1、 第二章 矢量分析曲線正交坐標(biāo)系dlxeyeze單位矢量單位矢量，任意矢量任意矢量A在直角坐標(biāo)系下的表達式在直角坐標(biāo)系下的表達式zzyyxxeAeAeAAzzyyxxedledledll d長度元矢量長度元矢量體積元面積元長度元dlx=dxdly=dydlz=dzzeeezzeAeAeAA單位矢量單位矢量任意矢量任意矢量A在直角坐標(biāo)系下的表達式在直角坐標(biāo)系下的表達式長度元面積元體積元柱坐標(biāo)系的體積元球坐標(biāo)系eeereAeAeAArr單位矢量單位矢量任意矢量任意矢量A在直角坐標(biāo)系下的表達式在直角坐標(biāo)系下的表達式長度元面積元體積元球坐標(biāo)系的體積元zzyyxxeAeAeAAzzyyxxeBeBeBB

2、zzzyyyxxxeBAeBAeBABA )( )( )(zzzyyyxxxeBAeBAeBABA )( )( )( 矢量運算矢量運算1.矢量加減運算矢量加減運算則則 設(shè)設(shè)zzyyxxBABABABAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBA 2. 矢量點乘與叉乘矢量點乘與叉乘cosABBAsin ABeBAnyxeezzee單位矢量點乘與叉乘單位矢量點乘與叉乘zzee00eIH2 l dH計算題計算題1.已知一半徑為已知一半徑為，載電流為，載電流為I的無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強度的無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強度時，時， 試求：試求：H的分布為的分布為2. 已知點電荷已知點電荷q所產(chǎn)生場分布為所產(chǎn)生場

3、分布為rerqD42試求試求: SdD2.1 標(biāo)量場和矢量場 場是一個標(biāo)量或一個矢量的位置函數(shù),即場中任一個點都有一個確定的標(biāo)量值或矢量. .例如,在直角坐標(biāo)下, 標(biāo)量場)()( ),(222z2y1x45zyx 如溫度場,電位場,高度場等;矢量場zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速場,電場,渦流場等.形象描繪場分布的工具-場線矢量場-矢量線標(biāo)量場-等值線(面). .constzyxh),( 其方程為0d lA其方程為dzAdyAdxAzyx三維場在直角坐標(biāo)下:二維場dyAdxAyx圖2.1.2 矢量線圖2.1.1 等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？2.2 標(biāo)量場的梯

4、度一. 梯度)cos,cos,(cos),(zyxl),(zyxg)cos,cos,(cosle設(shè)當(dāng) ,即 與 方向一致時, 為最大.0),(leglegl 設(shè)一個標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù) 在點P可微,則 在點P沿任意方向 的方向?qū)?shù)為: lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密頓算子),(zyx式中),cos(|lleggegl則有: 式中 ， ， ，分別是與x,y,z軸的夾角 例1 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度高度場的梯度 與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最大變化率； 指向地勢升高的方向。電位場的梯度 與過該點的等位線垂直； 指向電位增加的方向。 數(shù)

5、值等于該點的最大方向?qū)?shù)；二. 梯度的物理意義 標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點的函數(shù); 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向. 梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù);圖2.2.1 三維高度場的梯度圖2.2.2 電位場的梯度2.3 矢量場的通量與散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面積分SE dS 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)圖2.3.1 矢量場的通量 圖0.3.2 矢量場的通量 若S 為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):sdsE二、散度 如果包圍點P的閉合面S S所

6、圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點P時, 通量與體積之比的極限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)計算公式zAyAxAzyxAAdiv三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性 A A= 0 (無源） A A= 0 (負(fù)源) A A= 0 (正源) 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASA高斯公式 該公式表明了區(qū)域V 中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。VSdVdASA 矢量函數(shù)的面積分與體積分

7、的互換。SvvdSAA10limdiv圖2.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對 體積分后，為穿出閉合面S S的通量AA2.4 矢量場的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產(chǎn)生渦旋的源 矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量LdlA例：流速場圖0.4.2 流速場圖2.4.1 環(huán)量的計算二、旋度1. 環(huán)量密度 過點P作一微小曲面S S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S S點P時,存在極限LdSdSdPSl1lim環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。2.

8、旋度 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。AArot 旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為ndSdeArot 在直角坐標(biāo)系下zyxzyxzyxAAAeeeA三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 點P的旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值。 在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J 稱為旋度源(或渦旋源)； 點P的旋度的方向是該點最大環(huán)量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為iiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在電磁場理論中，Ga

9、uss公式和 Stockes公式是兩個非常重要的公式。 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。 該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系 若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。圖 2.4.3 斯托克斯定理補充內(nèi)容：無源場、無旋場、調(diào)和場拉普拉斯算子球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)下各種算子表達式eIH2已知H求已知rerqD42求D2.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質(zhì)?FF?FF?FF=0=0=000=02.6 三種特殊形式的場 1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。 2.軸對稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(r,