1、2019-20202019-2020 年高考數(shù)學回歸課本初等函數(shù)的性質教案舊人教版年高考數(shù)學回歸課本初等函數(shù)的性質教案舊人教版一、基礎知識1. 指數(shù)函數(shù)及其性質：形如 y=ax(a0,al)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域為 R,值域為(0,+B),當 0a1 時，y 二 a 為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(0,1)。丄.血I1m12分數(shù)指數(shù)冪：an=na?an=nam,a-n=9an=annam3. 對數(shù)函數(shù)及其性質：形如 y=logx(a0,al)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其定義域為(0,+a)，值域為 R R,圖象過定點(1,0)。當 0a1,y=logx 為減函數(shù)，當 a1 時，y=logxaa為增

2、函數(shù)。4. 對數(shù)的性質(M0,N0)；1) ax=Mx=logM(a0,a1)；a2) log(MN)二 logM+logN；aaa3) log()=logM-logN；4)logMn=nlogM；，aaaaa5)log=logM；6)alogaM=M;7)logb=(a,b,c0,a,c1).aaa5. 函數(shù) y=x+(a0)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為和。(請讀者自己用定義證明)6. 連續(xù)函數(shù)的性質：若 ab,f(x)在a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b)0.【證明】設 f(x)=(b+c)x+bc+1(xe(-1,1),則 f(x)是關于 x 的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證

3、 f(-1)0 且 f(1)0(因為-1a1).因為 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2(柯西不等式)若 a,a,a 是不全為 0 的實數(shù)，b,b,beR R,則()()三12n12n()2，等號當且僅當存在 R R,使 a 二，i=1,2,，n 時成立。i【證明】令 f(x)=()x2-2()x+=,因為0,且對任意 xeR R,f(x)20,所以=4()-4()()W0.展開得()()三()2。等號成立等價于 f(x)=0 有實根，即存在，使 a=,i=1,2,

4、，n。i例 3 設 x,yeR R+,x+y=c,c 為常數(shù)且 ce(0,2,求 u=的最小值?！窘狻縰=xy+三 xy+2=xy+2.令 xy=t，則 0t=xy，設 f(t)=t+,00,所以 y=2,x=4.所以方程組的解為.例 9 已知 a0,a1,試求使方程 log(x-ak)=log2(x2-a2)有解的 k 的取值范圍。aa(x一ak)2=x2一a2【解】由對數(shù)性質知，原方程的解 x 應滿足0 x2一a20若、同時成立，則必成立，故只需解.由可得 2kx=a(1+k2)，當 k=0 時，無解；當 k0 時，的解是 x=，代入得k.若 k1，所以 k0,則 k20 且 a1,比較大

5、?。簗log(1-b)|log(1+b).aa7._已知f(x)=2+log3x,xG1,3,則函數(shù) y=f(x)2+f(x2)的值域為。111259函數(shù)的單調遞增區(qū)間是10.函數(shù) f(x)=的值域為。11.設 f(x)=lg1+2x+3x+.+(n-1)x+nxa,其中 n 為給定正整數(shù)，n 三 2,aWR R.若 f(x)在xw(-8,1時有意義，求 a 的取值范圍。12當 a 為何值時，方程=2 有一解，二解，無解？四、高考水平訓練題1.函數(shù) f(x)=+lg(X2-1)的定義域是.2. 已知不等式 X2-logx0 在 xW 時恒成立，則 m 的取值范圍是m3._ 若xWx|log2x

6、=2-x ， 則X2,x,1 從大到小排列是.4. 若 f(x)=ln，則使 f(a)+f(b)=.命題 p:函數(shù) y=log2在2，+8)上是增函數(shù)；命題 q：函數(shù) y=log2(ax2-4x+1)的值域為則p 是 q 的條件.若 0b0 且 a1,比較大?。簗log(1-b)|log(1+b)|.aa已知 f(x)=2+log3x,xW1,3，則函數(shù) y=f(x)2+f(x2)的值域為131若 x=i+i，則與 x 最接近的整數(shù)是.logi3logi3259.函數(shù) y=的單調遞增區(qū)間是,10.函數(shù) f(x)=的值域為.11.設 f(x)=lg1+2x+3x+(n-1)x+nxa，其中 n

