1、第一章基礎(chǔ)知識部分&1.1初等函數(shù)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義函數(shù)是從量的角度對運(yùn)動變化的抽象表述，是一種刻畫運(yùn)動變化中變化量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。設(shè)有兩個(gè)變量X與y,如果對于變量x在實(shí)數(shù)集合D內(nèi)的每一個(gè)值，變量y按照一定的法則都有唯一的值與之對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)，記作y=f(x),其中自變量x取值的集合D叫函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2、函數(shù)的表示方法(1)解析法即用解析式(或稱數(shù)學(xué)式)表示函數(shù)。如y=2x+1,y=|x|,y=lg(x+1),y=sin3x等。便于對函數(shù)進(jìn)行精確地計(jì)算和深入分析。(2)列表法即用表格形式給出兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。便于差的某

2、一處的函數(shù)值(3)圖像法即用圖像來表示函數(shù)關(guān)系的方法非常形象直觀，能從圖像上看出函數(shù)的某些特性。分段函數(shù)一一即當(dāng)自變量取不同值時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式不一樣，如隱函數(shù)一一相對于顯函數(shù)而言的一種函數(shù)形式。所謂顯函數(shù)，即直接用含自變量的式子表示的函數(shù)，如y=x2+2x+3,這是常見的函數(shù)形式。而隱函數(shù)是指變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系式是由一個(gè)含x,y的方程F(x,y)=0給出的，如2x+y-3=0,exyxy0等。而由2x+y-3=0可得y=3-2x,即該隱函數(shù)可化為顯函數(shù)。xt參數(shù)式函數(shù)一一若變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系是通過參數(shù)式方程xttT給出yt的，這樣的函數(shù)稱為由參數(shù)方程確定的函數(shù)，簡稱參數(shù)式方程，t稱

3、為參數(shù)。反函數(shù)如果在已給的函數(shù)y=f(x)中，把y看作自變量，x也是y的函數(shù)，則所確定的函數(shù)x=(y)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)或y=f-1(x)(以x表示自變量).二、函數(shù)常見的性質(zhì)1、單調(diào)性(單調(diào)增加、單調(diào)減少)2、奇偶性(偶：關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(-x)=f(x);奇：關(guān)于y軸對稱，f(-x)=-f(x).)3、周期性(T為不為零的常數(shù)，f(x+T)=f(x),T為周期)4、有界性(設(shè)存在常數(shù)M0,對任意xGD,有fI(x)I0且a才1;(4)exex;11(5) logax,a0且a*1;(6)inx；xlnax(7) sinxcosx;(8)cosxsinx;(9)

4、tanxsec2x;(10)cotxcsc2x;(11)arcsinx(12)arccosx(13)arctanx11x212；(14)arccotx1x62.3 復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)y=f(u)在u處可導(dǎo)，u=(x)在x處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x)在x處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為dyf四或yfuuux。dxdudx可見，復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。具體求導(dǎo)步驟如下：(1)引進(jìn)中間變量u,將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x)(2)計(jì)算fuu，在將u=u(x)代入，表示成關(guān)于x的表達(dá)式fuuxo(3)計(jì)

5、算u(x),若u(x)是基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)，直接求出u(x)。若u=u(x)仍然是復(fù)合函數(shù)，則繼續(xù)分解，重復(fù)上述步驟，直至求出u(x)。最后作乘積fuxux即求得y。二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則若需求因隱函數(shù)y在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)值yIxX0,具體求法是：(1)先由方程F(x,y)=0求出對應(yīng)于xx0的函數(shù)值y=y0;再求出y,然后將xx0,y=yO代入，所得數(shù)值即為yIxx0。62.4 高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)fn-1x的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作yn或df。dxnnfnxSxn)dx二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)fx稱為一階導(dǎo)數(shù)。求高階

6、導(dǎo)數(shù)只需反復(fù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算即可。62.5 函數(shù)的微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處及其左右兩側(cè)的小范圍內(nèi)有定義，自變量x在點(diǎn)X0處有改變量x0,相應(yīng)的函數(shù)該變量為y。若存在常數(shù)A,使得當(dāng)x0時(shí)，yAx是比x高階的無窮小，即加yAx0,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處x0x可微，并稱Ax為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分，記作dyIxx0Ax。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微與在點(diǎn)x0處可導(dǎo)等階，且dyIxx0fxx。若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上沒一點(diǎn)都可微，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可微。函數(shù)的微分可以寫成dyfxdx。根據(jù)函數(shù)y=f(x)的微分表達(dá)式、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則，

7、可得以下微分運(yùn)算公式及法則：(1) d(c)=0(c為常數(shù))(2) d(u(x)+c)=d(u(x)(c為常數(shù))(3) d(ku(x)=kd(u(x)(k為常數(shù))(4) d(u(x)土v(x)=d(u(x)d(v(x)(5) d(u(x).v(x)=v(x)d(u(x)+u(x)d(v(x)uvduudvd-2vv(7)dfuxfuxuxdx如果函數(shù)y=f(u)對u可微，u=u(x)對x可微，則dyfudu。我們把這個(gè)定理稱為微分形式不變性。&2.6函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值一、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)：(1)如果fx0,那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)增加；(2)如果fx0,那么函

8、數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)減少。如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)fx在開區(qū)間I內(nèi)恒非負(fù)(恒非正)，且使得fx=0的點(diǎn)只是一些孤立的點(diǎn)，那開區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(單調(diào)減少區(qū)間)。二、函數(shù)的極值若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的一階導(dǎo)數(shù)值fx。0,則稱點(diǎn)xo為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0是f(x)的極值點(diǎn)，則x0必是函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)只可能在有限的幾個(gè)點(diǎn)處不可導(dǎo)，點(diǎn)x0為f(x)的駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，當(dāng)x從點(diǎn)x0的左側(cè)變化到右側(cè)時(shí)：X0(1)如果一階導(dǎo)數(shù)fx變號，且從正號(負(fù)號)變化到負(fù)號(正號)，則點(diǎn)為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(極

9、小值點(diǎn))；(2)如果一階導(dǎo)數(shù)fx不變號，則點(diǎn)X。不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。極值存在的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在其駐點(diǎn)x。處二階可導(dǎo)。(1)若fx0,則x。是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)；若fx0,則x。是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)。三、函數(shù)的最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值。最值可在區(qū)間內(nèi)部取得，也可在區(qū)間端點(diǎn)取得。結(jié)合最值與極值的關(guān)系，求函數(shù)f(x)在a,b上的最值的步驟如下：(1)求出函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)的函數(shù)值(包括駐點(diǎn)、間斷點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值)；(2)求出區(qū)間點(diǎn)的函數(shù)值f(a)和f(b);(3)將這些函數(shù)值進(jìn)行比較其中最大(小)者為最大(小)值。&2.8經(jīng)濟(jì)應(yīng)用、邊際函數(shù)總成本函數(shù)C=C(x)對產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)Cx稱為邊際成本函數(shù)；總收益函數(shù)R=R(x)對產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)Rx稱為邊際收益函數(shù)；總利潤函數(shù)L=L(x)對產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)Lx稱為邊際利潤函數(shù)。二、需求彈