1、第二篇數(shù)學物理方程物理問題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根據(jù)物理問題導出數(shù)理方程一偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理條件（自然條件，連接條件），從而與數(shù)理方程一起構成定解問題；3、方程齊次化；4、數(shù)理方程的線性導致解的疊加。一、數(shù)理方程的來源和分類（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來源I.質點力學：牛頓第二定律F=mfl弦一彈性體力學4桿振動：續(xù)蟲fq2u（tt）H（波動方程）；（彈性定律）i#2'，'連續(xù)體力學產航體力學：質量守恒律：1+V（4）=0;8*熱力學物態(tài)方程：+（V»V=p+f二0（Eulereq.）.aPI

2、I .麥克斯韋方程|_Dd，.：i"d:D"Edi=BdS=*.E=B；LBd；-=0=、B=0;1Hd；=（jD）dS：H=jD.E=-Vu,B=RA,u,A滿足波動方程。Lorenz力公式二:力學方程；Maxwelleqs.+電導定律二電報方程。III .熱力學統(tǒng)計物理T、'王,至*T=0；特另1J：穩(wěn)態(tài)（史=0）：V2P=0（Laplaceequation）.'-ma擴散方程：空_0爐戶=0.L.小IV.量子力學的薛定謂方程：.由-u聲.2由=一一,uVu.:t2m2.分類物理過程方程數(shù)學分類振動與波波動方程審uCuWa2a2雙曲線輸運方程及量：熱傳導

3、色由量：擴散au拋物線穩(wěn)態(tài)方程LaplaceequationfuH橢圓型、數(shù)理方程的導出推導泛定方程的原則性步驟：(1)定變量：找出表征物理過程的物理量作為未知數(shù)(特征量)，并確定影響未知函數(shù)的自變量。(2)立假設：抓主要因素，舍棄次要因素，將問題“理想化”-“無理取鬧”(物理趣樂)。(3)取局部：從對象中找出微小的局部(微元)，相對于此局部一切高階無窮小均可忽略-線性化。(4)找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關系。(5)列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter7一維波動方程的傅里葉解第一節(jié)一維波動方程-弦振動方程的建立7.1.1弦橫

4、振動方程的建立(一根張緊的柔軟弦的微小振動問題)(1)定變量：取弦的平衡位置為x軸。表征振動的物理量為各點的橫向位移u(x,t),從而速度為Ut,加速度為Utt.(2)立假設：弦振動是微小的，網(wǎng)=1,因此，sincestance,cosot=1,又=tan:、上弦是柔軟的,即在它的橫截面內不產生應力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力T(x,t)始終是沿弦的切向(等價于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于X軸，外力線密度為F(x,t)；設弦的線密度(細長)為P(x,t),重力不計。(3)取局部：在點x處取弦段dx,dx是如此之小，以至可以把它看成質點(微元)。質量微元：P(x,t)

5、dx；微弧長:ds=dx2+du2dxdx(即這一小段的長度在振動過程中可以認為是不變的，因此它的密度出x,t/隨時間變化,另外根據(jù)Hooke定律弗=_k»可知，張力T(x，t)也不隨時間變化，我們把它們分別記為gxfRT(x).(4)找作用：找出弦段所受的力。外力：F(x,t)dx,垂直于x軸方向;張力變化：(Tcosot)|x+x(Tcosa1=丁(x+dx)T(x),x方向緊繃，(Tsina)|x.TTsins)|x=(TUx)|x業(yè)(Tux)|x=(TUx)dx,垂直于x軸方向。(5)列方程：根據(jù)牛頓第二定律T(x+dx)_T(x)=0,因x方向無位移，故T(x+dx)=T(

