1、第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)3-1 數(shù)學期望的傳播數(shù)學期望的傳播 3-2 協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律3-3 協(xié)方差傳播律的運用協(xié)方差傳播律的運用3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)與定權(quán)的常用方法本章內(nèi)容包括：本章內(nèi)容包括：3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律3-6 由真誤差計算中誤差及其實踐運用由真誤差計算中誤差及其實踐運用v本章學習的目的和要求本章學習的目的和要求v求函數(shù)的協(xié)方差陣；求函數(shù)的協(xié)方差陣；v求函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣；求函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣；v求兩兩函數(shù)的互協(xié)方差陣以及互協(xié)因數(shù)陣。求兩兩函數(shù)的互協(xié)方差陣以及互協(xié)因數(shù)陣。v重點和難點重點和難點v協(xié)方差、協(xié)因數(shù)傳播律的運用；協(xié)方差

2、、協(xié)因數(shù)傳播律的運用；v常用定權(quán)的方法。常用定權(quán)的方法。v v先看兩個例子1、設(shè)有觀測值向量 的方差陣為：1試寫出各觀測值的方差以及兩兩協(xié)方差；2假設(shè)有函數(shù) ，那么該函數(shù)F的方差又如何？TLLLL1230 80 20 10 20 70 30 10 31 0.LLDFLLL123378LLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）2、等精度獨立觀測三角形三內(nèi)角，假設(shè)知觀測值的方差，那么由三個平差值構(gòu)成的向量的精度如何？123TLLLLv處理類似以上問題的方法就是：處理類似以上問題的方法就是：“協(xié)方差傳播律，也協(xié)方差傳播律，也稱稱“廣義

3、傳播律。廣義傳播律。3-1 3-1 數(shù)學期望的傳播數(shù)學期望的傳播v 數(shù)學期望是描畫隨機變量的數(shù)字特征之一。數(shù)學期望是描畫隨機變量的數(shù)字特征之一。v 其定義是：其定義是：v 知隨機變量的數(shù)學期望求其函數(shù)的數(shù)學期望知隨機變量的數(shù)學期望求其函數(shù)的數(shù)學期望, ,稱為數(shù)學期望稱為數(shù)學期望的傳播。的傳播。()( )E Xxf x dx 以下給出數(shù)學期望傳播的幾個運算公式 1、設(shè)C為一常數(shù), 那么: E(C)=C 2、設(shè)C為一常數(shù),X為一隨機變量, 那么: E(CX)=CE(X) 3、設(shè)有隨機變量X和Y, 那么: E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、 假設(shè)隨機變量X、Y相互獨立, 那么： E(XY)=E(

4、X)E(Y)3-2 3-2 協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律v從丈量任務(wù)的現(xiàn)狀可以看出從丈量任務(wù)的現(xiàn)狀可以看出v 觀測值函數(shù)與觀測值之間的關(guān)系可分為以下兩觀測值函數(shù)與觀測值之間的關(guān)系可分為以下兩種情況：種情況：v1 1線性函數(shù)如觀測高差與高程的關(guān)系；線性函數(shù)如觀測高差與高程的關(guān)系；v2 2非線性函數(shù)觀測角度、邊長與待定點坐標的非線性函數(shù)觀測角度、邊長與待定點坐標的關(guān)系。關(guān)系。v故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研討協(xié)方差傳播故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研討協(xié)方差傳播律。律。設(shè)有觀測值設(shè)有觀測值 ,數(shù)學期望為數(shù)學期望為 ,協(xié)方差陣為協(xié)方差陣為 ，又設(shè)有，又設(shè)有X線性函數(shù)為線性函數(shù)為: 求求Z的方差的方差D