7、為給定正整數(shù)，n 三 2,aWR。若 f(x)在 xW(-8,1時有意義，求 a 的取值范圍。12當 a 為何值時，方程=2 有一解，二解，無解？四、高考水平訓練題1.函數(shù) f(x)=+lg(X2-1)的定義域是.2. 已知不等式 X2-logx0 在 xW 時恒成立，則 m 的取值范圍是m3._ 若xWx|logx=2-x ， 則X2,x,1 從大到小排列是.4若 f(x)=ln，則使 f(a)+f(b)=成立的 a,b 的取值范圍是.5. 已知 a=log(n+1)，設，其中 p,q 為整數(shù)，且(p,q)=1，則 pq 的值為.nn6._ 已知x10,y10,xy=1000，貝 y(lgx

8、)(lgy)的取值范圍是.7._ 若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數(shù)解，則實數(shù) k 的取值范圍是.8. 函數(shù) f(x)=的定義域為 R,若關于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 個不同的實數(shù)解，則b,c 應滿足的充要條件是.(1)b0；(2)b0 且 c0；(3)b0 且 a1,f(x)=log(x+)(x1),(1)求 f(x)的反函數(shù) f-i(x)；(2)若 f-i(n)(nWN N),a+求 a 的取值范圍。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1.如果 loglog(logx)=loglog(logx)=loglog(logz)=0,那么將 X,y,z 從小22335

9、52.設對任意實數(shù) xxxx0，都有 log1993+log1993+log1993klog1993 恒成立,0123則 k 的最大值為.3.實數(shù) x,y 滿足 4x2-5xy+4y2=5，設 S=X2+y2，則的值為.4. 已知 Obl,0oa0 的解集為.9. 已知 a1,b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).lg(6-x)+lg(x-2)+log丄(x-2)10.(1)試畫出由方程10=所確定的函數(shù) y=f(x)圖象。lg2y2(2)若函數(shù) y=ax+與 y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求 a 的取值范圍。11. 對于任意 neN N(n1),試

10、證明：+=logn+logn+logn。+23n六、聯(lián)賽二試水平訓練題六、聯(lián)賽二試水平訓練題3x2-x3y2-y3z2-z1.設 x,y,zeR R+且 x+y+z=1，求 u=+的最小值。1+x21+y21+z22. 當 a 為何值時，不等式 loglog(X2+ax+6)+log320 有且只有一個解(a1 且 a1)。5a3. f(x)是定義在(1,+8)上且在(1,+8)中取值的函數(shù)，滿足條件；對于任何 x,y1 及 u,v0,f(xuyv)m2f(n)=,f(f(n+m一13)n1,f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8. 設 p,q 是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的

11、f(x)eZ(x)(表示整系數(shù)多項式集合)，使對 x軸上的某個長為的開區(qū)間中的每一個數(shù) x,有9. 設 a,B 為實數(shù)，求所有 f：R R+fR R,使得對任意的 x,yeR R+ +,f(x)f(y)=y2f 成立。2019-20202019-2020 年高考數(shù)學回歸課本圓錐曲線年高考數(shù)學回歸課本圓錐曲線( (一一) )教案舊人教版教案舊人教版一、基礎知識1.橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長(大于兩個定點之間的距離)的點的軌跡，即|PF|+|PF|=2a(2a|FF|=2c).1212第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù) e(0e1)的

