1、共享知識分享快樂數(shù)字信號處理習(xí)題解答第二章數(shù)據(jù)采集技術(shù)基礎(chǔ)2.1 有一個理想采樣系統(tǒng)，具采樣角頻率 Qs=6兀，采樣后經(jīng)理想低 通濾波器Ha(j Q)還原，其中L | | 3Ha(j )20,3現(xiàn)有兩個輸入，xi(t)=cos2兀t , X2(t )=cos5兀t。試問輸出信號yi(t),y2(t)有無失真？為什么？分析：要想時域采樣后能不失真地還原出原信號，則采樣角頻率Qs必須大于等于信號譜最高角頻率 Qh的2倍，即滿足Qs>2QhO解：已知采樣角頻率Qs=6兀，則由香農(nóng)采樣定理，可得因為xi(t尸cos2兀t,而頻譜中最高角頻率h126-3，所以yi(t)無失真；因為X2(t尸cos

2、5兀t,而頻譜中最高角頻率h256-3，所以y2(t)失真。2.2 設(shè)模擬信號 x(t)=3cos2000 兀 t +5sin6000 兀 t +10cos12000兀 t , 求：(1)該信號的最小采樣頻率；(2)若采樣頻率fs=5000Hz;其采樣后的輸出信號；分析：利用信號的采樣定理及采樣公式來求解。采樣定理采樣后信號不失真的條件為：信號的采樣頻率fs不小于其最高頻率fm的兩倍，即f s A 2fm采樣公式x(n) x(t)tnTs x(nTs)解：(1)在模擬信號中含有的頻率成分是fi = 1000H4 f2=3000Hz, f 3=6000Hz信號的最高頻率fm=6000Hz由采樣定

3、理fsA2fm,得信號的最小采樣頻率fs=2fm = 12kHz(2)由于采樣頻率fs=5kHz,則采樣后的輸出信號x(n)x(t)tnTsx(nTs)x -n fs3 cos21-n55 sin23 cos21-n55 sin23cos21-n55 sin213cos 21-n55sin22n536n10cos 2n55211n 10 cos21-n552n10cos 21n55說明：由上式可見、采樣后的信號中只出現(xiàn)1kHz和2kHz的頻率成分,11000f155000fs22000f255000fsfi 1 kHzf22 kHz若由理想內(nèi)插函數(shù)將此采樣信號恢復(fù)成模擬信號，則恢復(fù)后的模擬信y

4、(t) 13cos 2 f1t 5sin 2 f2t13cos2000 t 5sin4000 t可見，恢復(fù)后的模擬信號y(t)不同于原模擬信號x(t),存在失真, 這是由于采樣頻率不滿足采樣定理的要求，而產(chǎn)生混疊的結(jié)果。第三章傅里葉分析I. 傅里葉變換概述3.1 習(xí)題3.2設(shè)序列x(n)=S (n-m),求其頻譜X(ej。，并討論其幅頻和相頻響應(yīng)分析：求解序列的頻譜有兩種方法：先求序列的z變換X(z),再求頻譜X(ej ) X(z)z ej ,即X(ej)為單位圓上的z變換；直接求序列的傅里葉變換X(ej )x(n)e j nn解：對序列x(n)先進(jìn)行z變換，再求頻譜，得X(z) ZTx(n)

5、 ZT (nmm) z則 X(ej ) X(z) z ej e jm若系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)=x(n),則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej ) X(ej ) e jm 1?e jm H (ej ) exp j ( )故其幅頻和相頻響應(yīng)(如圖)分別為幅頻響應(yīng)H (ej ) 1相頻響應(yīng)由圖可見，該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)具有單位幅值以及線性相位的特點。3.2 設(shè)x(n)的傅里葉變換為X(eja),試?yán)?quot;ej")表示下列序列的傅里葉變換：(1) Xi(n) x(1 n) x( 1 n) 1(2) X2(n) -x(n) x ( n)分析：利用序列翻褶后的時移性質(zhì)和線性性質(zhì)來求解，即x(n)X(

