1、2第4章 根軌跡法反饋控制系統(tǒng)的基本性能，主要由系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)的基本性能，主要由系統(tǒng)的閉環(huán)極點（即特征方程的根）的分布的閉環(huán)極點（即特征方程的根）的分布所決定所決定開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根 -圖解法圖解法 3學(xué)習要點 根軌跡與根軌跡方程 根軌跡繪制法則 廣義根軌跡 根軌跡法分析控制系統(tǒng)的性能44.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 當系統(tǒng)某個參數(shù)（開環(huán)增益當系統(tǒng)某個參數(shù)（開環(huán)增益K）由零到無）由零到無窮大變化時，窮大變化時， 閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根(極點極點)在在S平面平面上移動的軌跡。上移動的軌跡。4.1.1根軌跡根軌跡常規(guī)根軌跡：常規(guī)根軌跡：變化的參數(shù)為開環(huán)增益變化

2、的參數(shù)為開環(huán)增益K廣義根軌跡（參量根軌跡）：廣義根軌跡（參量根軌跡）：變化的參數(shù)為變化的參數(shù)為其它參數(shù)其它參數(shù)54.1.2 根軌跡方程根軌跡方程 sHsGsGsXsXio 1 :遞遞函函數(shù)數(shù)反反饋饋控控制制系系統(tǒng)統(tǒng)的的閉閉環(huán)環(huán)傳傳根根軌軌跡跡方方程程 01 sHsG其特征方程為其特征方程為 1 sHsG或?qū)懽骰驅(qū)懽?1 : sHsG幅值條件幅值條件 )2 , 1 , 0( 12180 : kksHsG相相角角條條件件6 nmpspspszszszsKsHsG 2121若若KK開開環(huán)環(huán)增增益益系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)根根軌軌跡跡增增益益 pnjpnjpjzmjzeAeAeAeAKsHsGpzmz 1

3、111 1 sHsG , 2 , 1 , 0 12180 1z1 kkpjnjimi 相相角角條條件件 0由由K1 11 pjnjzimiAAK幅值條件幅值條件的的點點都都是是特特征征方方程程的的根根件件平平面面上上所所有有滿滿足足幅幅角角條條S74.2 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則一、根軌跡的分支數(shù)一、根軌跡的分支數(shù)n個特征根個特征根隨隨K變化變化會出現(xiàn)會出現(xiàn)n條根軌跡條根軌跡根軌跡在根軌跡在S平面上的平面上的分支數(shù)分支數(shù)= 閉環(huán)特征方程的閉環(huán)特征方程的階數(shù)階數(shù)n8二、根軌跡的對稱性二、根軌跡的對稱性 -對稱于實軸對稱于實軸S9三、根軌跡的起點與終點三、根軌跡的起點與終點 起點起

4、點-開環(huán)極點開環(huán)極點 終點終點-開環(huán)零點開環(huán)零點 開環(huán)開環(huán)mn 時，有時，有(n-m)條終止于條終止于無窮遠處無窮遠處S4 n2 m 2 mn處處條根軌跡終止于條根軌跡終止于有有 210證明：證明： nnppppspspsK,0 02121起點為：起點為：，即，即起點處起點處 1)()(2121 nmpspspszszszsKsHsG Kpspspszszszsnm12121 mmzzzzszszsK,0 2121終點為：終點為：，即，即終點處終點處 11時時的的終終點點當當mn 01 0 mnnmssss即即時，上式可寫為：時，上式可寫為：而當而當 01 2121 Kpspspszszszs

5、nm滿滿足足 條條根根軌軌跡跡趨趨于于無無窮窮遠遠處處終終點點有有mn 12四、實軸上的根軌跡四、實軸上的根軌跡 實軸上實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零點、極點數(shù)開環(huán)零點、極點數(shù)目之和目之和應(yīng)為應(yīng)為奇數(shù)奇數(shù)。 可由相角條件證明可由相角條件證明 , 2 , 1 , 0 12180 1z1 kkpjnjimi 13例例4.2.1單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為S)2()1()(* sssKsG試繪制試繪制K* 由零到無窮時系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。由零到無窮時系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解解: :(1)(1)確定開環(huán)零極點，畫零極點分布圖確定開環(huán)零極點，畫零極點分布圖零

6、點：零點： z=-1極點：極點： p1=0， p2=-2-1-2(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)：2 2(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡14例例 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為S)5)(3()2)(7()(2* sssssKsG試繪制試繪制K* 由零到無窮時系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。由零到無窮時系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解解: :(1)(1)確定開環(huán)零極點，畫零極點分布圖確定開環(huán)零極點，畫零極點分布圖零點：零點： z1=-7，極點：極點： p1,2=0，p3=-3，-2-3(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)：4 4(3)(3)