6、x)=T.：?(x)dxutt=F(x,t)dx，Tuxxdx=F(x,t)dxTuxxdx即，叫一Tuxx=f(x,t),其中f(x,t)=£與立是單位質量所受外力。,一T如果弦是均勻的，即P為常數(shù)，則可寫a=«下為弦振動的傳播速度，則utt-aUxx=f(x,t).，一一，2一、,、-一自由振動(f三0):utt-auxx=0(齊次萬程)。小結1:對于弦的橫振動、桿的縱振動方程(一根彈性均勻細桿的微小振動問題)、薄膜的橫振動方程(張緊的柔軟膜的微小振動問題)，在不受外力情況下，其振動的微分方程為：utt=a22u(齊次方程)其中a為振動的傳播的速度。當單位質量所受外力為

7、f時，其振動微分方程為:2. 2utt=aVu+f(非齊次方程)7.1.2定解問題但總是選擇物體內第一節(jié)從物理問題和相應的物理定律導出了其所滿足的偏微分方程,部，不含端點或邊界，對一小部分來討論其運動狀況，僅反映了物體內部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內部相鄰之間、相繼時刻之間的這種聯(lián)系(規(guī)律)通常與周圍環(huán)境(邊界上)和初始時刻對象(體系)所處的狀態(tài)無關。僅有方程還不足以確定物體的運動，因為外界的作用通常是通過物體邊界“傳”到內部的；一個方程可能有多個解，通解中含若干任意常數(shù)(函數(shù))，初始條件和邊界條件就是確定它們的條件。求一個微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問題稱為定解問題：初始條件

8、泛定方程&>副攵拴邊界條件TE解條件銜接條件自然條件。1 .初始條件(x,t)=中(。即已知初位移中(x)和初速度中(x)Ut(x,t)t衛(wèi)二(x).2 .邊界條件i. 第一類邊界條件-狄利克雷條件(Dirichlet邊界條件)：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。ii. 第二類邊界條件-諾依曼條件(Neumann邊界條件)：給出未知函數(shù)在邊界上法向導數(shù)的值。自由端點邊界(端點不受外力，自由振動，意味著弦張力在振動方向無分量)屬于此類，邊界條件為ux(0,t)=0或ux(l,t)=0iii. 第三類邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向導數(shù)在邊界上的線性關系。彈性支撐邊界(端點

9、受到彈簧的約束而無外力)屬于此類，邊界條件為：ux(0,t)-hu(0,t)=0Note：初始條件和邊界條件是場運動規(guī)律的極限。例1.對弦的橫振動問題導出下列情況的定解條件：弦的兩端點x=0和x=l固定，用手將弦上的點x=c(0<c<l)拉開使之與平衡位置的偏離為h(h«l),然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：u(0,t)=0,u(l,t)=0由點x=c的初始位移求出其他點的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得：hx,(0三x三c)u(x,0)=(x)=ch(l-x),(c<x<l)J-c顯然，初速度為零：ut(x,0)=0第二節(jié)齊次方程混合問題的傅里

10、葉解分離變量法本征值問題Abstract:求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導致了問題的核心一本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來定解(含任意函數(shù))一本征值問題可解決此類問題。7.2.1 利用分離變量法求解齊次弦振動方程的混合問題分離變量法：把二元函數(shù)u(x,t)表示為兩個一元函數(shù)相乘u(x,t)=X(x)T(t)；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程utt-a2uxx=0,把偏微分方程化為兩個常微分方程；把偏微

11、分方程的邊界條件轉化為常微分方程的邊界條件。題型I:方程和邊界條件都是齊次的，而初始條件是非齊次的。例題1:下面以兩端固定弦的自由振動為例(第一類齊次邊界條件):2utt-auxx=00:二x：二l,J0；UxJ0,(Uy"；u"=(x).注意這里的邊界條件。第一步，分離變量，將二階偏微分方程轉化為兩個常微分方程。設u(x,t)=X(x)T(t)取此特解形式，可得駐波解：T(t)是振蕩函數(shù)，而與x無關，X(x)是幅度函數(shù)，與t無關,將此u(x,t)=X(x)T(t)代入泛定方程，即得X(x)T(t)=a2X(x)T(t).等式兩端除以a2X(x)T(t),就有二平=0.aT