6、ej ) , x( n) X(e j )x(m n) e j mX (e j )解：(1)由于 DTFTx(n) X(ej ), DTFT x( n) X(e j ),則DTFTx(1 n) e j X(e j )DTFTx( 1 n) ej X(e j )故 DTFTx1(n) X(e j )e j ej 2X(e j )cos(2)由于 DTFT x ( n) X (ej )故 DTFTx2(n) X(ej ) X (ej ) ReX(ej ) 23.3 設(shè)X(eja)是如圖所示的信號x(n)的傅里葉變換，不必求出X(ej試完成下列計算：(1) X(ej0) X(ej )d2(3) X(e

7、j ) d蛔 二. 3 j1I I . - « 1 1 1I 工 E 1 10113456 g-X 分析：利用序列傅里葉變換的定義以及帕塞瓦定理來求解。(1)序列的傅里葉變換公式為：正變換X(ej )x(n)e j nn反變換x(n) X(ej )ej nd2(2)帕塞瓦定理21j 2x(n) X(e ) dn2解：(1)由傅里葉正變換公式可知3 =0,則j 0j 0 nX(e ) x(n)ex(n) 6nn(2)由于ej° = 1,則由傅里葉反變換公式可知 n=0,故X(ej )dX(ej )ej0d2 x(n)1n 0 2 2 4(3)由帕塞瓦定理，得X(ej )2d2

8、|x(n)2 28nII.周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DF03.4如圖所示，序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。分析：利用DFS的定義求解，即N 1X(k) DFS(n)(n)Wrkn ,其中 k = 0 (N-1)n 0解：已知N = 6 ,則由DFS的定義得55j nkX(k)(n)W6(n)e 6n 0n 0j2_kj2_2kj 2_3kj2_ 4 kj2_ 5k14 12e 610e 6 8e 6 6e 610e 6對上式依次取k = 0 5 ,計算求得X(0)60,X(1)9j3M3,X(2)3j<3LrX(3)0,X(4)3jV3,X(5)9j3<

9、33.5 設(shè) x(n)n 1,0,0 n 4其他nh(n)R4 (n 2)令攵x(n)6, (n) h(n)6 ,試求(n)與(n)的周期卷積。分析：可以利用列表法求解，直觀方便。由于(n) x(n)© h(n)N 1 x(m)h(n m 0m)只要將列表中對應(yīng)于某個 n的一行中的h(n m)值和第一行中與之對應(yīng)的置m)值相乘，然后再將所有乘積結(jié)果相加，就得到此n的(n)值解：注意:本題需要利用下一節(jié)中有限序列與周期序列的關(guān)系以及序列循環(huán)移位的概念在一個周期(N=6)內(nèi)的計算卷積值N 1© -. . . h(n)x(m)h(n m)m 0則(n)與(n)的周期卷積(n)值(

10、n=05)如下表所示:n hfn-m)123450V(n>001111a141D0111i12210 10 I111Pio 13111001i411100i6511110010III.離散傅里葉變換(DFP3.6 已知x(n)如圖所示，為1 , 1, 3, 2,試畫出序列x( -n) 5,x( -n) 6 R(n) ,x(n)3R(n) ,x(n)6, x ( n-3)sR(n)和 x(n)7R(n)的略圖。分析:此題需注意周期延拓的數(shù)值，也就是 x( n) n中N的數(shù)值。如果N比序列的點數(shù)多，則需補(bǔ)零；如果 N比序列的點數(shù)少，則需將序列 按N為周期進(jìn)行周期延拓，造成混疊相加形成新的序列

11、。解:各序列的略圖如圖所示州拓.111國川7 弁,K*fl012 34 5占月3.7式）：(1)x(n)aR(n)(2)x(n)(n n°), 0 no N(3)x(n)nRN（n）(4)x(n)2n Rn (n)分析:利用有限長序列的DFT的定義,X(k)N 1 kn x(n)WN ，n 0解：（1）因為 x（n） anRN（n）,所以N 1N 1X(k)anWrknanen 0n 0j二 nkNN a 72 j k1 ae N因為x(n) (n nO), 0 n°N ,所以試求下列有限長序列的 N點離散傅里葉變換（閉合形式表達(dá)N 1X(k) (n n0 )WNkn n