5、ZZ。 1nX1 1111 11200:,n nnKk kkKkZKX式中是常數(shù)。XXn nD1Xn1 11111111 112001122:,nnnnnnnnnKk kkKK XkK XK XZ式中是常數(shù)。一、觀測值線性函數(shù)的方差一、觀測值線性函數(shù)的方差或：或：v 為求為求Z Z的方差，我們需從方差的定義入手。的方差，我們需從方差的定義入手。v 根據(jù)方差的定義根據(jù)方差的定義,Z,Z的方差為：的方差為：v 由數(shù)學期望運算可得：由數(shù)學期望運算可得：v 將將Z Z的函數(shù)式以及數(shù)學期望的函數(shù)式以及數(shù)學期望E EZ Z代入得：代入得：2( )( )TZZZDEZE ZZE Z ）2( )( )()()

6、()()()TZZZTXXTTXXTTXXTXXDEZE ZZE ZEKXKKXKE K XXKKEXXKKDK）（000)()XE ZE KXkKE XkKk（ ） （v由上推導可得出以下結(jié)論：由上推導可得出以下結(jié)論：v 假設(shè)有函數(shù)假設(shè)有函數(shù): :v純量方式：純量方式：v那么函數(shù)的方差為那么函數(shù)的方差為: :v以上就是知觀丈量的方差以上就是知觀丈量的方差, ,求其函數(shù)方差的公式。也稱求其函數(shù)方差的公式。也稱為為“協(xié)方差傳播律。協(xié)方差傳播律。.nnZK XK XK Xk112202TZZZXXDKDK0111111kXKZnn公式公式1 1.nnnnnxx xx xx xxx xZZnnx x

7、x xxkkDKKKk11212 122122122121 12.nnnnZZxxnxx xx xnx xnxxDkkkk kk kk kkk1121 31122222212212131 11122222方差的純量方式為：方差的純量方式為：v可見：假設(shè)可見：假設(shè)DX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律。誤差傳播律。例：知向量 ，且假設(shè)有函數(shù)：試求各函數(shù)的方差 。TLLLL123LLD1 0 00 2 00 0 1123，,LLLLLDLLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）二、多個觀測值線性函數(shù)

8、的協(xié)方差陣二、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣 設(shè)有觀測值 ，它們的期望 、方差為 假設(shè)有X的t個線性函數(shù)為: 求函數(shù)Z的方差以及它們之間的協(xié)方差？Xn 10221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1XnXXn nD 令: 那么X的t個線性函數(shù)式可寫為: 同樣,根據(jù)協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:1111211022122220113120,0nnttnttttntZkkkkZkkkkZkkkkKZK()()()()()()TttTXXTTXXTX XEZEZZEZZ ZEK XKK XKK EXXKK DKDtt n

9、 ntZK Xk0111公式公式2v可以看出可以看出v線性函數(shù)的協(xié)方差和多個線性函數(shù)的協(xié)方差陣在線性函數(shù)的協(xié)方差和多個線性函數(shù)的協(xié)方差陣在方式上完全一樣方式上完全一樣, ,且推導過程也一樣且推導過程也一樣; ;v所不同的是所不同的是DZZDZZ表示的是一個方陣；表示的是一個方陣；v 前者是一個函數(shù)值的方差前者是一個函數(shù)值的方差1 1行行1 1列列; ;v 而后者是而后者是t t個函數(shù)值的協(xié)方差陣個函數(shù)值的協(xié)方差陣t t行行t t列。列。v 即：前者是后者的特殊情況即：前者是后者的特殊情況. .例5：知向量 ，且：假設(shè)有函數(shù)：并記 ，試求 。LLLLLLLLLLLLLLL011123022123

10、033123118031180311803（）（）（）TLLLL123LLD1 0 00 1 00 0 1LLDTLLLL123123211333121333112333WLLWALWW 解：解：函數(shù)式函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律利用協(xié)方差傳播律v此題關(guān)健是此題關(guān)健是: :將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一同一 變量的方式變量的方式! ! 211333121333112333TLLLLDAD A v 兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差陣的求法兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差陣的求法 設(shè)有兩組X的線性函數(shù) 假設(shè)知X的方差陣DXX; 那么Y關(guān)于Z的互協(xié)方差陣DYZ以及DZY又如何?00111111FXFYKXKZrnnrrt

