1、自動控制原理第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析定義：定義： 由二階微分方程描畫的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)由二階微分方程描畫的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。 在分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)時，經(jīng)常把二階系統(tǒng)的呼應(yīng)特性視為一種基準(zhǔn)。 在控制工程實際中，二階系統(tǒng)運用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研討，因此，詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有非常重要的實踐意義。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的規(guī)范式一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的規(guī)范式例例 位置隨動系統(tǒng)原理圖位置隨動系統(tǒng)原理圖3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析對應(yīng)的系統(tǒng)構(gòu)造圖：經(jīng)

2、簡化后，得到系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)和閉環(huán)傳送函數(shù)分別為：) J/Fs ( sJ/K) s (GJ/Ks ) J/F(sJ/K) s (23.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析由此可見，隨動系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。為了使系統(tǒng)分析更具普遍意義，在上式中，令 可得二階系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳送函數(shù)的典型數(shù)學(xué)模型規(guī)范式，為J/KnJ/F2n)2s ( s) s (Gn2n2nn22ns2s) s (式中， 為固有頻率， 為阻尼比相對阻尼系數(shù)。 n3.3 3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)的動態(tài)構(gòu)造圖如下：以上構(gòu)造圖也稱為典型二階系統(tǒng)的構(gòu)造圖規(guī)范方式。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)二、典

3、型二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)在初始條件為零下，輸入為單位階躍信號時，輸出的拉氏變換式為： )s2s ( s) s () s (R) s (Y2nn22n0s2s2nn21S2nn2 1系統(tǒng)特征方程：特征方程的根：顯然，特征根完全取決于n和有關(guān)。0 0t ty(t)y(t)1 13.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析1 1、無阻尼、無阻尼 =0 =0情況情況系統(tǒng)特征根為： 階躍呼應(yīng)為：闡明，無阻尼時二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為等幅振蕩曲線，為不衰減的振蕩，超調(diào)量為100%，系統(tǒng)不穩(wěn)定。n2, 1js ttyncos13.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析2 2、欠阻尼、欠阻尼 0 1 0 1 1情況情況系統(tǒng)特征根為

4、： 階躍呼應(yīng)為：)1(s2n2, 1 1e1e1211ty2t12t12n2n2呼應(yīng)曲線包含兩個衰減指數(shù)函數(shù)，與特征根相對應(yīng)。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析 二階過阻尼系統(tǒng)的動態(tài)呼應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)量，但又不同于一階系統(tǒng)； 離虛軸近的極點所決議的分量對呼應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點所決議的分量對呼應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時甚至可以忽略不計。 過阻尼系統(tǒng)沒有振蕩，沒有穩(wěn)態(tài)誤差。 衰減項的冪指數(shù)的絕對值一個大，一個小。絕對值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對值小的離虛軸近，衰減速度慢；二階過阻尼系統(tǒng)二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)呼應(yīng)一階系統(tǒng)呼應(yīng)t tc(t)c(t)0 01 13.3 二階系統(tǒng)分析二階

5、系統(tǒng)分析過阻尼的二階系統(tǒng)與一階系統(tǒng)，單位階躍呼應(yīng)對比：3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析不同阻尼比時的二階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)如下：0123456789101112nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)特點： 1、二階系統(tǒng)的阻尼比 決議了其振蕩特性：1 =0時，等幅振蕩；20 1時，有振蕩, 愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但呼應(yīng)愈快；3 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析 2、 阻尼比一定時，n越大，系統(tǒng)衰減越迅速，可以更快到達(dá)

6、穩(wěn)態(tài)值，呼應(yīng)的快速性越好。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析 3、實踐工程系統(tǒng)只需在0 1時才具有現(xiàn)實意義。除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的運用，阻尼比通常選擇在0.40.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。 特別的，把 =0.707的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能目的三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能目的單位階躍呼應(yīng)： tsine111tydt2n2nd1 21tanacr單位階躍呼應(yīng)曲線：t0y(t)trtmts3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析1 上升時間上升時間 tr階躍呼應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。 1)t (yr此時，0