12、0knWnn no.2JnokN 0X(k)(1 W；)N 1nWNknkWNX(k)N 1nWNk(n 1)k(nnWN1)WN； 2W；k 3WN1k Wn2k 2WN1k N 1(N 1)W；nn 1(N 1)W；(N1)(N 2)W；(N 1)(N 1)WN；n (NwN；11wN；n。(3)由 x(n) nRN (n),得1X(k)nWNkn0注意:為了便于求解，必須利用代數(shù)簡化法消除掉上式中的變量所以X(k)Nk1 wN；(4)注意：本題可利用上題的結(jié)論來進(jìn)行化簡由 x(n)n2RN(n),則N 1X(k)n2wN(nn 0根據(jù)第(3)小題的2論：若x(n) nRN(n)Xi(k)

13、knnWNn 0與上題同理，得N 1N 1X(k)(1 WNk)n2WN；nn2W；(n 111)2W：(N 1)2)2WNk(N 1)(N1)2W；Nn 0n 0W； 4W：k 9W；k(NWf2 k 4Wf3k(NN 1(N 1)2(2n 1)WN；nn 1N 1N(N 2) 2 nW；n n 1N(N 2) 2X1 (k)所以N(N2)2N1 WNkX(k)N(N 2)W； N2(1 W；)23.8 試畫出圖示的兩個有限長序列的六點循環(huán)卷積。分析：本題可以直接利用循環(huán)卷積的公式求解， 也可以利用循環(huán)移位 的概念來求解，即:有限長序列x（n）左移m （m為正整數(shù)）位的循環(huán)移位定義為Xm(n

14、) x(n m)NRN(n)且移位時，在主值區(qū)間（n=0N-1）內(nèi)，當(dāng)某序列值從區(qū)間的一端移 出時，與它同值的序列值又從區(qū)間的另一端移入。解：由循環(huán)卷積的定義，可知y(n) x1(n)(6 X2(n)區(qū) X2(n)6R6(n)xi(n)60 3 (n 3)6R6(n)3xi(n 3)6 R6(n)則根據(jù)循環(huán)移位的概念，將序列xi(n)循環(huán)右移3個單位后乘以3并取其主值序列(n=05)即可，其結(jié)果如圖所示。3.9 如圖所示的5點序列x(n),試畫出：(1) x(n)*x(n) x( n) (5 x( n)(3) x(n)x(n)工5 Ja - i z -h Lio i i n 4*分析：本題可由

15、圖解法來計算循環(huán)卷積，并利用循環(huán)卷積來求解線性 卷積。同時應(yīng)注意循環(huán)卷積代替線性卷積的條件：設(shè)兩個有限長序列x(n)、h(n)的點數(shù)分別為N和M其循環(huán)卷積的長度為L,則要用循環(huán)卷積代替線性卷積的條件是：循環(huán)卷積的長度L必須不小于線性卷積的長度N+M-1,即L> N+M-1否則，在循環(huán)卷積周期延拓時會產(chǎn)生混疊。解：由于x(n)是5點序列，所以x(n)* x ( n)是5+5-1=9點序列，因此，x（n）10 x（n）的前 9 個點（n=0, 1,，8）就是 x（n）* x（n）值, 后一個點（n=9）為零，因為L點循環(huán)卷積等于線性卷積結(jié)果的 L點 周期延拓、混疊相加后的主值區(qū)間內(nèi)的序列（L

16、可以是任意整數(shù)值）。其運(yùn)算結(jié)果分別如圖（a）、（b）、（c）所示3.10已知兩個有限長序列為n 1, 0 n 3 x(n)0,4n61,0n4y(n)1,5n6試作圖表示 x( n), y( n)以及 f (n) =x( n) ©y( n)分析：直接利用循環(huán)卷積公式或圖解法求解解：其結(jié)果如圖所示。3.11習(xí)題3.10已知x(n)是N點有限長序列，且X(k)DFTx(n)。現(xiàn)將它補(bǔ)零擴(kuò)展成長度為rN點的有限長序列y(n),即n Nn rN利用DFT定義求解。y(n)是rN點序列,因而結(jié)果相當(dāng)于在頻域序列進(jìn)行插值。解：由N 1X(k) DFTx(n) x(n)e n 0jLnkN ，可得