11、nntt 根據(jù)互協(xié)方差陣的定義,可得: 再利用數(shù)學期望傳播律，得： 同理,可得:( )( )()()()()Tr tTXXTTXXTXXEYE YZE ZYZEFXFKXKFEXXKFDKDZYt r:DTTXXYZKDFDZYD且()()TrtEYE YZE ZYZD公式公式3例:假設(shè)有函數(shù) 在知X1和X2的協(xié)方差陣D12時,試求Y對Z的協(xié)方差陣DYZ。解：1020YFXFZKXK，1120021120020000XYFXXFFFXXZXKXKKKX1200TYZXXTDFDKFD K故：故：p 協(xié)方差傳播律小節(jié)協(xié)方差傳播律小節(jié)p 求函數(shù)也可是向量的方差方差陣；求函數(shù)也可是向量的方差方差陣；

12、p 適用于各觀測為相關(guān)觀測情況；適用于各觀測為相關(guān)觀測情況；p 定律的通式為：定律的通式為：0TFFXXFKXKDKDK00TZYXXZKXKYFXFDKDF假假設(shè)設(shè)那那么么假假設(shè)設(shè)那那么么三、非線性函數(shù)的情況三、非線性函數(shù)的情況 設(shè)有觀測值 的非線性函數(shù)為 ： 知X的協(xié)方差陣DXX。 求Z的方差陣DZZ。 處理這類問題的關(guān)鍵是 必需先將非線性函數(shù)線性化,得到和前面已推導出的公式“一致的方式! 故，如何將非線性函數(shù)線性化，是我們先要處理的。 X1n12()(,)nZfXfXXXv 非線性函數(shù)的線性化 假設(shè)函數(shù) 在 的某一鄰域內(nèi)具有直到n+1階的導數(shù)，那么在該鄰域內(nèi) 的泰勒公式為 丈量平差中，非

13、線性函數(shù)線性化的方法是按泰勒級數(shù)展開，并取其零次項和一次項，二次以上各項舍去，即200000( )00()( )()()()()2!()()!nnfxf xf xfxxxxxfxxxn0 x( )f x( )f x000( )()()()f xf xfxxx 再來看多個變量的函數(shù) 的情況 或者為 之所以可以舍去二次以上項，是由于當 非常接近 時，上式中二次以上 各項都很微小，故可略去！12( ,)nf x xx0000012120110221200( ,)(,)() ()() ()() ()(nnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx二次以上項）000001212011022120

14、0( ,)(,)() ()() ()() ()nnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx0 xx120000001201102201200000001020120102012121 1220( ,)(,)() ()() ()() ()()()()(,)()()()nnnnnnnnnf x xxffff xxxxxxxxxxxxffffffxxxf xxxxxxxxxxxxK xK xK xf令故，可表達為故，可表達為v以上即為非線性函數(shù)線性化后方式。以上即為非線性函數(shù)線性化后方式。令：令：那么：那么：故可以按前推出公式得：故可以按前推出公式得：以上就是求非線性函數(shù)協(xié)方差的方法。以上

15、就是求非線性函數(shù)協(xié)方差的方法。.()(). ()(.)()nnnniiifffKKKKxxxfkf xxxxx1200012000001201112200.nnzK XK XK xkKXkTZZXXDKDK公式公式4120000001201102201200012010201200012120102012( ,)(,)() ()() ()() ()(,)()()()( ,)(,)()()()(nnnnnnnnnf x xxffff xxxxxxxxxxxxffff xxxdxdxdxxxxffff x xxf xxxdxdxdxxxxfdz01020121122)()()nnnffdxdxdx

16、xxxdzk dxk dxk dxkdxn也可以：也可以： 假設(shè)令： 那么將展開后的函數(shù)式寫為： 不難看出，上式是非線性函數(shù)式的全微分。 同理，可以得到函數(shù)Z的方差為.(.)iiiTnndxxxdxdxdxdxdzzzzf xxx012000012()().()nnfffdzdxdxdxxxxKdX0102012TZZXXDKDKv運用協(xié)方差傳播律的計算步驟：運用協(xié)方差傳播律的計算步驟：v1 1按要求寫出函數(shù)式；按要求寫出函數(shù)式；v2 2假設(shè)是非線性函數(shù)式，那么先對函數(shù)式求全假設(shè)是非線性函數(shù)式，那么先對函數(shù)式求全微分；微分；v3 3將函數(shù)式或微分關(guān)系式寫成矩陣方式將函數(shù)式或微分關(guān)系式寫成矩陣方

