1、5-1 內(nèi)力內(nèi)力 的的 概概 念念 由于物體受到外力作用所引起的內(nèi)部由于物體受到外力作用所引起的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的改變量各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的改變量“附加附加內(nèi)力內(nèi)力”，簡稱為，簡稱為內(nèi)力內(nèi)力。Fx軸向力軸向力Fy、 Fz剪力剪力Mx扭矩扭矩My、 Mz彎矩彎矩ABCF1FnF1F2以上分析內(nèi)力的方法以上分析內(nèi)力的方法F1F2ABFRMoFyFzFxMyMxMzxzyoABFNAFNA外力：外力：作用線沿作用線沿桿軸線方向。桿軸線方向。ABFNAFNA 變形：變形：沿軸向伸長或縮短，沿橫向沿軸向伸長或縮短，沿橫向（垂直（垂直于軸向）于軸向）縮小或增大?？s小或增大。軸向拉軸向拉壓桿件壓桿件F

2、NAFNBABmmFNAFNIFN (x) = FNA 內(nèi)力（軸力）方程內(nèi)力（軸力）方程FN (x) 軸軸 力。力。規(guī)定：規(guī)定： 桿受桿受拉拉，F(xiàn)N 為為正正。桿受桿受壓壓，F(xiàn)N 為為負(fù)負(fù)。xx根據(jù)軸力方程畫出的內(nèi)力圖根據(jù)軸力方程畫出的內(nèi)力圖 軸力圖軸力圖。FNAFNBABmmFNAxFN內(nèi)力方程：內(nèi)力方程：FN（x）=f（x）軸力方程軸力方程4kN4kNABmmFN = 4kN=常量常量4kNFN例例1 1：例例2：求求AD桿的軸力并畫軸力圖。桿的軸力并畫軸力圖。10KNFN1CD 段：由段：由Fix = 0，10 - FN1 = 0 FN1 = 10 kNFR10KND221133BA10

3、KN20KNCXBC段：由段：由Fix = 0，10 - 20 - FN2= 0， FN2 = - 10 KN。10KNFN220KNFR10KND221133BA10KN20KNCX10KNFN320KN10KNFR10KND221133BA10KN20KNCXAB段：由段：由Fix = 0，10 - 20 - 10 - FN3= 0， FN3 = - 20 KN。FR10KND221133BA10KN20KNCX102010FN（kN）內(nèi)力圖的一些特點(diǎn)內(nèi)力圖的一些特點(diǎn)! 例例 3 3：桿除在桿除在A A、D D端各有一集中力作用外，端各有一集中力作用外，BCBC段作用有沿桿長均勻分布的軸向

4、外力，集度為段作用有沿桿長均勻分布的軸向外力，集度為2 2kN/ /m，作桿的軸力圖。，作桿的軸力圖。3kN1kN2kN/ mABCD2m2m2m由由Fix = 0， - 3 +2x + FN (x) = 0， FN (x) = 3 - 2x . x = 0 時時 , FN (x) = 3 kN . x = 2m 時時 , FN (x) = - 1 kN. 3kN2mABxFN(x)x3KN1KN2KN/ mABCD2m2m2m13FN（KN）外力：外力：力偶力偶，且作用在垂直與軸線的平面內(nèi)。，且作用在垂直與軸線的平面內(nèi)。變形：變形：各橫截面繞桿軸線作各橫截面繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動相對轉(zhuǎn)動。任兩截

5、面。任兩截面間相對轉(zhuǎn)動的角度間相對轉(zhuǎn)動的角度扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角；桿的縱線也轉(zhuǎn)；桿的縱線也轉(zhuǎn)過一角度過一角度，變，變成螺旋線。成螺旋線。TT縱線縱線軸線軸線圓形截面的扭轉(zhuǎn)構(gòu)件圓形截面的扭轉(zhuǎn)構(gòu)件圓軸圓軸。以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的受力桿件以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的受力桿件軸軸。TT縱線縱線軸線軸線一、扭矩的計(jì)算（內(nèi)力的計(jì)算）一、扭矩的計(jì)算（內(nèi)力的計(jì)算）截面法截面法 Mx （x） = T 扭矩方程扭矩方程 Mx 扭扭 矩矩 規(guī)定：按規(guī)定：按右手法則右手法則，力矩矢的方向，力矩矢的方向指向橫截指向橫截面的外法線方向?yàn)檎娴耐夥ň€方向?yàn)檎?，反之，為，反之，為?fù)負(fù)。mmTTMxTmmx151Mx1二、扭矩圖二、扭矩圖段