7、tsinrd即，rdt由2n2dr11tanacrt解得3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析2 峰值時間峰值時間 tp 單位階躍呼應(yīng)超越穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個峰值所需求的時間。 0|dt) t (dyptt由2ndp1t解得3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析3 超調(diào)量超調(diào)量 %單位階躍呼應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。 %100)(y)(y)t (y%p根據(jù)定義，1)(y在單位階躍述如下，%100e%100)t (y%21p所以3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析4 調(diào)理時間調(diào)理時間 ts單位階躍呼應(yīng)進(jìn)入 誤差帶的最小時間。 %)5(3tns采用近似方法解得：%)2(4tns或3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析構(gòu)造

8、參數(shù)構(gòu)造參數(shù)對單位階躍呼應(yīng)性能的影響對單位階躍呼應(yīng)性能的影響 阻尼比阻尼比越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)理時間理時間ts長；長； 過大時，系統(tǒng)呼應(yīng)愚鈍，調(diào)理時間過大時，系統(tǒng)呼應(yīng)愚鈍，調(diào)理時間ts也長，也長，快速性差；快速性差； =0.707，調(diào)理時間最短，快速性最好，而，調(diào)理時間最短，快速性最好，而超調(diào)量超調(diào)量 %5%，平穩(wěn)性也好，故稱，平穩(wěn)性也好，故稱 =0.707為最為最正確阻尼比。正確阻尼比。 假設(shè)使二階系統(tǒng)具有稱心的性能目的，必需假設(shè)使二階系統(tǒng)具有稱心的性能目的，必需選適宜的選適宜的和和n。n增大可使增大可使ts下降，可以經(jīng)過下降，可以經(jīng)過提高開環(huán)放大

9、系數(shù)提高開環(huán)放大系數(shù)k來實現(xiàn)；增大阻尼比，可減小來實現(xiàn)；增大阻尼比，可減小振蕩，可經(jīng)過降低開環(huán)放大系數(shù)實現(xiàn)。振蕩，可經(jīng)過降低開環(huán)放大系數(shù)實現(xiàn)。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)目的總結(jié)欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)目的總結(jié)上升時間：峰值時間：調(diào)理時間：超調(diào)量：drtdpt%e%21 ns3t3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析例例 有一位置隨動系統(tǒng)，構(gòu)造圖如下，其中有一位置隨動系統(tǒng)，構(gòu)造圖如下，其中K=4。 1求該系統(tǒng)的自然振蕩角頻率和阻尼比；求該系統(tǒng)的自然振蕩角頻率和阻尼比； 2求該系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)理時間；求該系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)理時間； 3假設(shè)要阻尼比等于假設(shè)要阻尼比等于0.707，應(yīng)怎樣改動

10、，應(yīng)怎樣改動系統(tǒng)放大倍數(shù)系統(tǒng)放大倍數(shù)K？3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析解解 1系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為，系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為，4ss4)s(2寫成規(guī)范方式，為2nn22ns2s)s(所以有25.02n3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析2超調(diào)量和調(diào)理時間分別為，%47%100e%n21s63%)5(tns3要求=0.707時，s/rad2121n5.0k2n3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析例例 設(shè)系統(tǒng)如下圖，假設(shè)要求系統(tǒng)具有性能目的設(shè)系統(tǒng)如下圖，假設(shè)要求系統(tǒng)具有性能目的 %=20%和和tp=1，試確定系統(tǒng)的參數(shù)，試確定系統(tǒng)的參數(shù) ，并計，并計算算K、tr和和ts。)(sC)(sR)1( ssKs 1

11、3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為：Ks )K1 (sK) s (R) s (C) s () 1 (2K2K1K)2(n456. 0%)(ln%)ln(%02e%)3(221/23.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析) s/rad(53. 31t1t)4(2pn2np178. 0K1246.12K) 5(n2n) s (651. 01/1arctant)6(2n2r86. 13tns3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析例例 設(shè)位置隨動系統(tǒng)，其構(gòu)造圖如下圖，當(dāng)給定設(shè)位置隨動系統(tǒng)，其構(gòu)造圖如下圖，當(dāng)給定輸入為單位階躍時，試計算放大器增益輸入為單位階躍時，試計算放