12、(t)X(x)注意在這個等式中，左端只是t的函數(shù)，與x無關，而右端只是x的函數(shù)，與t無關。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個既與x無關、又與t無關的常數(shù)。令這個常數(shù)aT(t)X(x)為-£(參數(shù))，即，W=2j.由此得到兩個常微分方程:(7.1)(7.2)T(t)a2T(t)=0X(x)X(x)=0第二步，將u(x,t)原來的邊界條件轉化為X(x)的邊界條件。將此u(x,t)=X(x)T(t)代入邊界條件，得X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0,轉化為X(x)的邊界條件：X(0)=0,X(l)=0因為T(t)不可能恒為0,否則u(x,t)恒為0(7.3)這樣就完成了分離變

13、量法求解偏微分方程定解(亦定界)問題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設所要求的是變量分離形式的非零解u(x,t)=X(x)T(t),導出了函數(shù)X(x)應該滿足的常微分方程和邊界條件，以及T(t)所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠實現(xiàn)，是因為原來的偏微分方程和邊界條件都是齊次的(可分離變量)。第三步，求解本征值問題上面得到的函數(shù)X(x)的常微分方程定解問題，稱為本征值問題。其特點是：常微分方程X"(x)+%X(x)=0中含有一個待定常數(shù)九，而定解條件X(0)=0,X(l)=0是一對齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微分方程的初值問題。下面將看到，并非對于任何人值，

14、都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當九取某些特定值時，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解X(x).九的這些特定值稱為本征值(eigenvalue),相應的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction).通過討論分析得出只有九A0時，方程(7.2)的解才有意義。因此，0>0時解(7.2)X(x)=AcosVzx+BsinZx.將這個通解代入邊界條件(7.3),就有A=0;A=0;I即,Acos、,lBsin、l=0.Bsin.l=0.A和B不能同時為0,否則X(x)恒為零，u(x,t)恒為0(平凡解，雖然零解無物理意義,但至少說明數(shù)學上可能行得通

15、)，因此只能是,sin網(wǎng)=0,即JIl=nn(n=1,2,3,).K只能取如下的一系列值：4(n=1,2,3,)；相應的本征函數(shù)就是:Xn(x)=sin這里取B=1,因為我們所要求的必然只是線性無關解。不同的B值給出的是線性相關的。由于同樣的原因，我們也不必考慮n為負整數(shù)的情形。這樣求得的本征值有無窮多個,他們可以用正整數(shù)n標記，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為為和Xn(x).第四步，求特解，并進一步疊加出一般解:對于每一個本征值%,由T(t)+£a2T(t)=0(7.1)解出相應的Tn(t):nn二Tn(t)=Cncos-atDnsin-at.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊

16、界條件的特解：n=1,2,3,.,，、-nn二，.限：un(x,t)=CncosatDnsinatsinx這樣的特解有無窮多個(n=1,2,3,)。每一個特解都同時滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的駐波。但是，一般來說，單獨任何一個特解都不能滿足定解問題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來,即,、二二八n二_.n二,n二u(x,t)=CncosatDnsin一atsin一x.ndlll這樣得到的u(x,t)也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解(當然要求此級數(shù)收斂且可以逐項求二階偏導，即求和和求導可以交換次序)。這種形式的解稱為一般

17、解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)中(x)和甲(x)定出疊加系數(shù)cn和Dn,將上面的一般解代入初始條件，得LqQ中(x)=£CnSinx,(7.4)nl-一n二an二(x)八-DnSin-x.(7.5)n411注：中(x)是已知函數(shù)而非任意函數(shù)般(x).u(x,t)既要滿足方程又要滿足條件。un(x,t)由Xn(x)構成，中(x)亦由Xn(x)構成。初、邊條件僅是其內部規(guī)律的極限。第五步，利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：nm二設Xn(x)=Sin1x和Xm(x)=Sin1x是分別對應本征值h和八m的兩個本征函數(shù)，入n#Km(即n=m).顯然，它們分別滿足X；(x)+KnXn(x)=0