6、：段：Mx1= -5 Nm1122115Mx21122331152Mx3段：段：Mx2 = 11-5=6 Nm段：段：Mx3 = 11-5-2=4 Nm11223311Nm5Nm2Nm4Nm單位: Nm64511223311524Mx(Nm)80kNm2m8m10kNm/m例題例題 作圖示樁的扭矩圖作圖示樁的扭矩圖Mx:80kNm一、概述一、概述外力外力:外力或外力偶作用在包外力或外力偶作用在包 含軸線的縱對稱平面內(nèi)。含軸線的縱對稱平面內(nèi)。變形變形:軸線彎曲軸線彎曲。橫截面轉(zhuǎn)動。橫截面轉(zhuǎn)動。以彎曲為主要變形的桿以彎曲為主要變形的桿梁梁。若外力或外力偶作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，桿的軸若外力或外力偶作用

7、在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，桿的軸線在此平面內(nèi)彎成一平面曲線線在此平面內(nèi)彎成一平面曲線平面彎曲平面彎曲?？v向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面軸線軸線 梁的種類梁的種類A、簡支梁、簡支梁B、外伸梁、外伸梁C、懸臂梁、懸臂梁F1F2F1F2F1F2MZFRBFQmmBFP2FQ剪力剪力MZ彎矩彎矩由由Fiy =0， FRA- FP1 - FQ =0 得得 FQ = FRA- FP1 由由MiC =0， FRA x - FP1（x-a）- MZ =0 得得 MZ = FRA x - FP1（x-a）FP1FP2FRAFRBmmxaBAFP1FRAFQMZmmxxyA規(guī)規(guī) 定：定：MZ：MMZMMZ上凹下凸彎矩正上凹下凸彎矩正,

8、 反之為負(fù)反之為負(fù)左下右上剪力正左下右上剪力正, 反之為負(fù)反之為負(fù)FQ FPFQ FPFQ： 例：已知例：已知 q=2 kN / m，求，求 1-1，2-2，3-3 截面上截面上的內(nèi)力。的內(nèi)力。yqx3322MAFRA112 m1 m1 m1-1 截面截面：FQ1 = 22 = 4 kN，Mz1 = -2 2 3 = - 12 kNm2-2 截面截面：FQ2 = 22 = 4 kN， Mz2 = -2 2 1 = - 4 kNm3-3 截面截面：FQ3 = 21 = 2 kN， Mz3 = -2 1 0.5 = - 1 kNmFQ = FQ（x） 剪力方程剪力方程Mz = Mz（x） 彎矩方程

9、彎矩方程方程用圖來表示方程用圖來表示- 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖!xBAql 例例1 1：已知：已知q，求剪力方程和彎矩方程。并，求剪力方程和彎矩方程。并畫出畫出FQ Q圖和圖和 Mz z 圖。圖。xBAqlFRAFRB解：解：1求支座反力求支座反力 FRA = FRB = q l / 22求方程求方程 FQ(x) = q l / 2 - q x ( 0 xl ) Mz (x) = qlx / 2 - qx2 / 2 ( 0 xl ) 示力圖ql 2 / 8MzFQql / 2ql / 23 3畫剪力彎矩圖畫剪力彎矩圖由由 FQ(x) = q l / 2 - q x ( 0 xl ) Mz

10、 (x) = qlx / 2 - qx2 / 2 ( 0 xl ) 取取 x = 0, FQ(x) = q l / 2 ， Mz = 0 x = l, FQ(x) = - q l / 2，Mz = 0由由 d Mz(x) / d x = 0 , 當(dāng)當(dāng) x = l / 2 Mz max = ql 2 / 8 由圖看出由圖看出: : FQ max = q l / 2 ， 發(fā)生在梁兩端截面上。發(fā)生在梁兩端截面上。 Mz max = ql 2 / 8，發(fā)生在梁跨中截面上。發(fā)生在梁跨中截面上。xBAqlFRAFRB 例例2： 已知已知 FP，求，求FQ(x)和和 Mz (x)。并畫出并畫出 FQ圖和圖和

11、 Mz 圖。圖。 1求支座反力求支座反力 由由MB =0 , FRA = FPb / l 由由MA =0 , FRB = FPa / l解：解：xBAFPlFRAFRBabc 2求求FQ(x)和和 Mz (x)。 AC: FQ (x) = FRA = FPb / l (0 x a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0 x a)BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (ax l) Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l (axl)示力圖3畫畫 FQ(x)圖和圖和 Mz (x)圖圖。 A

12、C: FQ(x) = FRA = FPb / l (0 x a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0 x a)BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (ax l) Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l (axl)FQFPb / lFP a / lMzFPba / l FpFQMz 2求求FQ(x)和和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0 x a) Mz (x) = - FRAx = - mx / l (0 x a) BC: FQ(x) =

