1、一階微分方程的初等解法摘要：本文主要通過(guò)一些實(shí)例介紹了一階微分方程的幾種初等解法關(guān)鍵詞：一階微分方程;初等解法；變量分離；常數(shù)變易法First order differential equation of elementary solutionsAbstract:This paper mainly introduced through some examples of the first order differential equation several elementary solutionsKey Words：first-order differential equation; Ele

2、mentary proof; separation; method of variation of constant前言對(duì)于以前的一元二元方程我們都會(huì)解，到了大學(xué)我們開(kāi)始接觸積分并接觸到一些與積分有關(guān)的知識(shí)，這里我們所要說(shuō)的常微分方程的初等解法就是把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題，其求解的表達(dá)式由初等函數(shù)或者超越函數(shù)表示.1變量分離方程與變量變換1.1變量分離方程形如此此類的方程就是變量分離方程，對(duì)如這樣的方程就可以將方程變形為如此分離出變量，再兩邊同時(shí)積分即可得到如此就可以解出此方程的解，這也是常微分方程的最基本解法，我們后面說(shuō)的幾種解法的最終目的也是化成能夠用此種方法解出原方程的解，很簡(jiǎn)單

3、這里我們就不在舉例說(shuō)明了。1.2可化為變量分離方程的類型 首先我們需要了解一下什么事齊次微分方程。形如的方程我們叫做奇次微分方程。注意要區(qū)別于我們后面學(xué)的齊次線性微分方程.此類的方程我們可以設(shè)于是原方程就可以變?yōu)樽兞糠蛛x就可以求出次方程的通解.例 求解方程解 兩邊同時(shí)除以可以將方程改寫(xiě)為這里我們就很熟悉了，此種形式就是我們剛說(shuō)的齊次微分方程，設(shè)既可以根據(jù)剛才所說(shuō)的方法求出原方程的解，就不在贅述了.接下來(lái)我們重點(diǎn)要說(shuō)的是形如的方程的解法。顯然這里有三種情形需要討論：（常數(shù)）.這是的方程就為有通解為任意常數(shù).情形.這里設(shè)，則原方程可以變?yōu)樽兞糠蛛x方程得到兩邊積分就可以得到原方程的通解.情形.這里我

4、們?cè)O(shè)這里的為兩直線的交點(diǎn).從而可以將原方程化為右式分子分母同時(shí)除以既是我們前面所說(shuō)的齊次微分方程了，就不做過(guò)多說(shuō)明了.例2求解方程解 這個(gè)方程顯然就是剛才我們所說(shuō)的第三種情形聯(lián)立方程組得到解為：.設(shè)帶入原方程就可以得到右式分子分母同時(shí)除以，令，就可以得到兩邊積分就可以得到另外可以驗(yàn)證也是該方程的解.所以遠(yuǎn)方程的通解就為，為任意常數(shù).2線性微分方程與常數(shù)變易法2.1線性微分方程形如的方程，其中在考慮的區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)，上方程就為一階非齊次線性微分方程，當(dāng)，上方程就為一階齊次線性微分方程.當(dāng)時(shí)即上方程為一階齊次線性微分方程時(shí)，我們變量分離該方程很容易就求出該方程的通解為，其中為任意常數(shù).2.1常數(shù)變易法然而時(shí)我們?cè)撊绾吻蠼饽?？接下?lái)我們就介紹一階非