18、,(7.6)Xn(0)=0,Xn(1)=0.(7.7)和Xm(x)十入mXm(x)=0,(7.8)Xm(0)=0,Xm(1)=0.(7.9)用Xm(x)乘以(7.6),用Xn(x)乘以(7.8),相減并在區(qū)間0,1】上積分，即得n-m0Xn(x)Xm(x)dx=：Xn(x)Xm(x)-Xm(x)X0(x)1dx=1Xn(x)Xm(x)-Xm(x)Xn(x)0=0,其中利用了Xn(x)和Xm(x)所滿足的邊界條件(7.7)和(7.9).考慮到九n豐%,因此，就證得本征函數(shù)的正交性：10Xn(x)Xm(x)dx=0,(n¥m).進一步計算還可以得到本征函數(shù)的模方：U|221|Xn(x)|

19、=(Xn(x)dx=3.因此，在(7.4)式兩端同乘以Xm(x)=sinx,并逐項積分，就得到i0(x)sinm二x.l一：八.nrx.dx=J£Cnsinsinl'0n4lm二x.dxl-l八Cn0sinn4n二x.m二xsinlldx=Cml_2所以，Cn0(x)sinn-pxdx.同樣可以得到，Dn=2fl(x)sin空xdx.(實為傅里葉級數(shù)的奇延拓)n二a0l這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)5(x)和中(x),計算出積分，就可以得到疊加系數(shù)Cn和Dn,從而就求得了整個定解問題的解。Step6,解的物理解釋先觀察特解：,、入n二_.nt;；n二一.,Un(x,t)=Cn

20、cosatDnsinatsinx=Nnsinnt'nsinknx,其中,n二K=一,心85與=0,Nnsing=Dn.因此，Un(x,t)代表個駐波，Nnsinknx表示線上各點的振幅分布,sin儂nt+6n)表示點諧振動。8n是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無關;kn稱為波數(shù)，是單位長度上波的個數(shù)；6n稱為位相，由初始條件決定在knx=mn,即x=mn/kn=(m/n),m=0,1,2,，n的各點上，振動的幅度恒為0,稱為波節(jié)。包括弦的1、兩個漏點在內，波下點共有n+1個。在knx=m+H,即'2)x=(2m+1¥/2kn=(2m+1”

21、2n,m=0,1,2,，n1的各點上，振幅的絕對值恒為最大，稱為波腹。波腹共有n個。整個問題的解則是這些駐波的迭加。正是因為這個原因，這種解法也稱為駐波法(agenerizedmethodoftheseparationvariables)."a就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個最小值，即叫=j,稱為基頻。其它固有頻率都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調。在弦樂器中，當弦的質料一定(即P一定)時，通過改變弦的繃緊程度(即改變張力T的大小)，就可以調節(jié)基頻R的即決定了聲大小。基頻和倍頻的迭加系數(shù)Cn和Dn的相對大小決定了聲音的頻譜分布，音的音色。小結2:對于弦振動的齊次

22、方程和第一類齊次邊界條件的混合問題，即:Utt-a2Uxx=00：二x：二l,八旦=。；Ux工=0，嵋=邛(刈；UtI卻(x).(注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示)它的解是：n二n二n二u(x,t)="CncosatDnsinatsinxn,lll其中：-2ln二xCn=0(x)sindx2ln二xDn=(x)sindxn二a0l習題七的1-6題屬于例題1類型。例題2,弦振動的齊次邊界條件中存在第二類邊界條件，如：2Utt-aUxxU00;二x：l,MxJ0；UxJ0,Uy=5(x);U3*x).注意：邊界條件與例題1不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉化為兩個常微分方

23、程。令u(x,t)=X(x)T(t),并代入泛定方程，即得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t),就有X(x)X(x)T(t)a2T(t)由此得到兩個常微分方程:X(x)X(x)-0,_,2_T(t)-aT(t)=0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將u(x,t)=X(x)T(t)代入關于x的一對齊次邊界條件，得X'(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0得X的邊界條件為:X'(0)=0,X(l)=0第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題X“(x)+ZX(x)=0,X'(0)=0,X(l)=0.九0