7、實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡z2=-2p4=-5-5-715五、根軌跡的漸進線五、根軌跡的漸進線 mnkmnzpaimijnja 12 11角角為為：漸漸進進線線與與實實軸軸正正向向的的夾夾標標為為：漸漸進進線線與與實實軸軸交交點點的的坐坐極點之和減去極點之和減去零點之和。零點之和。 個傾角為止。個傾角為止。到獲得到獲得一直一直，依次取依次取mnk 210S-11-116 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)22()()(2* sssKsHsG試試求根軌跡的漸近線求根軌跡的漸近線。解解: :(1)(1)確定開環(huán)零極點確定開環(huán)零極點零點：零點： 無無極點：極點： p1=0， p2

8、,3=-1 j(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)：3 3(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線：3 3條條傾角：傾角： ,3312)12( kmnka交點：交點：3230)1()1(011 jjmnzpmiinjja 17六、根軌跡的起始角六、根軌跡的起始角( (出射角出射角) )與終止角與終止角( (入射角入射角) ) 起始角：起始角：起始于開環(huán)共軛極點的根軌跡在起始于開環(huán)共軛極點的根軌跡在起點處的起點處的切線與水平線正方向切線與水平線正方向的夾角。的夾角。 終止角：終止角：終止于開環(huán)共軛零點的根軌跡在終止于開環(huán)共軛零點的根軌跡在終點處的終點處

9、的切線與水平線正方向切線與水平線正方向的夾角。的夾角。S1z2z1 2 1p2p3p1z1 2 S18 nmpspszszsKsG 11S1p2p3p1z12 1s 即即起起始始角角（出出射射角角）時時，則則當當,11111 psps起始角起始角 12180 1111 kpszsjnjimi幅角條件幅角條件 121801211111 kppzppsjnjimi 時時 jijanajjiamiappzpk 1112180 推廣：推廣：19 imbiijnjbjnajjimiakk 11111218012180入射角：入射角：出射角：出射角：所有零點到所有零點到 的向量夾角的向量夾角ap其它極點到

10、其它極點到 的向量夾角的向量夾角ap其它零點到其它零點到 的向量夾角的向量夾角bz所有極點到所有極點到 的向量夾角的向量夾角bz起始于起始于 的根軌跡在起點處的根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角的切線與水平正方向的夾角ap終止于終止于 的根軌跡在終點處的根軌跡在終點處的切線與水平正方向的夾角的切線與水平正方向的夾角bz20七、根軌跡的分離點或會合點七、根軌跡的分離點或會合點 幾條根軌跡在幾條根軌跡在S平面上平面上相遇后又分開相遇后又分開的點，稱的點，稱為根軌跡的為根軌跡的分離點（或會合點）分離點（或會合點）。sdsdK解解出出根根軌軌跡跡方方程程 0. 1* dzdpdmiinjj解解出出

11、由由 11. 211 利用幅值條件可以求出分離點利用幅值條件可以求出分離點( (會合點會合點) )對應(yīng)的對應(yīng)的K* *值值sdssdD解解出出由由 0)(. 3 21例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡函數(shù)繪制根軌跡 25. 3312* sssKsHsG jpjpss 5 . 1 5 . 1 025. 33 1 212求開環(huán)極點求開環(huán)極點解：解：S-3 -2 -1 01p2 pz (2) 實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡開環(huán)零點開環(huán)零點 z=-122 1 25. 331: 32 sssK根軌跡方程根軌跡方程求會合點：求會合點： 0125. 33132 22 sssssdsdK1

12、25. 332 sssK 舍舍去去是是會會合合點點解解得得：有有： 12. 0 12. 2025. 02212 ssss23. 1125. 331121*1 sssKs 對應(yīng)的對應(yīng)的與與例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡函數(shù)繪制根軌跡 ( )( )()25. 3+3+1+=2sssKsHsG23S-3 -2 -1 01p2 pz 出出射射角角： 457.116 57.20612. 2 會合點會合點57.206 2 由于對稱性由于對稱性()()2111+180=ppzp-57.206=9057.116+180=-23. 1* K例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