17、rN 1Y(k) DFTy(n)y(n)WrNkn 0N 1j2-nkkx(n)eN rX,n 0rN 1x(n)WrNk n 0k lr, l 0,1,N 1所以在一個周期內(nèi)，Y( k)的采樣點數(shù)是X(k)的r倍(Y( k)的周期為rN),相當(dāng)于在X(k)的每兩個值之間插入r- 1個其它的數(shù)值(不一定為零)，而當(dāng)k為r的整數(shù)l倍時，Y(k)與x '相等。r3.12 習(xí)題3.12頻譜分析的模擬信號以8kHz被采樣，計算了 512x(n), 0 y(n)0, N試求rN點DFTy( n)與X(k)的關(guān)系。分析:個采樣點的DFT試確定頻譜采樣之間的間隔，并證明你的回答。分析：利用頻域采樣間

18、隔F0和時域采樣頻率fs以及采樣點數(shù)N的關(guān)系 fs=N Fofs證：由FofsFo其中Qs是以角頻率為變量的頻譜周期，Qo是頻譜采樣之間的頻譜間fsFofsN對于本題有fs=8kHz, N=512所以Fo 駟 15.625Hz5123.13 習(xí)題3.2。設(shè)有一個頻譜分析用的信號處理器，采樣點數(shù)必須為2的整數(shù)哥，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施， 要求頻率分 辨力w loHz,如果采用的采樣時間間隔為 o.lms,試確定:(1)最小記錄長度；(2)所允許處理信號的最高頻率；(3)在一個記錄中的最小點數(shù)。分析：采樣間隔T和采樣頻率fs滿足fs=1/T,記錄長度 飛和頻域分辨 力F0的關(guān)系為To=1

19、/ F0,采樣定理為fsA2fh(3為信號最高頻率分量)， 一個記錄中最少的采樣總數(shù) N滿足fs2fhFoFo解:(1)因為 To=1/ Fo,而 FoWlOHz,所以1To一 s10即最小記錄長度為0.1s(2)因為 fs 1 103 10kHz,而 fsA2fh T 0.1所以1fh fs 5kHzh 2 s即允許處理信號的最高頻率為 5kHz。(3) N 五 01 103 1000 T 0.1又因N必須為2的整數(shù)哥所以一個記錄中的最少點數(shù)為 N=21°=1024IV.快速傅里葉變換(FFD3.14如果一臺通用計算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘5s,每次復(fù)加 0.5 ps,用它來計算51

20、2點的DFTx(n)，問直接計算需要多少時間, 用FFT運(yùn)算需要多少時間?分析：<1直接利用DFT計算：復(fù)乘次數(shù)為N 2,復(fù)加次數(shù)為NN-1);利用FFT計算：復(fù)乘次數(shù)為-log2N ,復(fù)加次數(shù)為Nlog2N ;2解：(1)直接計算復(fù)乘所需時間 T1 5 10 6 N 2 5 10 6 5122 1.31072s復(fù)加所需時間_66_T20.5 10 N (N 1) 0.5 10512 (512 1) 0.130816s所以T 工 T2 1.441536s(2)用FFT計算復(fù)乘所需時間 T1 5 10 6 Nlog2 N 5 10 6 512 log 2 512 0.01152s 22復(fù)加

21、所需時間 T2 0.5 10 6 N log2 N 0.5 10 6 512log2512 0.002304s 所以T T1 T20.013824s3.15 已知X(k), Y(k)是兩個N點實序列x(n) , y(n)的DFT值，今 需要從X(k), Y(k)求x(n), y(n)的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一 個N點IFFT運(yùn)算一次完成。分析：我們來組成一個新的序列 X( k)+j Y( k)序列，則有IDFTX(k) jY(k) IDFTX(k) jIDFT Y(k) x(n) jy(n) 它的實部即為實序列x(n),虛部即為實序列y(n)。解：依據(jù)題意，可知x(n)X(k), y(n)

22、 Y(k)取序列Z(k) X(k) jY(k)對Z( k)作N點IFFT可得序列z( n)。又根據(jù)DF檄性性質(zhì)IDFTX(k) jY(k) IDFTX(k) jIDFT Y(k) x(n) jy(n)由原題意可知，x( n) , y( n)都是實序列。再根據(jù) z(n) = x(n)+j y(n),可得x(n) Rez(n)y(n) Imz(n)3.16 習(xí)題3.22, 3.23 N=16時，畫出基-2按時間抽取法(DIT)及按頻率抽取法(DIF)的FFT流圖(時間抽取采用輸入倒位序，輸出自然數(shù)順序，頻率抽取采用輸入自然順序，輸出倒位序)。分析：0DIF法與DIT法的異同：不同點：DIT與DIF