12、點的軌跡(其中定點不在定直線上)，即(0e1).第三定義：在直角坐標平面內給定兩圓 q:x2+y2=a2,c2：x2+y2=b2,a,beR R+且 aMb。從原點出發(fā)的射線交圓 S 于 P,交圓 c2于 Q,過 P 引 y 軸的平行線，過 Q 引 x 軸的平行線，兩條線的交點的軌跡即為橢圓。2橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標軸建立坐標系，由定義可求得它的標準方程，若焦點在 x 軸上，列標準方程為(ab0)，參數(shù)方程為(為參數(shù))。若焦點在 y 軸上，列標準方程為(ab0)。3橢圓中的相關概念，對于中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓，a 稱半長軸長，b 稱半短軸長，c 稱

13、為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(土 a,0),(0,土 b),(土 c,0)；與左焦點對應的準線(即第二定義中的定直線)為，與右焦點對應的準線為；定義中的比 e 稱為離心率，且，由 c2+b2=a2知 0el.橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。4. 橢圓的焦半徑公式：對于橢圓 l(ab0),F/-C,0),F2(C,0)是它的兩焦點。若 P(x,y)是橢圓上的任意一點，貝 9|PFj=a+ex,|PF2l=a-ex.5. 幾個常用結論：1)過橢圓上一點 p(x0,y)的切線方程為2) 斜率為 k 的切線方程為；3) 過焦點 F2(c,0)傾斜角為 e 的弦的長為。6雙曲線

14、的定義，第一定義：滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的點 P 的軌跡；第二定義;到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù) e(1)的點的軌跡。7. 雙曲線的方程：中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程為(為參數(shù))。焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方程為。8. 雙曲線的相關概念，中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線(a,b0),a 稱半實軸長，b 稱為半虛軸長，c 為半焦距，實軸的兩個端點為(-a,0),(a,0).左、右焦點為 F1(-c,0),F2(c,0)，對應的左、右準線方程分別為離心率，由 a2+b2=c2知 e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦

15、點在同一個圓上。若 a=b，貝稱為等軸雙曲線。9.雙曲線的常用結論，1)焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1(-c,0),F2(c,0)是它的兩個焦點。設 P(x,y)是雙曲線上的任一點，若 P 在右支上，貝|PF=ex+a,2|PF=ex-a；若 P(x,y)在左支上，則|PFj 二-ex-a,|PF=-ex+a.2)過焦點的傾斜角為 8 的弦長是。10. 拋物線：平面內與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F 叫焦點，直線 l 叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點 F 且垂直于準線 l 的直線為 x 軸，x軸與 l 相交于 K 以線段 KF 的垂直平分線為 y 軸，建立直角

16、坐標系，設|KF|=p，則焦點 F坐標為，準線方程為，標準方程為 y2=2px(p0)，離心率 e=1.11. 拋物線常用結論：若 P(x0,y0)為拋物線上任一點，1) 焦半徑|PF|=；2) 過點 P 的切線方程為 y0y=p(x+x0)；3)過焦點傾斜角為 e 的弦長為。12. 極坐標系，在平面內取一個定點為極點記為 0,從 0 出發(fā)的射線為極軸記為 Ox 軸，這樣就建立了極坐標系，對于平面內任意一點P,記|OP|=P,zxOP=e，則由(p,e)唯一確定點P的位置，(p，e)稱為極坐標。13. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù) e 的點 P,若 0e1,則點

17、P 的軌跡為橢圓； 若 e1,則點 P 的軌跡為雙曲線的一支； 若 e=1,則點 P 的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為。二、方法與例題1. 與定義有關的問題。例 1 已知定點 A(2,1),F 是橢圓的左焦點，點 P 為橢圓上的動點，當 3|PA|+5|PF|取最小值時，求點 P 的坐標。解見圖 11-1，由題設 a=5,b=4,c=3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點 A 在橢圓內部，又點 F 坐標為(-3,0),過 P 作 PQ 垂直于左準線，垂足為 Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)23