17、式有時要顧及單位的一致；有時要顧及單位的一致；v4 4運用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。運用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。例：如下圖導線, A為知點，0為AB方向的方位角， 為觀測角，其方差為4.0()2，觀測邊長S為600.00 m，其方差為0.5cm2， 試求C點的點位方差。 點位方差為點位方差為 解：解：1列函數(shù)式，列函數(shù)式， 由圖知由圖知: 00sin,cosSYYSXXACAC2線性化線性化 dSdSdYdSdSdXCC0000cossinsincos3運用協(xié)方差傳播公式可得坐標方差計算式運用協(xié)方差傳播公式可得坐標方差計算式202222022sincosSXsc2022220

18、22cossinSYsc4 計算點位方差計算點位方差 2222222220202222020222284.00.4*20626510*00.6005.0cossinsincoscmSSYXssCcc3-3 3-3 協(xié)方差傳播律的運用協(xié)方差傳播律的運用一、水準丈量的精度一、水準丈量的精度 函數(shù)式函數(shù)式那么由協(xié)方差傳播律得那么由協(xié)方差傳播律得即即利用這公式的前提是：設(shè)各測站觀測高差是等精度獨立觀利用這公式的前提是：設(shè)各測站觀測高差是等精度獨立觀測值！測值！.ABNhhhh1222222.12NNhAB站ABhN站 假設(shè)水準道路敷設(shè)在平坦地域，設(shè)前后兩測站間間隔大致相等，那么得： 上式 1.公里是指

19、一公里觀測高差的中誤差； 2.運用前提是當各測站的間隔大致相等s)。1ABhSNSSss站站站公里二、同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度二、同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度 算術(shù)平均值算術(shù)平均值( (函數(shù)式為函數(shù)式為由協(xié)方差傳播律知，平均值的方差為由協(xié)方差傳播律知，平均值的方差為可見：算術(shù)平均值的精度提高了?？梢姡核阈g(shù)平均值的精度提高了。1211111.niNixLLLLNNNN222222221111.1xxNNNNN三、假設(shè)干獨立誤差的結(jié)合影響三、假設(shè)干獨立誤差的結(jié)合影響 一個觀測結(jié)果同時遭到許多獨立誤差的結(jié)合影響，一個觀測結(jié)果同時遭到許多獨立誤差的結(jié)合影響，如：照準誤差、讀數(shù)誤差、目的

20、和儀器的偏心誤差如：照準誤差、讀數(shù)誤差、目的和儀器的偏心誤差對測角的影響。即對測角的影響。即那么可以得到：那么可以得到：即觀測結(jié)果的方差，等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之即觀測結(jié)果的方差，等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之和。和。12.Zn 222212.Zn3-4 3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)與定權(quán)的常用方法 方差是表征精度的一個絕對目的； 自然，方差之間的比例關(guān)系也可比較各觀測值之間的精度； 表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之為權(quán)，故權(quán)是表征精度的相對的數(shù)字目的。一、權(quán)的定義一、權(quán)的定義v 設(shè)有觀測值Lii=1，2，N的方差為i2，如選任一常數(shù)0，那么定義：v v 并稱Pi為觀測值Li的權(quán)。

21、202iiPv不難看出不難看出 權(quán)與方差成反比； 權(quán)是表征觀測值之間的相對精度目的權(quán)是不獨一的，單個權(quán)沒意義的； 對同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，0應(yīng)取同一定值否那么就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系。例：知兩個觀測值的中誤差為1=2cm、2=4cm，試確定它們的權(quán)。解：1設(shè)0=2cm， 那么： p1=02/12=1 p2=02/22=1/4。 2設(shè)0=1cm，那么 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。思索：兩種解法，得出怎樣結(jié)論？思索：兩種解法，得出怎樣結(jié)論？例：一個角度是由兩個等精度的方向值之差求得的。知方向值中誤差為，求角度及方向值的權(quán)。2122222TT得：則：22

