已知線段ABAB25mm25mm及其投影及其投影abab和和aa， 試求該線段的試求該線段的V V 投影投影abab。 25YYY25Ya b a b a b 32 xba a cab60b c b c 033平行平行 相交相交 交叉交叉 垂直垂直投影特性投影特性abcdabcd34例例: :已知已知ABAB、CDCD兩直線平行兩直線平行, ,完成完成CDCD的投影的投影. .baadbbccXbaabdcdc35投影特性投影特性babcdcdkka36例:直線AB與CD相交,完成CD的投影. b Xa abkc d dck37例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)A

10、A作直線作直線ABAB， 與直線與直線CDCD相交。相交。aacdcd例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)A A作水平線作水平線ABAB， 與直線與直線CDCD相交。相交。aacdcd無(wú)數(shù)解唯一解bbbb38例例: : 判斷兩直線的相對(duì)位置11dc 1139兩直線交叉兩直線交叉 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。b Xa abc d dc11 (2 )240例一：例一：acdbabcdabdc例二：例二：cdababcdabcd41( )( )abcdcabd交叉兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷交叉兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷a b bac d dcABCVHoX433 42

11、11 2X1 2 (3 )4 121(2)4343D42討論其中一條直線為投討論其中一條直線為投影面平行線的情況影面平行線的情況EFABCabcP43abcdabcdab cd已知已知AB/HAB/H、ABAB CDCD，求，求cdcd4445平面的跡線表示法PVPHQ VPwQ HQ WYHYWXZZXYHYWQ VVHPVPHPQ VQ HH46P47/V正平面正平面水平面水平面/H/W側(cè)平面?zhèn)绕矫?8abcab cc ab49名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性水平面水平面（H H）正平面正平面（V V）側(cè)平面?zhèn)绕矫妫╓ W）1)1)H H 投影反映投影反映 實(shí)形；實(shí)形；2)

12、2)V V、W W 投影分投影分別為平行別為平行OXOX、OYOYW W軸的直線段，有軸的直線段，有積聚性積聚性1)1)V V 投影反映實(shí)投影反映實(shí)形；形；2)2)H H、W W 投影分投影分別為平行別為平行OXOX、OZ OZ 軸的直線段，有軸的直線段，有積聚性積聚性1)1)W W 投影反映實(shí)投影反映實(shí)形；形；2)2)V V、H H 投投 影分影分別為平行別為平行OZOZ、OYOYH H 軸的直線段，有軸的直線段，有積聚性積聚性50 V正垂面正垂面鉛垂面鉛垂面 H W側(cè)垂面?zhèn)却姑?1 abccbaacb52名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性鉛垂面鉛垂面（ H H）正垂面正垂面（

13、 V V）側(cè)垂面?zhèn)却姑妫?W W）1)1)H H投影為斜直投影為斜直線，有積聚性，線，有積聚性，且反映且反映 、 大小；大小；2)2)V V、W W投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性性1)1)V V投影為斜直投影為斜直線，有積聚性，線，有積聚性，且反映且反映 、 大??；大?。?)2)H H、W W投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性性1)1)W W投影為斜直投影為斜直線，有積聚性，線，有積聚性，且反映且反映 、 大大小；小；2)2)H H、V V投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性性53， aabbccbac54鉛垂面：鉛垂面：H H正垂面：正垂面：V V側(cè)垂面

14、：側(cè)垂面：W W水平面：水平面：H H正平面：正平面：V V側(cè)平面：側(cè)平面：W W55例:根據(jù)平面的兩投影判定平面的位置正平面正平面鉛垂面鉛垂面正垂面正垂面水平面水平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑鎮(zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫鎎cacbaabcabcacbacbXXXXZYWbabc OXYHabca bccabcacabcbaX56例：例：指出立體表面的空間位置指出立體表面的空間位置, 找出相應(yīng)投影找出相應(yīng)投影.vwH57點(diǎn)在平面上的幾何條件：點(diǎn)在平面上的幾何條件：點(diǎn)在平面內(nèi)的一條已知直線上。點(diǎn)在平面內(nèi)的一條已知直線上。kbxO acabck11bxcO acab1212efef直線在平面上的幾何條件：直線在平面上的幾何條件

