1、一、本原多項式一、本原多項式 二、整系數(shù)多項式的因式分解二、整系數(shù)多項式的因式分解 問題的引入問題的引入 因式分解定理因式分解定理數(shù)域數(shù)域P P上次數(shù)上次數(shù) 的多項式都可唯一地的多項式都可唯一地分解成一些不可約多項式的乘積分解成一些不可約多項式的乘積1 數(shù)數(shù) 域域不可約多項式不可約多項式復(fù)復(fù) 數(shù)數(shù) 域域 C實實 數(shù)數(shù) 域域 R有理數(shù)域有理數(shù)域Q存在任意次不可約多項式存在任意次不可約多項式僅有一次多項式僅有一次多項式一次多項式和某些二次不可約多項式一次多項式和某些二次不可約多項式有理系數(shù)多項式的因式分解有理系數(shù)多項式的因式分解怎么分？怎么分？分成什么樣？分成什么樣？有理數(shù)有理數(shù)域上多域上多項式不

2、項式不可約性可約性的判定的判定整系數(shù)整系數(shù)多項式多項式的分解的分解問題問題化為化為一、本原多項式一、本原多項式 設(shè)設(shè) 1110( )0,nnnng xb xbxb xb 定義定義,0,1,2, .ibZin若若 沒有沒有110,nnb bb b 則稱則稱 為為本原多項式本原多項式( )g x異于異于 的公因子，即的公因子，即110,nnb bb b 1 是互素的，是互素的，有關(guān)性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)1 ( ) ,f xQ xrQ 使使( )( ),f xrg x 其中其中 為本原多項式為本原多項式( )g x（除了相差一個正負(fù)號外，這種表示法是唯一的）（除了相差一個正負(fù)號外，這種表示法是唯一的） 2Ga

3、uss引理引理定理定理10 兩個本原多項式的積仍是本原多項式兩個本原多項式的積仍是本原多項式設(shè)設(shè) 110( ),nnnnf xa xaxa 110( )mmmmg xb xbxb 是兩個本原多項式是兩個本原多項式110( )( ) ( )n mn mn mn mh xf x g xdxdxd若若 不是本原的，則存在素數(shù)不是本原的，則存在素數(shù) ( )h x, p證：證：|,0,1,.rp drnm又又 是本原多項式，所以是本原多項式，所以 不能整除不能整除 的的( )f xp( )f x每一個系數(shù)每一個系數(shù)反證法反證法令令 為為 中第一個不能被中第一個不能被 整整除的數(shù)，即除的數(shù)，即 ia01,

4、na aap11|,.|iip ap apa 同理，同理， 本原，令本原，令 為為 中第一個不能被中第一個不能被 ( )g xjb0,mbbp整除的數(shù)，即整除的數(shù)，即 011|,|,|,.jjp bp bp bpb 又又11,ijijijda bab矛盾矛盾11|,|,|ijijijp dpa bp ab在這里在這里 故是本原的故是本原的( )h x定理定理11若一非零的整系數(shù)多項式可分解成兩若一非零的整系數(shù)多項式可分解成兩個個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式，則它一定可分解次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式，則它一定可分解成兩個成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積二、整系數(shù)多項式的因

5、式分解二、整系數(shù)多項式的因式分解 設(shè)整系數(shù)多項式設(shè)整系數(shù)多項式 有分解式有分解式( )f x( )( ) ( )f xg x h x 其中其中 且且 ( ), ( ) ,g x h xQ x ( ) ,( )( ) .g xh xf x 證：證：令令 111( )( ),( )( ),( )( )f xa fxg xrgxh xsh x這里，這里， 皆為本原多項式，皆為本原多項式， 111( ),( ),( )fxgx h x,aZ ,.r sQ 于是于是 111( )( )( ).a fxrsgx h x 由定理由定理10， 本原，本原，11( )( )gx h x即即.rsZ 11( )(

6、 )( ).f xrsgxh x,ars 從而有從而有 得證得證 設(shè)設(shè) 是整系數(shù)多項式，且是整系數(shù)多項式，且 是本原是本原( ), ( )f xg x( )g x推論推論的，若的，若 則則( )( ) ( ),( ) ,f xg x h xh xQ x( )h x必為必為整系數(shù)多項式整系數(shù)多項式 令令 11( )( ),( )( ),f xa fxh xch x11( ),( )fx h x本原，本原，111( )( )( )( )( )a fxg x ch xcg x h x即即 .cZ 1( )( )h xch x為整系數(shù)多項式為整系數(shù)多項式 證：證：,aZ cQ于是有，于是有，,ca 定