22、022022220221122TPT令：則：P解：解：由題意二、單位權(quán)中誤差二、單位權(quán)中誤差“單位權(quán)的定義：等于單位權(quán)的定義：等于1 1的權(quán)為單位權(quán)。的權(quán)為單位權(quán)。對應(yīng)的觀測值為單位權(quán)觀測值；對應(yīng)的觀測值為單位權(quán)觀測值；對應(yīng)觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。對應(yīng)觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。0202稱為單位權(quán)方差。即：所選的稱為單位權(quán)方差。即：所選的0202值一經(jīng)選定，就有值一經(jīng)選定，就有詳細含義了詳細含義了例：在邊角網(wǎng)中，知測角中誤差為例：在邊角網(wǎng)中，知測角中誤差為1.01.0，測邊的中誤差為，測邊的中誤差為2.02.0厘米，試確定它們的權(quán)。厘米，試確定它們的權(quán)。解：設(shè)解：設(shè)0= =1.00

23、= =1.0 那么由權(quán)定義得：那么由權(quán)定義得： 2022220221(1 )0.25( /)(2)ssppcmcmv闡明了權(quán)有時是由量綱的。闡明了權(quán)有時是由量綱的。三、丈量上常用定權(quán)的方法舉例三、丈量上常用定權(quán)的方法舉例1.1.水準丈量的權(quán)水準丈量的權(quán)iiCPS公式中公式中C C的含義：的含義：1 11 1個測站的觀測高差權(quán)；個測站的觀測高差權(quán)； 2 2單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)。單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)。公式的運用前提：公式的運用前提：1 1當各測站的觀測高差為同精度時；當各測站的觀測高差為同精度時；2 2當每公里觀測高差為同精度時。當每公里觀測高差為同精度時。iiCPn或例：如下圖的水準網(wǎng)，各水

24、準道路長度 分別為設(shè)每公里觀測高差中誤差相等： S1=2.0(km) S2=2.0(km) S3=3.0(km) S4=3.0(km) S5=4.0(km) S6=4.0(km) 試確定各道路 觀測高差的權(quán)。ADCBh1h6h5h2h4h3解：設(shè)取4KM的觀測高差為單位權(quán)觀測(C=4KM)，那么由水準丈量 常用定權(quán)公式得： P1=2， P2=2， P3=1.3， P4=1， P5=1， P6=1， v經(jīng)過上例可知經(jīng)過上例可知v實踐定權(quán)時，并不需求知道觀測值方差的詳細數(shù)字，而只需實踐定權(quán)時，并不需求知道觀測值方差的詳細數(shù)字，而只需知道公里數(shù)或測站數(shù)就可以了；知道公里數(shù)或測站數(shù)就可以了；v在同一個

25、問題中，只能選取一個在同一個問題中，只能選取一個C C值，一旦選好就不能再變了；值，一旦選好就不能再變了；v運用常用定權(quán)公式時，留意運用前提！運用常用定權(quán)公式時，留意運用前提！2 2、同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)、同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)NPCv運用前提運用前提: n: n次等精度獨立反復(fù)觀測。次等精度獨立反復(fù)觀測。例：設(shè)對A角和B角進展觀測，A角測了4次，B角測了16次，知A=2.0，求單位權(quán)中誤差0和B。解：解：1 1設(shè)設(shè)C=1C=1 那么：那么：PA=4PA=4，PB=16PB=16 因因A=2.0A=2.0，而，而PA=02/A2PA=02/A2 故：故： 02=4 02=4* *