18、|AM|(AM 左準線于 M)。所以當且僅當 P 為 AM 與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把 y=1 代入橢圓方程得，又 x0,所以點 P 坐標為例 2 已知 P,為雙曲線 C： 右支上兩點， 延長線交右準線于 K,P.延長線交雙曲線于 Q,(.為右焦點)。求證：ZFK=ZKFQ.證明記右準線為 l,，作 PDl 于 D,于 E,因為/PD,貝 9，又由定義，所以|PF|PD|PK|-，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)K 為 ZPFP 的外角平分線，|PF|PE|PK|111所以 Z=ZKFxQo2. 求軌跡問題。例 3 已知一橢圓及焦點 F,點 A 為橢圓上一動點，求線段 FA

19、 中點 P 的軌跡方程。解法一利用定義，以橢圓的中心為原點 O,焦點所在的直線為 x 軸，建立直角坐標系,設橢圓方程：=1(ab0).F 坐標為(-c,0).設另一焦點為。連結，OP，貝 V。所以|FP|+|P0|=(|FA|+|A|)=a.所以點 P 的軌跡是以 F,0 為兩焦點的橢圓(因為 a|FO|=c),將此橢圓按向量 m=(,0)平移，x2y2得到中心在原點的橢圓：+二 1。由平移公式知，所求橢圓的方程為a2b2T4解法二相關點法。設點 p(x,y),A(X,y1),貝 V，即 x1=2x+c,y1=2y.又因為點 A 在橢/c4x+_V2丿4y2圓上，所以代入得關于點 P 的方程為

20、+=1。它表示中心為，焦點分別為a2b2F 和 0 的橢圓。例 4 長為 a,b 的線段 AB,CD 分別在 x 軸，y 軸上滑動，且 A,B,C,D 四點共圓，求此動圓圓心 P 的軌跡。 解 設P(x,y) 為 軌 跡 上 任 意 一 點 ， A,B,C,D的 坐 標 分 別 為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記 0 為原點，由圓幕定理知|0A 卜|OB|=|OC|0D|，用坐標表示為，即0當 a=b 時，軌跡為兩條直線 y=x 與 y=-x；當 ab 時，軌跡為焦點在 x 軸上的兩條等軸雙曲線；當 a0)的右焦點 F 作 BB 軸，交雙曲線于 B，B 兩點，

21、B 與左焦點 F121221連線交雙曲線于 B 點，連結 Bp 交 x 軸于 H點。求證：H 的橫坐標為定值。證明設點 B，H，F(xiàn) 的坐標分別為(aseca,btana),(x,0),(c,0)，貝 V 片，BB?的坐標分別為(-c,0),(c,),(c,)，因為片，H 分別是直線 B2F，BB1 與 x 軸的交點，所以3丿丿XtanB=-1o結合上式有0abab+acsinac,x.2asinabcosa0asina+bcosaa2b(b+csina)所以cx02a2sin2a+absinacosab2cos2aa2b(b+csina)a2sin2a+absinacosab2+c2sin2a

22、a2b(b+csina)asina(asina+bcosa)+(csina一 b)(csina+b).a(b+csina)由得asina+bcosa,x即(定值)。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例 7 設拋物線 y2=2px(p0)的焦點為 F,經(jīng)過點 F 的直線交拋物線于 A,B 兩點，點 C 在準線上，且 BC/x 軸。證明：直線 AC 經(jīng)過定點。證明設，貝 V,焦點為，所以”，。由于，所以y2-yi=0，即=0o 因為，所以。所以，即。所以，即直線 AC 經(jīng)過原點。21例 8 橢圓上有兩點 A，B,滿足 OAOB,O 為原點，求證：為定值。證明設|0A|=r,|0B|=

23、r2，且 ZxOA=0，厶 0B 二,則點 A,B 的坐標分別為A(ricos0,sin0),B(-r2sin0,r2cos0)。由 A,B 在橢圓上有r2cos29r2sin29一 r2sin29r2cos291+亠=1,-+-)a2b2a2b即4最值問題。例 9 設 A,B 是橢圓 x2+3y2=1 上的兩個動點， 且 OAOB(O 為原點)， 求|AB|的最大值與最小值。解由題設 a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例 8 可得=4。設11111m=|AB|2=r2+r2=(r2+r2)(+)=(2+12+),12412r2r24t2121cos29sin291a2-b