23、的基本蝶形圖不同，DIF的復(fù)數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之后，DIT的復(fù)數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之前；相同點：DIT與DIF的運(yùn)算量是相同的；DIF法與DIT法的關(guān)系：它們的基本蝶形是互為轉(zhuǎn)置的。解：(1)按時間抽取(DIT)如圖所示津M邛呵 S一X 蜀 13 SX X14M X|15XB(2)按頻率抽取(DIF)如圖所示X0) xl 一M3 MMM5 M 異口 JX1?Jxio X6X14MUX5X13412XI11Xi(ej )X2(8 )dj1Xi(ej )d 2-X2(ej )d k(14；3.17 課堂思考題若Xi(n),X2(n)是因果穩(wěn)定序列，求證:證：設(shè) y(n) x1 (n) x2(n)則由時域

24、卷積定理，得Y(ej ) X1(ej )X2(ej )xi(n) X2(n)y(n)12X1(ejY(ej )ej nd)X2(ej )ej nd令上式的左右兩邊n=0,得1ii2- X1(ej )X2(ej )dXi(n)X2 (n)nx1 (k)x2 (nk 0k)n 0Xi(0)X2(0)又傅里葉反變換公式，得所以Xi(n)Xi (0)X1(ej )ejndXi(ej )dii1X1(ej )X2(ej )d 2-,X2(n),X2(0)X1(ej)d X2(ejX2(ej)ej)dX2(ej )d 3.18課堂思考題在N=16時按時間抽取的基-2FFT算法中，若輸 入序列X(n)采用倒

25、位序，輸出序列X(k)采用自然數(shù)順序，試寫出輸 入序列x(n)的排歹U順序，并簡述理由。答：N=16的基-2FFT算法中，輸入序列X(n)倒位序排列順序為x(0)、x(8)、x(4)、x(12)、x(2)、x(10)、x(6)、x(14)、x(1)、x(9)、x(5)、x(13)、x(3)、x(11)、x、x(15)。其倒位序排序規(guī)則如表所示:自然順自然順序二倒位序二進(jìn)倒位序順序n進(jìn)制數(shù)制數(shù)序n00000000001000110008200100100430011110012401000010250101101010601100110670111111014810000001191001100

26、19101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章時域分析5.1 隨機(jī)相位正弦波x(t) Xosin( t )式中，X0, 3均為常數(shù)，小在02兀內(nèi)隨機(jī)取值，試求其自相關(guān)函數(shù) 并作圖。分析:利用自相關(guān)函數(shù)的定義求解，即1 TRxx( ) Tim：ox(t)x(t )dt解：由自相關(guān)函數(shù)的定義式，得Rxx()1 TTim T 0 x(t)x(t.1 T/2 2 一lim xo sin(T t T/2')dtt ) sin (t )dt令t1-則 dt d ,且 T 2故Rxx( ) limx

27、xt2Xo2Xo. 2 sincos sin cossin dcos2可見，該隨機(jī)相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)只與角頻率3有關(guān)，而不含相位信息，這表明：正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為失去了相位信息的同頻率 余弦函數(shù)。其自相關(guān)函數(shù)圖形如圖所示。_ * Rxx(。) xo2/25.2 兩個隨機(jī)相位正弦波x(t) A0 sin( t ) y B°sin( t )式中，A, B, 3,小均為常數(shù)，。在02兀內(nèi)的取值概率相同，即滿% ，0P( )2 一0,其它試求其互相關(guān)函數(shù)并作圖。分析:利用互相關(guān)函數(shù)的定義求解，即1 TRxy( ) /0x(t)y(t解：由互相關(guān)函數(shù)的定義式，得)dt1 TRxy( )T