26、4=164=162 2 那么：那么： B2=02/PB=1 B2=02/PB=1222 2設(shè)設(shè)C=4C=4，那么，那么PA=1PA=1，PB=4PB=4 同上法得：同上法得：02=102=1* *4=44=42 2 B2=02/PB=1 B2=02/PB=122可見：絕對精度是不變的！可見：絕對精度是不變的！3-5 3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣、權(quán)陣一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣、權(quán)陣1.1.協(xié)因數(shù)：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用協(xié)因數(shù)：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用QiiQii表示。表示。即：即：2201iiiiiQpiiiQ0v闡明：任一觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)

27、闡明：任一觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)因數(shù)權(quán)倒數(shù)的乘積。因數(shù)權(quán)倒數(shù)的乘積?；颍夯颍?.2.協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣互協(xié)因數(shù)相關(guān)權(quán)倒數(shù)互協(xié)因數(shù)相關(guān)權(quán)倒數(shù)對于兩個隨機變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為對于兩個隨機變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為 ：協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣QXXQXX 將將t t維隨機向量維隨機向量X X的方差陣的方差陣DXXDXX，乘以一個純量，乘以一個純量因子因子1/ 021/ 02，那么得協(xié)因數(shù)陣，那么得協(xié)因數(shù)陣QXXQXX，即：，即：20ijijQ21112222000111212222222200202201ttttXXtttQQQQQQDQ對對稱稱v關(guān)于協(xié)因數(shù)陣的幾點闡明關(guān)于協(xié)因數(shù)

28、陣的幾點闡明v協(xié)因數(shù)陣同協(xié)方差陣一樣，是一個對稱方陣；協(xié)因數(shù)陣同協(xié)方差陣一樣，是一個對稱方陣；v主對角線元素主對角線元素QiiQii為隨機變量為隨機變量XiXi的協(xié)因數(shù)，的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)；即權(quán)倒數(shù)；v非主對角線元素非主對角線元素Qij(ijQij(ij那么為那么為XiXi關(guān)于關(guān)于XjXj的互協(xié)因數(shù)，是比較觀測值之間相關(guān)程度的的互協(xié)因數(shù)，是比較觀測值之間相關(guān)程度的一種目的。一種目的。3、互協(xié)因數(shù)陣、互協(xié)因數(shù)陣對于對于那么有協(xié)因數(shù)陣那么有協(xié)因數(shù)陣1() 11tt rrXzYXXXYYXYYQQQQZZ Qv其中非主對角線元素稱其中非主對角線元素稱X X關(guān)于關(guān)于Y Y的互協(xié)因數(shù)陣。的互協(xié)因數(shù)陣。4

29、 4、權(quán)逆陣、相關(guān)權(quán)逆陣、權(quán)逆陣、相關(guān)權(quán)逆陣稱稱QXXQXX和和QYYQYY為為X X關(guān)于關(guān)于Y Y的權(quán)逆陣；的權(quán)逆陣；QXYQXY為為X X關(guān)于關(guān)于Y Y的相關(guān)權(quán)逆陣。的相關(guān)權(quán)逆陣。5 5、權(quán)陣、權(quán)陣定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。 即即 PXX=QXX-1 PXX=QXX-1例：知觀測向量例：知觀測向量L L的協(xié)因數(shù)陣為：的協(xié)因數(shù)陣為：試求觀測向量試求觀測向量L L的權(quán)陣的權(quán)陣P P及觀測值及觀測值L1L1、L2L2的權(quán)。的權(quán)。2112LLQ解：由權(quán)陣定義得又由 得觀測值的權(quán)為112121112123LLLLPQ1211221111,22PPQQ2201iiiiiQ

30、pv可見：可見：v1 1觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定相等！觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定相等！v2 2這時權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的意義！這時權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的意義！例：例： 設(shè)有獨立觀測值設(shè)有獨立觀測值LiLii=1i=1，2n2n，其方差為，其方差為i2i2，權(quán)為，權(quán)為PiPi，單位權(quán)方差為，單位權(quán)方差為0202，寫出觀，寫出觀測向量測向量L L的協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣。的協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣。2120121112222222202200222010.00.00.00.010.00.00.00.011.00.00.100.00.LLLLnnnnnpQQpQDQp

