1、東北學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.3.理解平面向量的幾何表示和基本要素.重點(diǎn)：相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示.難點(diǎn)：對向量、共線向量的理解.位移、速度、力等既有大小又有方向：向量的概念1向量的物理背景民航每天都有北京飛往上海、廣州、重慶等地的航班.每次飛行都是飛機(jī)的一次 位移，由于飛機(jī)每次飛行的方向和距離都不相同，所以它們是不同的位移；汽車向東北方向行駛了60km，行駛的速度大小為120km/h，方向是東北方向；起重機(jī)吊裝物體時(shí)，物體既受到豎直向下的重力的作用，同時(shí)也受到豎直向 上的起重機(jī)的拉力作用. 在

2、數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量.向量的概念1向量定義【1】我們所學(xué)的向量是自由向量，即只有大小和方向，而沒有特定的位置，這樣的向量可 以任意進(jìn)行平移.【2】向量和向量之間不能比較大小數(shù)量定義只有大小沒有方向的量是數(shù)量，如年齡、身高、長度等等重點(diǎn)筆記向量和數(shù)量的區(qū)別：向量有方向，數(shù)量沒有方向；數(shù)量可 以比較大小，向量無法比較大小. 向量具有大小和方向兩個(gè)要素，這也是判斷一個(gè)量是否為向量的重要方法.向量和矢量：向量是從物理中的矢量抽象出來的，但是在數(shù) 學(xué)上我們只考慮大小和方向，而物理中的矢量有時(shí)還要考慮 其他屬性，如力除了大小方向之外，還要考慮作用點(diǎn).向量的概念1有人說：由于海平面以上

3、的高度(海拔)用正數(shù)表示，海平面以下的高度用負(fù)數(shù)表示，所以海拔也是向量.例【解】海拔不是向量，它只有大小沒有方向.海拔的正負(fù)不表示方向，只表示在海平面的上方還是下方.同理，溫度和角度也不是向量，因?yàn)樗鼈儧]有方向.你同意嗎？溫度、角度是向量嗎？為什么？向量的幾何表示2 具有方向的線段叫做有向線段.有向線段【1】如圖所示，通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它 的方向.以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作 AB ， 線段AB的長度叫做也叫做有向線段 AB 的長度，記作 |AB| .【2】有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向和長度，.知道了起點(diǎn)、方向和長度， 那么終點(diǎn)的位置就確定了.向量的模向量AB的大小稱

4、為向量AB的長度，也叫做向量AB的模，記作 |AB| 向量和有向線段是一回事嗎？概念辨析【1】從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向、長 度三個(gè)要素，因此這是兩個(gè)不同的量；【2】在平面內(nèi)，向量可以自由平移，而有向線段是固定的線段；【3】向量可以用有向線段來表示，但是向量不是有向線段，也不能說有向線段 是向量.有向線段向量 咱倆差不多，我還可以表示你 但是你不是我，我是不一樣的煙火向量的幾何表示2【1】零向量長度為0的向量叫做零向量，記作兩種特殊的向量【2】單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量向量的幾何表示2若用有向線段表示零向量，則其終點(diǎn)和起點(diǎn)重合.要注意0和

5、 的區(qū)別及聯(lián)系：0是一個(gè)實(shí)數(shù)， 是一個(gè)向量，并 且| |=0，書寫時(shí) 0 表示零向量，一定不能忘記上面的箭頭.印刷體單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但是方向不一定相同.在平面內(nèi)，將表示所有單位向量的有向線段的起點(diǎn)平移到 同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)就會構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.相等向量與共線向量3 方向相同或者相反的向量叫做平行向量，向量 與 平行，記作 / .平行向量 規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量 ，都有 / .相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量 與 相等,記作 ，兩個(gè)相等向量必須具備 的條件是長度和方向都相同.向量完全由它的方向和模確 定,任意兩個(gè)相等的非零向量都能用

6、同一個(gè)有向線段表示.任何一組平行向量都能平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量，同一直線上的向量平行.共線向量 向量 就意味著 并且它們的方向相同，但是 只能說明它們的模相等，方向未必相同.相等向量與共線向量3平行向量和共線向量概念辨析 共線向量就是平行向量，有了“相等向量”的概念(任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用 同一個(gè)有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān))之后，可知任意一組平行向量都可以 移到同一直線上，因此平行向量就是共線向量. 共線向量中“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”的含義，共線向量中的“共線” 對應(yīng)平面幾何中的兩種情況表示兩個(gè)向量的有向線段在同一直線上； 表示兩個(gè)