28、im T 0 x(t)y(t1 22 - 0 AoBoSin(1一 Ao Bo cos( 2)dtt )sin可見，兩個正弦函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的余弦函數(shù),其最大峰值出現(xiàn)在P =。/ 3處。其互相關(guān)函數(shù)圖形如圖所示fRx仆)第六章數(shù)字濾波器設(shè)計6.1已知模擬濾波器的模方函數(shù)H(j )|220(42)22 I2(92)(162)求模擬濾波器的傳遞函數(shù)。分析：利用模擬濾波器的模方函數(shù)|川Q)l 2與其傳遞函數(shù)H(s)之間 的關(guān)系式求解，即22H(j )|H(s) s j H(s)H( s)s j解：將 s=j Q ,即Q 2 = s2代入|H(j Q)| 2,得H(s)2H(s)H( s)-

29、2 220(4 s )(s2 9)(s2 16)2222.5 (s j2) (s j2)(s 3)(s 3)(s 4)(s 4)可見，系統(tǒng)有四個極點si, 2=±3, s3, 4=±4和兩對零點Zl, 2=±j2。為了得到一個穩(wěn)定的濾波系統(tǒng)，則將左半平面的極點分配給Hs)；并取虛軸上的一對共鈍零點作為Hs)的零點，以保證Hs)收斂，故模擬濾波器的傳遞函數(shù)為H(s)25(s j2)(s j2)(s 3)(s 4)6.2 試設(shè)計一個巴特沃思(BW/低通模擬濾波器，使濾波器的幅度 響應(yīng)在通帶截止頻率105rad/s處的衰減不大于3 dB,在阻帶截止頻 率4X105 ra

30、d/s 處的衰減不小于35 dB。分析：按照§ 6.2中所述的巴特沃思低通濾波器的設(shè)計過程來實現(xiàn)先確定濾波器的階數(shù)N由于公式1p ( p) 101g1p/ c 2N令 p/ C N10lg12求解，s ( s)101g1 s/ c 2N令 s/ C N101g12則濾波器的階數(shù)公式2N 1g /.一逗I： N為正整數(shù)1g p s且截止頻率公式31/ N葉1/ Ncp - cs求解位于左半S平面上的極點公式4j 2k N 1sk ce '2N， k 1,2,2N確定N階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)公式5Ncs Si ss2s SnNH(s)s sk k 1解：先確定濾波器的階數(shù)

31、N由題意可知，Q p=105rad/s時，通帶最大衰減* p=3 dBQs=4X105rad/s時，阻帶最小衰減% s=35 dB則代入公式1,求得參數(shù)丫和入22p(p)10lg 13 10lg 11s(s)10lg 1235 10lg 1256.2將參數(shù)丫、入、Q p和Q s代入公式2,則濾波器的階數(shù)lg /1gps2.9將參數(shù)Z 丫和Q p代入公式3,可得截止頻率1/Npd 105 rad /s p求解位于左半S平面上的極點將參數(shù)Q c和N代入公式4,得極點Skj 2k N 12Ncek 1,2,3j(k 1) /3ce，sis2$3j2 /3e ( 1e jceccej4 /3( 1確定

32、巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)j.3) c/2j.3) c/2H(s)將參數(shù)Z Qc和Sk代入公式5,得巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)(式中 Q c=105rad/s )NH(s)cs k 1s s1ss2ss3 sk3cO 223s 2 cs 2 cs c ccc6.3 試導(dǎo)出二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Q c=3 rad/s 。分析：本題利用模方函數(shù)求出其左半 S平面極點，而求得系統(tǒng)函數(shù)。N階巴特沃斯低通濾波器的模方函數(shù)定義為H(j )2在上式中代入j Q = s ,可得H(s)H(s)1s)2N1 s j c而H(s)H-s)在左半S平面的極點即為H(s)的極點，因此H(s)koNs

33、skk 1j 2k N 1其中skce ",k 1,2,N , ko由 H(s)1so 1 來確定。注意：可以證明，系數(shù)ko=Q cNo解：對于二階(N=2)巴特沃斯低通濾波器，其模方函數(shù)為H(j )H(s)H( s)各極點滿足j 2k 1e 4k 1,2, 3,4j 2k N 12Nskce則k=1, 2時，所得的Sk位于左半S平面,即為H(s)的極點Si$2j；3<2ceFj43 2ceT3 223.22k0s2s2 3.2s 9代入條件H(s)s。1,可得ko =9注：k。"，故二階巴特沃斯低由以上兩個極點構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為k0H(s)-s s1s通濾波器的系統(tǒng)函