24、才有解.解得：X(x)=AcosJTx+BsinJ7x.得到：X(x)-Asin*x，/7Bcos、/7x代入邊界條件，就有B=0;B=0;(r-廠即r-Acos、.lBsin、.l=0.Acos、,l=0.A和B不能同日為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是1cosCl=0,即瓜'=(n+-)H(n=0,1,2,3,).是，人只能取如下的一系列值：加=曲十1)：1n=0,123,；相應的本征函數(shù)就是:1二Xn(x)=cos(n-)-px.第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解。對于每一個本征值%,可以求出相應

25、的Tn(t):_-1a二-1a二Tn(t)=Cncos(n-)-ptDnsin(n2)apt.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：-1a二一1a二為(x,t)=Cncos(ny丁tDnsin(n-)1、二，tcos(n-)-px.把這些特解疊加起來，就得到一般解，丁I1a_1a;.I1二u(x,t)-Cncos(n-)tDnsin(n-)tcos(n-)x,n-_第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:_211二Cn二0(x)cos(n)妙,4(2n1)二a1.1二xo-(x)cos(n夕班例題3,弦振動的齊次方程和齊次第一類、

26、第二類邊界條件2utt-au.。0-ux=o=。；uxxm二。，Uy=9(x);uttm=V(x),注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉化為兩個常微分方程。令u(x,t)=X(x)T(t),并代入泛定方程，即得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)X(x)X(x)T(t)a2T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t),就有由此得到兩個常微分方程：X(x)X(x)=0,T(t)-a2T(t)=0,第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)=X(x)T(t)代入關于x的一對齊次邊界條件，得X(0)T(t)=0,X'(l)T(t)=

27、0,這時也可以分離變量，得X的邊界條件為:X(0)=0,X'(l)=0.第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題X“(x)+兒X(x)=0,X(0)=0,X'(l)=0.九>0才有解.解得：X(x)=AcosJTx+BsinJTx.得到：X(x)-Asinxv/.-Bcosx以上兩式代入邊界條件，就有A=0;Bcos、"l=0.A=0;IA.sin、l.Bcos、1l=0.A和B不能同日為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是cosVil=0,即6=(n+()兀(n=0,1,2,3,).是，人只能取如下的一系列值:1二

28、n=0,123,；相應的本征函數(shù)就是:1二Xn(x)=sin(n2)-px.第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解。對于每一個本征值n,可以求出相應的Tn(t)：一-1a二_1a二Tn(t)=Cncos(n-)-ptDnsin(n2)丁可.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：1二tsin(n)x.2l-1a"_1a二/屋二On'0s？7燈立所.3)T把這些特解疊加起來，就得到一般解1二tsin(n)x.2l二一1a二1a-u(x,t)='Cncos(n-)tDnsin(n-)一n印一2l2l第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得

29、到系數(shù)，確定解將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為：-211-Cn=-0(x)sin(n2),xdx,DnJ(x)sln(n-2)-|Xdx小結3:對于弦的自由振動，針對齊次邊界條件中存在第二類邊界條件的兩類例題:2UttaUxx=00：二x：二1,例題2Uxxq=0;ux0,一一Uy=?(x);Uy=V(x).的解為二一1a二1a二1二u(x,t)-Cncos(n-)-ptDnSin(n2)-ptcos(n-)yx.其中_2l.1二Cn=Q(x)cos(n2),xdx,4(2n1)二aL.1二x0-(x)cos(n-)-pdx2Utt-aUxx=00:二x：二l,例題3d

30、ux=o=0;Uxx±=0,uy=*(x);u“=5(x).的解為"二八1a二1a二1二u(x,t)-：Cncos(n-)tDnsin(n-)tsin(n-)x.n-0_2l2l2l其中一2l.1二Cn0(x)sin(n2),xdx,41.1二xDn_-0'-(x)sin(n)dx(2n1)二a021習題七的13題屬于例題2類型。題型II:方程為齊次，邊界條件為非齊次。以習題10為例：求解長為1的弦的振動問題2Utt-aUxx=00MxM1,(1)"xi；Uxiu_=0;Uty=0.(3)注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無法求出解，所以需將