7、理定理12 設(shè)設(shè)1110( )nnnnf xa xaxa xa 是是一個整系數(shù)多項式，而一個整系數(shù)多項式，而 是它的一個有理根，是它的一個有理根， rs其中其中 是互素的，則必有是互素的，則必有 , r s0|,|.ns ar a是是 的有理根，的有理根，rs( )f x從而從而 ()|( ).sxrf x 又又 互素，互素，, r s1110( )()()nnf xsxr bxb xb ,0,1,1.ibZin比較兩端系數(shù)，得比較兩端系數(shù)，得 證：證：()|( ),rxf xs 在有理數(shù)域上，在有理數(shù)域上，由上推論，有由上推論，有sxr本原本原100,.nnasbarb 所以，所以， |,|

8、 .ns ar a定理定理12是判斷整系數(shù)多項式有理根的一個是判斷整系數(shù)多項式有理根的一個必要條件，必要條件， 而非充分條件而非充分條件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.432230 xxx可能有理根為可能有理根為131,3,22用綜合除法可知，用綜合除法可知，只有只有1為根為根 注意注意解：解：例例2 證明證明: 在在 上不可約上不可約 3( )51f xxxQ若若 可約，可約， ( )f x但但 的有理根只可能是的有理根只可能是( )f x1, 所以所以 不可約不可約( )f x證：證：則則 至少有一個一次因式，至少有一個一次因式，( )f x也即有一個有理根也即有一個有理根而而 (1

9、)3,f ( 1)5.f 矛盾矛盾 定理定理13 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判別法判別法設(shè)設(shè) 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 是一個整系數(shù)多項式，若有一個素數(shù)是一個整系數(shù)多項式，若有一個素數(shù) 使得使得, p1|npa 1202|,nnp aaa 203|pa 則則 在有理數(shù)域上是不可約的在有理數(shù)域上是不可約的( )f x若若 在在 上可約，由定理上可約，由定理11，( )f xQ( )f x可分解為可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項式積兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項式積 111010( )()()llmmllmmf xb xbxbc xcxc,ijb cZl mnlmn證：

10、證：00 0,.nlmabcab c0|,p a又又20|,pa不妨設(shè)不妨設(shè) 但但 0|p b0|.pc0|p b0|,p c或或00,.bcp不能同時整除不能同時整除 另一方面，另一方面，|.npa假設(shè)假設(shè) 中第一個不能被中第一個不能被 整除的數(shù)為整除的數(shù)為 01,lb bbp,kb比較兩端比較兩端 的系數(shù)，得的系數(shù)，得 kx01 10kkkkab cbcb c 上式中上式中 皆能被皆能被整除，整除， 10,kkabb p矛盾矛盾0|.kp bp c或或|,|.lmpbpc0|kp b c故不可約故不可約( )f x Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而判別法是判斷不可約的充

11、分條件，而 非必要條件非必要條件注意注意也就是說，如果一個整系數(shù)多項式也就是說，如果一個整系數(shù)多項式不滿足不滿足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的也可能是不可約的 有些整系數(shù)多項式有些整系數(shù)多項式 不能直接用不能直接用Eisenstein判別法來判斷是其是否可約，此時可考慮用適當(dāng)?shù)呐袆e法來判斷是其是否可約，此時可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q使?jié)M足代換使?jié)M足Eisenstein判別法條件，從而來判定原多項式判別法條件，從而來判定原多項式不可約不可約( )f x( ,0),ayb a bZ a()( )f aybg y( )f x例例3證明：證明：

12、 在在 上不可約上不可約 2nx Q證：（令證：（令 即可）即可） 2p ( (可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項式可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項式) )例例4證明：證明： 在在 上不可約上不可約 2( )1f xxQ取取 2,p 證：證：1,xy作變換作變換2( )22,f xyy則則在上不可約，在上不可約，222yy所以所以 在上不可約在上不可約( )f x由由Eisenstein判別法知，判別法知，例例5判斷判斷23( )1,2!3!pxxxf xxp令令 ( )! ( )g xp f x 21!,2(1)!pppppp xxxxp 則則 為整系數(shù)多項式為整系數(shù)多項式 ( )g x!| 1,|, !,(1)! (2)!ppppppp, ,但但 2|!,pp（為素數(shù)）在（為素數(shù)）在 上上是否可約是否可約Qp解：解：( )g x在在 上不可約，上不可約，Q從而從而 在在 上不可約上不可約( )f xQ對于許多對于許多 上的多項式來說，作適當(dāng)線性代換后上的多項式來說，作適當(dāng)線性代換后Q再用再用Eisenstein判別法判定