13、- FRA = - m / l (ax l) Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (axl) 例例 3： 已知已知m，求，求FQ(x)和和 Mz (x)。并畫出并畫出 FQ圖和圖和 Mz 圖。圖。mxBAlFRAFRBabc 1求支座反力求支座反力 FRA = FRB = m / l解：解：3畫畫 FQ(x)圖和圖和 Mz (x)圖圖。mxBAlFRAFRBabcFQm/lMzma/lmb/lql2 / 8MzFQql / 2ql / 2xBAqlFRAFRBql2 / 8Mzql2 / 8Mzql2 / 8MzFQql / 2ql / 2FQFQFQql /

14、2ql / 2xBAqlFRAFRBxBAqlFRAFRBxBAqlFRAFRBFPxdxxydxFQ (x)q(x)FQ (x)+dFQ (x)MZ(x)MZ(x)+dMZ(x)由由Fiy=0， FQ (x)+q(x)dx -FQ (x)+d FQ (x)=0由由Mic=0， FQ (x)dx+ MZ(x)+q(x) dxdx/2-MZ(x)+d MZ(x)=0 d FQ (x) / dx=q(x) （1）d MZ(x) / dx= FQ (x) （2）d2 MZ(x) / dx2=q(x) （3）（1） FQ 圖上某一點(diǎn)切線的斜率就等于梁上該圖上某一點(diǎn)切線的斜率就等于梁上該點(diǎn)的荷載梁度點(diǎn)的

15、荷載梁度 q（x）。）。（2）Mz圖上某一點(diǎn)切線的斜率就等于梁上該點(diǎn)圖上某一點(diǎn)切線的斜率就等于梁上該點(diǎn)處的剪力處的剪力FQ（x）。）。（3）可幫助判斷）可幫助判斷Mz圖的凹凸。圖的凹凸。 d FQ (x) / dx=q(x) d MZ(x) / dx= FQ (x) d2 MZ(x) / dx2=q(x)1、討論特例、討論特例 q=0: FQ=c (）. Mz=線性線性, FQ0 ( ); FQ0 ): FQ=線性線性( / ), Mz=拋物線拋物線( ) (0 ): FQ=線性線性( ), Mz=拋物線拋物線( ) FQ=0: Mz取極值。取極值。FPxdxxy 例例 ： 畫出畫出 FQ圖和

16、圖和 Mz 圖。圖。20KNABCD12 3562m8m2m160KNm20KN/mFRAFRB解：解：1求反力求反力由由MA= 0，F(xiàn)RB= 148 KN. MB= 0，F(xiàn)RA= 72 KN.2畫畫FQ、M圖。圖。分段ACCBBDqq = 0q = c（0）q = c（0）Q 圖水平線斜直線（ ）斜直線（ ）M 圖 斜直線（ ）下凸曲線（ ） 下凸曲線（ ）FQx = 3.6m20608872FQy(KN)FQ：6個控制截面?zhèn)€控制截面FQ1 = FQ2 =FQ3 =FRA =72 KNFQ4 =72 - 208 = - 88 KNFQ5 =72 - 208 + FRB =60 KNFQ6 =

17、 72 - 2010 + FRB = 20 KN20KNABCD12 3562m8m2m160KNm20KN/mFRAFRB8016144113.6Mz(KNm)Mz：需：需 7 個控制截面?zhèn)€控制截面Mz 1 = 0， Mz 2 = 722 =144 KNmMz 3 = 72 2 - 160 = - 16KNmMz 4 =72 10-160-1604 = - 80 KNmMz 5 = Mz 4 = - 80 KNmMz 6 = 7212 - 160 - 20105 -1482= 0當(dāng)當(dāng)FQ（x）=0時，時， Mz （x）有極值。）有極值。x = 3.6處，處， FQ（x）=0 。即即Mz7 =

18、 72 5.6 - 160 - 203.6 3.6 / 2 = 113.6 KNm 全梁的最大剪力在全梁的最大剪力在 4 截面處截面處, |FQmax |= 88 KN, 最大彎矩在最大彎矩在 2 截面處截面處, Mz max =144 KNm.20KNABCD12 3562m8m2m160KNm20KN/mFRAFRB3kN/m2kN/m4kNm4kNmAB2m2m4m例題：畫剪力和彎矩圖例題：畫剪力和彎矩圖FAFB解：解：1 1、求約束反力、求約束反力FA=29/3kN，F(xiàn)B=13/3kN2 2、取控制截面，分析每段剪、取控制截面，分析每段剪力彎矩的分布規(guī)律力彎矩的分布規(guī)律12 34 56 q -3 0 -2FQMz 斜線斜線3 3、求控制截面的剪力和彎矩、求控制截面的剪力和彎矩FQ1=0；FQ2=-6kN FQ3=FQ4=FQ5=11/3kNFQ6=-13/3kN畫剪力圖畫剪力圖611/313/3FQ