31、1111111122212210.00.00.00.00.00.0.00.00.00.LLLLnnnnnQpQQpQPQQpQ212220.00.0.00.LLnD解：解：v由此可見：由此可見：v當觀測值是獨立向量時，其協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣均為當觀測值是獨立向量時，其協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣均為對角陣；對角陣；v這時權(quán)陣中主對角線上元素才是對應(yīng)觀測向量的權(quán)！這時權(quán)陣中主對角線上元素才是對應(yīng)觀測向量的權(quán)！v思索：思索：v1、相關(guān)觀測時，權(quán)陣、相關(guān)觀測時，權(quán)陣 PX中主對角線元素中主對角線元素Pii是不是不是觀測值是觀測值L的權(quán)？假設(shè)不是的話，的權(quán)？假設(shè)不是的話，Lii的權(quán)又如何求的權(quán)又如何求得？得？v2、當

32、觀測值獨立時，情況又怎樣？、當觀測值獨立時，情況又怎樣？例：知觀測向量L的權(quán)陣為： 求觀測值L1、L2、L3的權(quán)。321242123Lp1132121012421214123012LQPQQQ11223321421232LLLPPP解：解：v可以看出：當可以看出：當QXXQXX是非對角陣時，不可從權(quán)陣中來直接是非對角陣時，不可從權(quán)陣中來直接“提取提取權(quán)！權(quán)！二、協(xié)因數(shù)傳播律二、協(xié)因數(shù)傳播律 知觀測向量的協(xié)因數(shù)陣QLL 求其函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣QFF？00;XXYFXFZKXKQ且已知。?YYZZYZQQQv下面由協(xié)方差傳播律來導出協(xié)因數(shù)傳播律下面由協(xié)方差傳播律來導出協(xié)因數(shù)傳播律TYYXXDFDF則：

33、2200TTYYXXXXQFDFFQF故：TYYXXQFQF即：v稱稱“協(xié)因數(shù)傳播律或協(xié)因數(shù)傳播律或“權(quán)逆陣傳播律。權(quán)逆陣傳播律。0XXYFXFQ若：,且已知。2020XXXXYYYYDQDQ又因：公式公式5TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXDFDFDKDKDFDKDKDF可得：00;XXYFXFZKXKQXX若：且,D 已知。TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXQFQFQKQKQFQKQKQFv將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數(shù)傳播律合稱為將以上協(xié)方差傳播律、協(xié)因數(shù)傳播律合稱為“廣義傳播律。廣義傳播律。例：知觀測向量X1和X2的協(xié)因數(shù) 和互協(xié)因數(shù) ， 或?qū)憺樵O(shè)有函數(shù) 試求Y關(guān)于Z的協(xié)因數(shù)

34、。1122,X XX XQQ12X XQ1112222212,X XX XXXX XX XQQXXQXQQ12YFXZKXYZQ解：解：函數(shù)式可寫為函數(shù)式可寫為運用協(xié)因數(shù)傳播律得運用協(xié)因數(shù)傳播律得121200XYFXXZKX1200YZXXTTX XQFQKFQK例：知觀測向量 試求函數(shù) 的協(xié)因數(shù)以及權(quán)。123210131012TLLLLLP 23sinsinLZL解：非線性函數(shù)線性化得：按協(xié)因數(shù)傳播律：那么權(quán)為：3131111313223333113122333cossincoscos1cossin()sinsinsinsinsincoscos0sinsinLLLLdZL dLLdLdLdL

35、LLLLdLLLLdLLLdL131312331323cossinsincoscos00sinsinsincossinZZLLLLLLLQQLLLLL1ZZZPQ代入知數(shù)據(jù)求解即可解1：由題可得運用協(xié)因數(shù)傳播律得由于故有111100()() ()()()TTTTLLLLLLLLKAQ AWAQ AALAAQ AALAQ AA 11111( ()( ()()()()()TTTKKLLLLLLTTTLLLLLLTLLQAQAA QAQAAAQAAQAAQAAQA 11()()()()()TTTVVLLKKLLTTTTLLLLLLTTLLLLLLQQAQQAQAAQAQAQAAQAAQTLLKIKV