12、大器增益KA1500，200，13.5時，輸出呼應(yīng)特性的性能目的時，輸出呼應(yīng)特性的性能目的：峰值時間：峰值時間tp，調(diào)理時間，調(diào)理時間ts和超調(diào)量和超調(diào)量 %，并分，并分析比較之。析比較之。)5 .34(5 ssKARC解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為：A2AK5s5 .34sK5) s (3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析當(dāng)KA 1500時15005s5 .34s15005) s (2與規(guī)范的二階系統(tǒng)傳送函數(shù)對照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值時間：秒2152.7%e超調(diào)量： 3.00.17snt調(diào)節(jié)時間：秒1rad s3.3 二

13、階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析當(dāng)KA 200時10005 .341000)(2 sss 與規(guī)范的二階系統(tǒng)傳送函數(shù)對照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值時間：秒2113%e超調(diào)量： 3.00.17snt調(diào)節(jié)時間：秒6 .311000 n 1rad s3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析當(dāng)KA 13.5時5 .67s5 .34s5 .67) s (2與規(guī)范的二階系統(tǒng)傳送函數(shù)對照得：21. 85 .67 n 34.52.12n峰值時間：0超調(diào)量：1(6.451.7)1.44snt調(diào)節(jié)時間：秒1rad s無3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析不同開環(huán)增益下的系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)：3.3 二階系統(tǒng)分析二階系

14、統(tǒng)分析例以下圖分別為具有反響系數(shù)為例以下圖分別為具有反響系數(shù)為的負(fù)反響二的負(fù)反響二階控制系統(tǒng)，和單位階躍呼應(yīng)特性，試確定系階控制系統(tǒng)，和單位階躍呼應(yīng)特性，試確定系統(tǒng)參數(shù)統(tǒng)參數(shù)、K和和T。 R(s)C(s)Ks(Ts1)t 10 5 5 7.21 c(t) 0 3.25 3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析解解 閉環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)為： 217.21 5%e100%44.2%5 0.252 解得p2dnt3.25 (s)1 n1(rad/s) 解得 2nKT n12T T1.98解得K9.9 輸出信號穩(wěn)態(tài)值為：5)( c由：T/KT/ssT/KKsTsK) s (22由：由：所以=0

15、.2。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析四、提高二階系統(tǒng)動態(tài)性能的方法四、提高二階系統(tǒng)動態(tài)性能的方法1、比例-微分串聯(lián)PD校正2nn22ns2s) s (未加校正網(wǎng)絡(luò)前：3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析加校正網(wǎng)絡(luò)后：校正后的傳送函數(shù)和等效阻尼系數(shù)：2nnn22ns)21(2s) s1 () s (n121 可見，引入了比例微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。 微分作用之所以能改善動態(tài)性能，由于它產(chǎn)生一種早期控制或稱為超前控制，能在實踐超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個修正作用。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析由校正后的傳送

16、函數(shù)：2nnn22ns)21(2s) s1 () s (可把系統(tǒng)構(gòu)造圖等效為：由此可得：12( )( )( )c tc tc tc1(t)和c2(t)及c(t)的大致外形如下 一方面，添加項，增大了等效阻尼比1，使c1(t) 曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使c1(t)加上了它的微分信號c2(t) ，加速了c(t)的呼應(yīng)速度，但同時減弱了等效阻尼比1的平穩(wěn)作用。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析總結(jié)：引入誤差信號的比例微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的呼應(yīng)特性，還需求適中選擇微分時間常數(shù)。假設(shè)大一些，使c1(t)具有過阻尼的方式，而閉環(huán)的微分作用，將在保證呼應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。

17、3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析2、輸出量微分負(fù)反響并聯(lián)校正未加校正網(wǎng)絡(luò)前：2nn22ns2s) s (3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析加校正網(wǎng)絡(luò)后：校正后的等效阻尼系數(shù)2nnn22ns)21(2s) s1 () s (n121該校正方法也稱輸出量的速度反響校正。 從實現(xiàn)角度看，比例微分控制的線路構(gòu)造比較簡單，本錢低；而速度反響控制部件那么較昂貴。 從抗干擾來看，前者抗干擾才干較后者差。 從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在一樣的阻尼比和自然頻率下，采用速度反響缺乏之處是其會使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大減弱。3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析兩種校正方法比較：3.3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析例例