7、向量的有向線段所在的直線互相平行.相等向量和共線向量 相等的向量方向相同且長度相等，所以相等向量一定是共線向量；但是共線向量的模不一定相等，所以共線向量不一定是相等向量.相等向量相等向量共線向量共線向量 涉及平行向量(共線向量)時(shí)，一定要注意這個(gè)定義體現(xiàn)的是分類討論的思想，即分為非零向量和零向量兩個(gè)方向討論.相等向量與共線向量3關(guān)于向量，以下說法正確的是哪個(gè)？例A. 如果向量AB與CD是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上B. 如果向量 和向量 平行，則 與 的方向相同或相反C. 向量AB與向量BA是兩個(gè)平行向量D. 單位向量都相等【A】也可以在互相平行的直線上【B】 或 中有零向量時(shí)，

8、方向不確定【D】單位向量的模相等，方向未必相同 忽視零向量坑已知向量 ， ， 滿足 / ， / ，則 與 平行嗎？【錯(cuò)解】一定平行.【正解】分兩種情況討論：當(dāng)向量 時(shí)，向量 與向量 均為非零向量，不能保證 / ； 當(dāng)向量 時(shí)，若向量 ， 中有一個(gè)為 或兩者都為 ，則一定 有 / ；若向量 ， 均不為 ，因?yàn)?/ ，所以向量 和向量 具有相同或相反方向；又因?yàn)?/ ，所以向量 與向量 具有 相同或相反方向，故 / .綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 與 平行；當(dāng) 時(shí)， 與 不一定平行. 混淆向量相等、平行、模相等坑給出下列幾個(gè)說法：若 ，則 0 ；若 ，則 ；若 / ，則 .其中說法正確的有( )個(gè).A. 0

9、 B. 1 C. 2 D. 3【錯(cuò)解】對，錯(cuò)，選C【正解】錯(cuò)誤，正確的寫法應(yīng)該是 ；錯(cuò)誤，向量的模相等，大小未必相同，不一定是相等向量；錯(cuò)誤，平行與模大小沒有必然關(guān)系；綜上，正確答案選A.下列幾個(gè)結(jié)論：溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；向量 ，則 和 的方向不同；若 ，則 ；若向量 是單位向量，向量 也是單位向量，則它們共線；方向?yàn)楸逼?0的向量與方向?yàn)槟掀珫|40的向量是平行向量.其中正確的是哪些？題如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200米后到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向，向北偏西一定角度的某方向走了 米到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東走了200米到達(dá)點(diǎn)D，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D在點(diǎn)B的正北方.題東北(1)作出向

10、量AB,BC,CD(圖中一個(gè)單位長度表示100米)(2)求向量DA的?！窘狻?1)如圖所示：(2)由題意可知四邊形ABCD是平行四邊形， 所以 |DA|=|CB|= 米.如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是哪個(gè)？題A. AB=OCB. AB / DEC. |AD| = |BE|D. AD=FC人人教教A版必修版必修 第二冊第二冊情境引入情境引入結(jié)論：貓的速度再結(jié)論：貓的速度再快快也沒用，因?yàn)橐矝]用，因?yàn)榉较蚍较蝈e(cuò)了。錯(cuò)了。 速度是既有大小又有方向的量速度是既有大小又有方向的量50ms10ms傻貓傻貓力力速度速度 質(zhì)量質(zhì)量問題：請觀察這三個(gè)物理中的量有什么區(qū)別問題：請觀

11、察這三個(gè)物理中的量有什么區(qū)別? 力、速度力、速度: :既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .( (矢量矢量) )(2)(2)(1)(1)(3)(3)質(zhì)量質(zhì)量: :只有大小只有大小.(標(biāo)量標(biāo)量)OBA湖面上有三個(gè)景點(diǎn)O,A,B,一游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A,半小時(shí)后,游艇再將游客送至景點(diǎn)B.1.在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？一.向量的實(shí)際背景與概念2.物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力, 被拉長或壓縮的彈簧的彈力力是常見的物理量，也是既有大小又有方向的量.GFF（1）向量與數(shù)量 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理學(xué)中稱為矢量); 只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(物理