34、數(shù)H(s)9s2 3.2s 96.4 試導(dǎo)出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Q c=2 rad/s 。分析：與習(xí)題6. 3同理，利用模方函數(shù)求出其左半 S平面極點，而求得系統(tǒng)函數(shù)。解：對于三階(N=3)巴特沃斯低通濾波器，其模方函數(shù)為H(j )11"；2"；：61 J J c 1 J J cH(s)H( s) 61 s j c各極點滿足j 2k N 1j k 1skce，2N 2e ，3, k 1, 2, ,6不難得知，當(dāng)k=1,2, 3 時，相應(yīng)的極點sk均位于左半S平面。則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點,251 2eJ31 j 352 2ej24j-53 2e 31

35、 j . 3因此，三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)s 81ss2 ss38s3 4s2 8s 86.5設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)s a22(s a) b試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器。分析:給利用沖激響唇不變法，設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的過程如圖所解：將H(s)展開成部分分式，得H(s)s a22(s a) b1/21/2s a jb s a jb對H(s)取拉氏反變換，得h(t) 1e(ajb)t2e,ajb)t對h(t)作周期為T的等間隔采樣，得h(n) h(t)tnT 1e(ajb)nT e(ajb)nT111H(z) h(n)zn 0對h(n)取Z變換，

36、得IIR數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(a jb)T 1(a jb)T 12 1 e z 1 e z1 (e aT cosbT)z 1a /o aT1 2aT 21 (2e cosbT)z e z6.6設(shè)有一模擬濾波器H (s) 1, s2s 1采樣周期T=2,試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù) H(z)o分析：雙線性變換法是模擬系統(tǒng)函數(shù)的 S平面和數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的Z平面之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，消除了頻譜的混疊現(xiàn)象，其變換關(guān)系為1z-1z解：將T=2代入變換公式，可得1z1z則數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(s)1211 z 1 z/I1/I11 z 1 z1 2z1 z6.7 用雙線性變換法設(shè)計一個數(shù)字

37、低通濾波器，采樣頻率fs =1.2kHz,截止頻率 fc = 400Hz。分析：按照§ 6.3中所述的采用雙線性變換法的設(shè)計過程來實現(xiàn)。O利用關(guān)系式3 =TQ將給定的模擬域頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)化為數(shù)字域頻率指標(biāo)利用如下的預(yù)畸變補(bǔ)償公式將數(shù)字域頻率指標(biāo)變換為補(bǔ)償后*的模擬域頻率指標(biāo)*2 tanTO按補(bǔ)償后的 模擬域頻率指標(biāo)設(shè)計三階巴特沃斯模擬濾波器 Hs)參見例 6.2.4利用雙線性變換公式，將模擬濾波器H s)變換為數(shù)字濾波器Hz),即H(z) H(s)s 2i z1 (T為采樣周期)Ti z1解：此數(shù)字濾波器的截止頻率1 cT 2 fc 2 fs1400 -1200由預(yù)畸變補(bǔ)償，得相應(yīng)的模擬

38、濾波器的截止頻率2. cc tan 2 fs tan2、. 3fsT 23由習(xí)題6. 4可知，三階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)3H(s)-s s1ss2S3其中，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點.2j3j6 ce 3 , s2ce , s34e與 ce故有3H(s) 3s 2 cs 2cs c將雙線性變換公式和c2j3fs代入，可得三階巴特沃斯數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) H(s)s 21 z1 H(s)s2fi z1Tl z 1s1 z 131、3c (1 z ) -3V3 212 ；-21V23V3(2fs) (1 z )2 c (2fs) (1 z ) (1 z ) 2 c (2fs) (1 z )(1 z ) c (1 z )3.3(1 z 1)3(1 z 1)32 3(1 z 1)2(1 z 1) 6(1 z 1)(1 z 1)23,3(1 z 1)36.8請選擇合適的窗函數(shù)及窗寬N來設(shè)計一個線性相位低通濾波器Hd(ej )e j , 00,要求其阻帶最小衰減為45 dB,過渡帶寬為8兀/51,試求出h(n)(設(shè)截止頻率3 c =0.5兀)。分析：本題是真正實用的設(shè)計題，從中可以看到阻帶衰減影響窗形狀 的選擇(當(dāng)然用凱塞窗則可改變 B來滿足阻帶衰減的要求)，而窗寬