15、： 直線通過(guò)平面內(nèi)的二個(gè)已知點(diǎn)；直線通過(guò)平面內(nèi)的二個(gè)已知點(diǎn)； 直線通過(guò)平面內(nèi)的一個(gè)已知點(diǎn)，直線通過(guò)平面內(nèi)的一個(gè)已知點(diǎn)， 且平行與平面的一條直線。且平行與平面的一條直線。 58accabkbaccabkb59例例: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)E E在在 ABCABC上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)E E的正面投影。的正面投影。eeabccbaX60例例: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)E E 在在 ABCABC平面上，且點(diǎn)平面上，且點(diǎn)E E距離距離H H面面1515， 距離距離V V 面面1010，試求點(diǎn)，試求點(diǎn)E E的投影。的投影。mnmnrsrs1015ee61abcbacdd62例例: :在在 ABCABC上，過(guò)點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)C C作正

16、平線，過(guò)點(diǎn)作正平線，過(guò)點(diǎn)A A作水平線。作水平線。mnnm63cdabcdab64平行平行、相交相交、垂直垂直2.5.1 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行若一直線平行于平面上若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與的某一直線，則該直線與此平面平行。此平面平行。2.5 幾何元素間的相對(duì)位置幾何元素間的相對(duì)位置ABCEFabcefDd 若直線投影與平面有積若直線投影與平面有積聚性的投影平行，則直線聚性的投影平行，則直線與平面平行。與平面平行。a b e d f abdef65n a c b m abcmn例例1：過(guò)：過(guò)M點(diǎn)作

17、直線點(diǎn)作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無(wú)數(shù)解有無(wú)數(shù)解有多少解？有多少解？66正平線正平線例：過(guò)例：過(guò)M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。 c b a m abcmn唯一解唯一解n 67 兩平面平行兩平面平行若兩平面上分別有若兩平面上分別有兩兩對(duì)相交直線對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行，對(duì)應(yīng)平行，則這兩平面平行。則這兩平面平行。 若兩平面若兩平面有積聚性有積聚性的投影的投影相互平行，則相互平行，則兩平面平行。兩平面平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdefABCA1B1C1PQ68 例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)K作一平面與平行兩直線決定的作一平面與

18、平行兩直線決定的平面平行。平面平行。kkbcaabcnmnmdd69直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可判別可 見(jiàn)性。見(jiàn)性。2.5.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題70abcmnc n b a m 平面為特殊位置平面為特殊位置例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC為鉛垂面，為鉛垂面

19、，其水平投影積聚成直線，其水平投影積聚成直線，與與mn的交點(diǎn)即為的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水點(diǎn)的水平投影。平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影影k n 可見(jiàn)?？梢?jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k 1 (2 )作作 圖圖k2171km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為鉛垂線，其水為鉛垂線，其水平投影積聚成一點(diǎn)，故交點(diǎn)平投影積聚成一點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)

20、性平面上的平面上的點(diǎn)點(diǎn) 在前，直線上的在前，直線上的點(diǎn)在后。故點(diǎn)在后。故k 2 為不可見(jiàn)。為不可見(jiàn)。1 (2 )k 21作圖作圖用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法72 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平交線是兩平面的共有線，面的共有線，同時(shí)同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系， 即：即： 判別可見(jiàn)

21、性。判別可見(jiàn)性。73可通過(guò)正面投影可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都都為為正垂面正垂面，它們的正面投，它們的正面投影都積聚成直線。影都積聚成直線。交線必交線必為一條正垂線為一條正垂線，只要求得只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。交線的投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。在上，其水平投影可見(jiàn)。nm能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判別？能能

22、!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。74b c f h a e abcefh1(2)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有積聚性。正面投影有積聚性。a b 與與e f 的交點(diǎn)的交點(diǎn)m 、 b c 與與f h 的交點(diǎn)的交點(diǎn)n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性點(diǎn)點(diǎn)在在FH上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在BC上，上，點(diǎn)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在下，故在下，故fh可見(jiàn)，可見(jiàn)，n2不可見(jiàn)。不可見(jiàn)。作作 圖圖mn 2 nm 1 75c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于def的外面，說(shuō)的外面，說(shuō)明點(diǎn)明點(diǎn)N位于位于DEF所確所確定的平面內(nèi)，但不位定的平面內(nèi)，但不位于于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。這個(gè)圖形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK。nn m kmk 互交互交763.求一般位置直線和一般位置平面的交點(diǎn)求一般位置直線和一般位置平面的交點(diǎn)方法：輔助平面法方法：輔助平面法求解過(guò)程：求解過(guò)程：NMFECABRK1.1.作輔助平面作輔助平面R R2.2.求出交線求出交線MNMN3.3.求交線與求交線與EFEF的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，即為所求交點(diǎn)即為所求交點(diǎn)K K77