12、學(xué)中稱為標(biāo)量).注意：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大小；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小. 練習(xí) 下列量不是向量的是（ ） 質(zhì)量 速度 位移 力 加速度 面積 年齡 身高二.向量的幾何表示探究：由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，那么，怎么表示向量呢？有向線段定義在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段.A（起點(diǎn)）B（終點(diǎn)）如圖，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作 .線段AB的長度也叫做有向線段 的長度，記作 .箭頭所指的方向表示有向線段的

13、方向.思考：一條有向線段由哪幾個(gè)基本要素所確定？有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.有向線段使向量的“方向”得到了表示，而線段的長度可表示向量的大小，這樣我們就可用有向線段表示向量.（2）向量的幾何表示AB用有向線段表示.畫圖時(shí)，我們常用有向線段來表示向量 ，線段按一定比例（標(biāo)度）畫出.其中有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.（3）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如若表示向量的有向線段沒有標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)字母，向量也可用黑體字母a，b，c，（書寫時(shí)用注意用 表示）.AB1.1.向量向量: :與起點(diǎn)無關(guān)與起點(diǎn)無關(guān). .用有向線段表示向量時(shí)用

14、有向線段表示向量時(shí), ,起點(diǎn)起點(diǎn)可以取可以取任意任意位置位置. . 數(shù)學(xué)中的向量也叫數(shù)學(xué)中的向量也叫自由向量自由向量.注：注：2.2.有向線段有向線段與與向量向量的區(qū)別：的區(qū)別：有向線段有向線段：三要素：起點(diǎn)、大小、方向：三要素：起點(diǎn)、大小、方向向量向量: :可選可選任意點(diǎn)任意點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)、有大小、有方向作為向量的起點(diǎn)、有大小、有方向ABCDABCD有向線段有向線段ABAB、CDCD是是不同的不同的。向量向量 ABAB、CD CD 是是同一個(gè)同一個(gè)向量向量。向量 的大小，就是向量 的長度長度（或稱模模）,記作 ， 或者記作 .（4）向量的模思考：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎

15、？零向量：長度為0的向量，記作 .單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.000a|a|（）說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小， 不確定方向. 故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.注意：向量是不能比較大小的,但向量的模（是正數(shù)或零）是可以進(jìn)行大小比較的.ba|ba有意義沒有意義比例 1：8 000 000解：ACAB.AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例1 在圖中，分別用向量表示A地至B、C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，并求出A地至B、C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）.模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；思考1：

16、向量由其模和方向所確定.對于兩個(gè)向量 ，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？ a,b 三.相等向量與共線向量 規(guī)定：零向量與任一向量平行（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量. 向量 與 平行，記作 a / bab0,/ /a a即（ 為任意向量)(2).(2).相等向量相等向量長度長度相等相等且方向且方向相同相同的向量叫相等向量的向量叫相等向量2.零向量與零向量相等零向量與零向量相等3.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向 線段來表示，并且與有向線段的線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)起點(diǎn)無關(guān)。abc a =b=cA1B1=A2

17、B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4注：注：1.若向量若向量 相等，則記為相等，則記為 ；b,aba （3 3）. .共線向量共線向量：任一組平行向量都可移到同任一組平行向量都可移到同一條直線上一條直線上 ，所以，所以平行向量也叫共線向量平行向量也叫共線向量。共線向量一定要在同一條直線上嗎？共線向量一定要在同一條直線上嗎？abcOABcabc一切向量都可以在一切向量都可以在不改變它大小和方向不改變它大小和方向的前提下，將的前提下，將它平移到任何位置它平移到任何位置。填空（1）平行向量是否一定方向相同？ （ ）（2）不相等的向量是否一定不平行 （ ）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？ （ ）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？ （ ）（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（ ）（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（ ）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（ ）不一定不一定零向量平行向量長度相等且方向相同不一定零向量OA = DO = CB例例2如圖，設(shè)如圖，設(shè)O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，的中心，（1）寫出圖中的共線向量；）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與向量）分別寫出圖