31、非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉化為齊次邊界條件。令函數(shù)u(x,t)=V(x,t)+s(x,t),其中s(x,t)為已知函數(shù)。已知函數(shù)s(x,t)的選取條件是:必須能夠使得V(x,t)滿足齊次邊界條件的混合問題，即：Vtt-a2Vxx=00MxM1,V(0,t)=0;V(1,t)=0,解：第一步，找出已知函數(shù)令(lx)u(x,t)=V(x,t)+k-p-)E(4)第二步，把上式帶入U(x,t)的混合問題，轉化為V(x,t)的齊次邊界條件的混合問題。把公式(4)帶入公式(1)得：2,Vtt=aV(5)將公式(2)帶入公式(4)得：V(0

32、,t)=0;V(1,t)=0(6)將公式(3)帶入公式(4)得：V(x,0)x:E(7)這樣，函數(shù)V(x,t)滿足的混合問題為:一2一一一.Vtt-aVxx=0(0<x<l),JV(0,t)=0;V(l,t)=0,V(x,0)=P(x)=(Xp)E;Vt(x,0)=(x)=0第三步，解關于V(x,t)的混合問題。V(x,t)的混合問題為例題1,所以V(x,t)解為nn二一一.n二V(x,t)八CncosatDnsinatsinxn=.lll其中：2ln-x.2lE(x-l).n-x.Cn=(x)sindx=-sindxnl0ll0ll2ln二xDn=(x)sindx=0n二a0l第

33、四步，寫出原方程的解。,(l-x)由u(x,t)=V(x,t)-E得：,、(l-x);1n二_.n二,限：u(x,t)=EICncosatDnsinatsinxlnd.lll習題七第12題：2Utt=aUxx-2hUt0：x：l(1)<ux田=0;Ux±=0(2)卜匕=9(刈；utt=0=W(x)(3)其中h是一個充分小的正數(shù)，中(x)W(x)為充分光滑的已知函數(shù)分析：泛定方程(1)式除了u,不存在第二個函數(shù)項，所示是齊次微分方程，(2)式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉化為兩個常微分方程。令(4)u(x,t)=X(x)T(

34、t)將(4)式代入方程(1),即得_.2._一一.X(x)T=aX(x)T(t)-2hX(x)T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t),把關于x和t的函數(shù)分移至等號兩邊，有X(x)X(x)T(t)2hT(t)=5=一九a2T(t)(-0).由此得到兩個常微分方程:X(x)X(x)=0(5)T(t)2hT(t)a2T(t)=0(6)第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)=X(x)T(t)代入關于x的一對齊次邊界條件(2)式，得X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0,這時也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為:X(0)=0,X(l)=0第三步，解X(x)本征值問題。

35、這樣，我們得到本征值問題：X"(x)+九X(x)=0,X(0)=0,X(l)=0.解得：X(x)=Acos、,xBsin.x.代入邊界條件，就有1A:0;Acos：/lBsin.l=0.1A=°；Bsin、,l=0.A和B不能同日為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是sinVl=0,即Vl=nn(n=1,2,3,1II).是，人只能取如下的一系列值：=(千)2(n=1,2,3,11);相應的本征函數(shù)就是:n二Xn(x)=sin(-px)(8)第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解解(6)式：T(t)

36、2hT(t)a2T(t)=0(6)式的特征函數(shù)為r2+2hr+a2九=0,其特征根為：r=-h二i.a2-h2因此(6)式解為：T(t)=Ce(1&at+D=e5t(Ccosja21h2t十DsinJa2h2t)對于每一個本征值九n,相應的Tn(t)：_ht.-n二22n二22、Tn(t)=e*CnCOst.(ai)-hDnSint.(ai)-h.0t因此，也就得到了滿足邊界條件的特解_ht.-n：.22_n：.22.n：.Un(x,t)=etCnCost.(a)2-h2Dnsint,(a1)2-h2sin(丁x)把這些特解疊加起來，就得到一般解00u(x,t)Cn4e弋Cncostj

