1、ABxy1) “大化大化(d hu)小小”.2) “常代變”把L分成(fn chn) n 個小弧段,有向小弧段kkMM1近似(jn s)代替, 則有所做的功為F 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkF則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共26頁第一頁，共27頁。3) “近似近似(jn s)和和”4) “取極限(jxin)”1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中(qzhng) 為 n 個小弧段的 最大長度)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共26頁第二頁，共27頁。2. 定義定義(dngy).設(shè) L 為x

2、oy 平面(pngmin)內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對 L 的任意分割(fng)和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共26頁第三頁，共27頁。若 為空間(kngjin)曲線弧 , 記稱為(chn wi)對 x 的曲線積分;稱為(chn wi)對 y 的曲線積分.若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyx

3、PsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共26頁第四頁，共27頁。3. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(1) 若 L 可分成(fn chn) k 條有向光滑曲線弧LyyxQxyxPd),(d),(2) 用L 表示(biosh) L 的反向弧 , 則則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共26頁第五頁，共27頁。二、對坐標(biāo)的曲

4、線二、對坐標(biāo)的曲線(qxin)積分積分的計算法的計算法定理(dngl):在有向光滑(gung hu)弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),(連續(xù),證明: 下面先證LxyxPd),()(t存在, 且有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共26頁第六頁，共27頁。對應(yīng)(duyng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)(gnj)定義由于(yuy)niiiP10)(, )(lim)(tLxyxPd),(對應(yīng)參數(shù)因為L 為光滑弧 ,同理可證)(t機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共26頁第七頁，共27頁。特別是, 如果(rgu) L 的方程為則LyyxQxyxPd),(

5、d),(對空間(kngjin)光滑曲線弧 :類似(li s)有)(t)(t定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共26頁第八頁，共27頁。例例1. 計算計算(j sun)其中(qzhng)L 為沿拋物線解法(ji f)1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd解法2 取 y 為參數(shù), 則從點(diǎn)的一段. )1 , 1(B)1, 1( Aoyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共26頁第九頁，共27頁。例例2. 計算計算(j sun)其中(qzhng) L 為yBAoaa x(1) 半徑(bnjng)為 a 圓心在原

6、點(diǎn)的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共26頁第十頁，共27頁。yxo例例3. 計算計算(j sun)其中(qzhng)L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線(zhxin) 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共26頁第十一頁，共27頁。例例4. 設(shè)在力場設(shè)在力場作用(zuyng)下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動(y

7、dng)到解: (1)(2) 的參數(shù)(cnsh)方程為BAzyx試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為),(zxyFsFWdsFWd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共26頁第十二頁，共27頁。ozyx例例5. 求求其中(qzhng)從 z 軸正向(zhn xin)看為順時針方向.解: 取 的參數(shù)(cnsh)方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共26頁第十三頁，共27頁。三、兩類曲線三、兩類曲線(qxin)積分之積分之間的聯(lián)系間的聯(lián)系設(shè)有向光滑(gung hu)弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向(fngxing)余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機(jī)動 目錄 上頁

8、 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共26頁第十四頁，共27頁。類似地類似地, 在空間曲線在空間曲線(qxin) 上的兩類曲線上的兩類曲線(qxin)積分的聯(lián)系是積分的聯(lián)系是令, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第15頁/共26頁第十五頁，共27頁。二者夾角(ji jio)為 例例6. 設(shè)設(shè)曲線段 L 的長度(chngd)為s, 證明續(xù),證:設(shè)說明: 上述證法可推廣(tugung)到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(tQPAstALds

9、ALdcos機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共26頁第十六頁，共27頁。例例7. .將積分(jfn)化為對弧長的積分,解：oyx其中(qzhng)L 沿上半圓周機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第17頁/共26頁第十七頁，共27頁。1. 定義(dngy)LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(xngzh)(1) L可分成 k 條有向光滑(gung hu)曲線弧(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共26頁第十八頁，共27頁。3. 計算

10、計算(j sun)LyyxQxyxPd),(d),()(t)(t 對有向光滑(gung hu)弧 對有向光滑(gung hu)弧)(xLyyxQxyxPd),(d),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共26頁第十九頁，共27頁。zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t4. 兩類曲線積分(jfn)的聯(lián)系 對空間對空間(kngjin)有向有向光滑弧光滑弧 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第20頁/共26頁第二十頁，共27頁。 F原點(diǎn) O 的距離(jl)成正比,思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 設(shè)一個(y )質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢

11、圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時針移動到),(yxMxyo提示:yykxxkWdd AB:AB(解見 P139 例5), ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共26頁第二十一頁，共27頁。)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已已知知為折線(zhxin) ABCOA(如圖), 計算提示(tsh):yxABddzyyBCddOAxd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第22頁/

12、共26頁第二十二頁，共27頁。備用備用(biyng)題題 1.解:zxoyAB線移動(ydng)到向坐標(biāo)(zubio)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場F 作用下由點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共26頁第二十三頁，共27頁。2. 設(shè)曲線設(shè)曲線(qxin)C為曲面為曲面與曲面(qmin)從 ox 軸正向(zhn xin)看去為逆時針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計算曲線積分解: (1)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共26頁第二十四頁，共27頁。(2) 原式 =令利用(lyng)“偶倍奇零”機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共26頁第二十五頁，共27頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第26頁/共26頁第二十六頁，共27頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)1) “大化小”.。2. 定義.。若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意