36、QA K1()()TTTKVKKLLLLLLQIQQ AAQ AAQ2先運用協(xié)因數(shù)傳播律求QWW：而：故：那么由：得：求QVW方法一樣。TWWLLQAQ A1TLLKAQ AW （）11111TTTKKLLWWLLTTTTLLLLLLLLQAQ AQAQ AAQ AAQ AAQ AAQ A（）（）（） （）（） （）TTTTVVLLKKLLLLLLLLQQ A QQ AQ AAQ AQ AT -1（）（） （）TLLVQA Kv運用協(xié)因數(shù)傳播律的步驟：運用協(xié)因數(shù)傳播律的步驟：1 1按要求寫出函數(shù)式；按要求寫出函數(shù)式；2 2假設(shè)是非線性函數(shù)式，那么先對函數(shù)式求全微分；假設(shè)是非線性函數(shù)式，那么先對

37、函數(shù)式求全微分；3 3將函數(shù)式或微分關(guān)系式寫成矩陣方式有時要顧及將函數(shù)式或微分關(guān)系式寫成矩陣方式有時要顧及單位的一致；單位的一致；4 4運用協(xié)因數(shù)傳播律公式求協(xié)因數(shù)或協(xié)因數(shù)陣。運用協(xié)因數(shù)傳播律公式求協(xié)因數(shù)或協(xié)因數(shù)陣。v幾種特例情況獨立觀丈量幾種特例情況獨立觀丈量1現(xiàn)有獨立觀測值 ，假定各 的權(quán)為 ，那么L的權(quán)陣為對角陣其協(xié)因數(shù)陣也為對角陣iL1nLip120.00.0.00.n nnPPLLPp11122210.00.010.00.0.00.100.n nnnnpQQpLLQpQ可以闡明，獨立觀丈量的權(quán)陣主對角線上元素就是對應(yīng)的可以闡明，獨立觀丈量的權(quán)陣主對角線上元素就是對應(yīng)的權(quán)！權(quán)！2假設(shè)有

38、函數(shù) ： Z=fL1，L2，Ln 那么全微分為由協(xié)因數(shù)傳播律展開后得純量方式為1212.nnfffdZdLdLdLKdLLLL112212222112210.010.0.100.111()(). ()TZZLLnnnnnfpLffffpLQKQ KLLLfpLfffLpLpLp22211221111()().()ZnnfffpLpLpLpv以上為獨立觀測值權(quán)倒數(shù)與其函數(shù)的權(quán)倒數(shù)之間的關(guān)系式。以上為獨立觀測值權(quán)倒數(shù)與其函數(shù)的權(quán)倒數(shù)之間的關(guān)系式。通常稱之為通常稱之為“權(quán)倒數(shù)傳播律。權(quán)倒數(shù)傳播律。3 3知獨立觀測值知獨立觀測值LiLii=1i=1，2 2，nn的權(quán)均為的權(quán)均為P P，試求算，試求算術(shù)

39、平均值的權(quán)術(shù)平均值的權(quán)PXPX。12111.nXLLLnnn2111111(.)XpnpppnpXpnpv即算術(shù)平均值之權(quán)等于觀測值之權(quán)的即算術(shù)平均值之權(quán)等于觀測值之權(quán)的n n倍。倍。4知獨立觀測值 的權(quán)為 ，試求加權(quán)平均值的權(quán) 。iL(1,2,. )ip in11niiiniiPLXpXp112211(.)nnniiXPLP LP LP2222121211111111(.)nnnXniiiiPPPpPPpPp1nXiipPv即帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和。即帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和。3-6.3-6.由真誤差計算中誤差及實踐運用由真誤差計算中誤差及實踐運用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的根本公式一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的根本公式假設(shè)有一組同精度獨立觀測的真誤差為：假設(shè)有一組同精度獨立觀測的真誤差為： 那么該組觀測的中誤差為：那么該組觀測的中誤差為：12, .,n21niinu思索：求出的是什么量的中誤差？思索：求出的是什么量的中誤差？ 現(xiàn)有一