37、(a牛)2-h2+DnsintJ(an)2-h2sin(nx)(9)第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解將初始條件u(x,0)=邛(x)代入上面的一般解，得:,n八,n二、u(x,0)=、Cnsin(x)n1l根據(jù)本征函數(shù)sin(x)的正交性得系數(shù)為:l2l.n;Cn=：0(x)sin(-px)dx(10)(9)式對t求導為:，二ntn二22n二22ut(x,t)-heCncost,(a一)-hDnsint,(a一)-hsin(x)n-：22n、22_n、22n&22.)-hsint.(al)-hDm(a)-hcost.(al)-hsin(n-：x)將初始條件ut(x,0)=W

38、(x)帶入上求導式，得22Ut(x0)-、一hCnSin(?x)八Dn(a：)2_h2sin(7x)n(x)n1lnAll-hCn-D2ln2根據(jù)本征函數(shù)sin(吧x)的正交性，得：ln二221n二(ai)-h=0'-(x)sin(-px)dx把（10）式帶入，得到2hDn二,，/n二2,21;(a1)-h1.n二0(x)sin(-px)dx2n二、2.21；(al)-h(x)sln(-njx)dx(11)該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié)非齊次振動方程求解前面所討論的問題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見，以長為l

39、兩端固定的弦的強迫振動為例，所用方法對其它類型的方程也適合。即考慮定解問題_2_2(4.1)(4.2)(4.3)uu2uT=a-2+f(X,t)(0<x<l,t>0),8dx"=0,UxjO)，叫=叱)，與=V(x)(0<x<l).I一笈B由所給的定解問題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強迫振動方法1：直接利用本征函數(shù)來求解，即把解展開成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。（該方法的前提條件是要知道此定解問題對應的齊次方程的本征函數(shù)）由上節(jié)例題1可知：兩端固定的弦的自由振動在弦上形成駐波形式，其本征值為%=（千）2,本征函數(shù)為sinnjx。則該弦在強迫力f（x,t

40、）作用下仍作類似該駐波形式的振動，因此，直接利用本征函數(shù)來求解。第一步，將上述定解問題中未知函數(shù)u（x,t）、已知函數(shù)f（x,t）、中（x）和中（x）都展開成本征函數(shù)sin吧x的級數(shù)形式。令l二：_n二u(x,t)八Tn(t)sinxn1l(4-1.4)由本征函數(shù)的正交性可知：.二.n二f(x,t)="fn(t)sinxnWl；(x)=nsin-xn1l(x)=、nsin-xn1l(4-1.5)(4-1.6)(4-1.7)fn(t)=2ln：t,-0f(x,t)sinxdx(4-1.8)一2nllnjt0中(x)sin丁xdx(4-1.9).Jnllro'-(x)sinxdx

41、(4-1.10)第二步，通過比較系數(shù)，得出參數(shù)Tn(t)滿足的常微分方程及滿足的初始條件。將式(4-1.4)及(4-1.5)帶入式(4.1)通過比較系數(shù)，得到常微分方程：222T；(t)+n2-Tn(t)=fn(t)(4-1.11)將式(4-1.6)、(4-1.7)帶入式(4.3)導出Tn(t)應該滿足的初始條件：二二n二/,一c、u(x,0)=9(x)=£Tn(0)sinx(4-1.12)n1lut(x,0)=W(x)=£T；(0)slnx(4-1.13)n1l通過比較式(4-1.12)與式(4-1.6),比較式(4-1.13)與式(4-1.7)得到：Tn(0)=9n(4-1.14)T；(0)=%(4-1.15)第三步，求解關于Tn(D的常微分方程(4-1.11)式。(4-1.11)式為非齊次，用常數(shù)變易法(第一冊中關