24、2因為一=+=+sin29，且 a2b2，所以，所以 bWrWa,同理r2a2b2a2a2b211bWr2Wa.所以。 又函數(shù) f(x)=x+-在上單調遞減， 在上單調遞增， 所以當 t=1 即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值 1；當或時，|AB|取最大值。例 10 設一橢圓中心為原點，長軸在 x 軸上，離心率為，若圓 C：1 上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。解設 A,B 分別為圓 C 和橢圓上動點。由題設圓心 C 坐標為，半徑|CA|=1,因為|AB|W|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當且僅當 A,B,C 共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC

25、|最大值為因為；所以可設橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為 2t,t,橢圓方程為，并設點 B 坐標為 B(2tcos0,tsin0)，貝|BC|2=(2tcos0)2+=3t2sin20-3tsin0+4t2=-3(tsin0+)2+3+4t2.若，則當 sin0=-1 時，|BC|2取最大值 t2+31+,與題設不符。若 t,則當 sin0 二時,|BC|2取最大值 3+412，由 3+412=7 得 t=1.所以橢圓方程為。5直線與二次曲線。代入上式得cx0a2ba2sinaz.八(csina-b)x0+得1IOAI2IOBI211-+(定值)。a2b2例 11 若拋物線 y=ax2-1

26、上存在關于直線 x+y=0 成軸對稱的兩點， 試求 a 的取值范圍。 解拋物線 y=ax2-1 的頂點為（0,-1），對稱軸為 y 軸，存在關于直線 x+y=0 對稱兩點的條件是存在一對點 P（xi，yi）,（-y-X），滿足 yi=a 且-乂嚴）2-1,相減得 xJyaO,因為 P不在直線 x+y=0 上，所以 xJyO,所以 1=a（xi-yi），即 xi=yi+所以此方程有不等實根，所以，求得，即為所求。例 12 若直線 y=2x+b 與橢圓相交，（1）求 b 的范圍；（2）當截得弦長最大時，求 b 的值。解二方程聯(lián)立得 17x2+16bx+4（b2-l）=0.由 A0,得b；設兩交點為

27、 P（xi，yi）,Q（x2，y2），4：17-b2由韋達定理得PQl*1+k21xxx。所以當 b=0 時，|PQ|最大。1217三、基礎訓練題1. A 為半徑是 R 的定圓 00 上一定點，B 為 00 上任一點，點 P 是 A 關于 B 的對稱點，則點P 的軌跡是.2._一動點到兩相交直線的距離的平方和為定值 m2（0），則動點的軌跡是.3橢圓上有一點 P,它到左準線的距離是 10,它到右焦點的距離是.4._ 雙曲線方程，則 k 的取值范圍是.5._ 橢圓，焦點為 F1，F(xiàn)2，橢圓上的點 P 滿足 ZF1PF2=600，貝仏 FF2的面積是.6. 直線 l 被雙曲線所截的線段 MN 恰被

28、點 A（3，-1）平分，則 l 的方程為.7.ABC 的三個頂點都在拋物線 y2=32x 上，點 A（2，8），且 4ABC 的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線 BC 的斜率為.8. 已知雙曲線的兩條漸近線方程為 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0，一條準線方程為 5y+4=0，則雙曲線方程為.9. 已知曲線 y2=ax，與其關于點（1,1）對稱的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為 450,那么 a=.10.P 為等軸雙曲線 x2-y2二 a2上一點，的取值范圍是.11已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1,F2,設P是它們的一個焦點，求 ZF1PF2和 APF1F2的面積。12. 已知（i）半圓的直徑 AB 長為 2r；（ii）半圓外的直