13、繪制根軌跡函數(shù)繪制根軌跡 ( )( )()25. 3+3+1+=2sssKsHsG24八、實軸上的分離點的分離角八、實軸上的分離點的分離角恒為恒為 實軸上的會合點的會合角實軸上的會合點的會合角恒為恒為90 90 S-3 -2 -1 01p2 pz 會合時，根軌跡會合時，根軌跡切線的傾角切線的傾角25 九、根軌跡與虛軸的交點九、根軌跡與虛軸的交點 01 jHjG 01Im1Re jHjGjjHjG即即說明說明s=j滿足特征方程滿足特征方程,即即: KKjHjGjHjG及及令令 01Im01Re S-11-126例例4.2.44.2.4 例例4.2.2續(xù)續(xù))22()()(2* sssKsHsG解解

14、: :(1)(1)確定開環(huán)零極點確定開環(huán)零極點零點：零點： 無無極點：極點： p1=0， p2 ,3=-1 j(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)：3 3(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線：3 3條條傾角：傾角： ,3312)12( kmnka交點：交點：3230)1()1(011 jjmnzpmiinjja p1p2p3S-11-127 例例4.2.24.2.2續(xù)續(xù))22()()(2* sssKsHsG (5) (5)無分離點無分離點(6)(6)出射角出射角 45)()(18032122ppppp 04523 pp (7)(7)與虛軸交點與虛

15、軸交點方法一：方法一：022)(*23 KssssD令令s=j，有，有0)(2)(2)()(*23 KjjjjD 0-202-32* K有有 2 4*jsK解解得得方法二：勞斯判據(jù)方法二：勞斯判據(jù)*0*1*2324221KsKsKss 2js 得得K*=4系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定根軌跡與虛軸有交點根軌跡與虛軸有交點交點可由輔助方程求交點可由輔助方程求02)(*2 KssFp1p2p328 繪制系統(tǒng)的根軌跡繪制系統(tǒng)的根軌跡解解: :(1)(1)確定開環(huán)零極點確定開環(huán)零極點零點：零點： z1=-2,極點：極點：p1,2=0，p3=-1，(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)：4 4

16、(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線： 2 2條條交點：交點： S-41-2)1)(3()4)(2()(2* sssssKsG開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)z2=-4p4=-312)42(31 a 傾角：傾角：2)12( mnka29( )()()()畫根軌跡畫根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)例例 2+2+3+2+= 2*sssssKsG( )極極點點分分布布圖圖求求開開環(huán)環(huán)零零極極點點并并畫畫出出零零解解： 1S-3 -2 -1 02= , 3=0=1= 1432, 1-zppjp，1p2 p 實實軸軸上上的的根根軌軌跡跡2 3 3 mn漸進線條數(shù)漸進線條數(shù) 13211

17、3 jja 180 ,60318012 ka 點點會合會合實軸上無分離實軸上無分離4301 2 6 .26= -(5)求出射角求出射角)(+)(+180=413121111ppppppzp-)-(-)-( 6 .261359045180 6 .26=-=12S-3 -2 -1 01p2 p( )()()()畫根軌跡畫根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)例例 2+2+3+2+= 2*sssssKsG(6)求根軌跡與虛軸交點求根軌跡與虛軸交點 02223)(2 sKsssssD 02685234 KsKsss js 令令 02685234 KjKj 31S-3 -2 -1 01p2 p1 2 761.

18、1* K 761. 1* K 02685234 KjKj 065028324 KK虛部方程：虛部方程：實部方程：實部方程：7 7061.161.1 0 KKK； ：解解方方程程并并舍舍去去無無意意義義解解 S-555-5 繪制系統(tǒng)的根軌跡。已知開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的根軌跡。已知開環(huán)傳遞函數(shù)解解: :(1)(1)確定開環(huán)零極點確定開環(huán)零極點零點：零點：z1=-5極點：極點： p1=0，p2=4.8(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)： 2 2(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線：)4.8-()5+(=)(*sssKsG無無(5)(5)分離點分離點5

19、+1=8 . 41+1ddd-解得解得，2=1d12=2-d(6)(6)與虛軸交點與虛軸交點0=5+)8 . 4-(+=)(*2KsKssDjs =令令得根軌跡與虛軸交點得根軌跡與虛軸交點js9 . 4=8 . 4=*K334.3 廣義根軌跡廣義根軌跡4.3.1參變量根軌跡參變量根軌跡 系統(tǒng)中除開環(huán)增益外的其他參數(shù)發(fā)生變化時閉環(huán)極系統(tǒng)中除開環(huán)增益外的其他參數(shù)發(fā)生變化時閉環(huán)極點移動的軌跡，稱為點移動的軌跡，稱為。 利用利用的概念，利用常規(guī)根軌跡繪制法的概念，利用常規(guī)根軌跡繪制法則來繪制參變量根軌跡。則來繪制參變量根軌跡。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)，則閉環(huán)特征方程

20、為，則閉環(huán)特征方程為0=1+)()(=)(sHsGsD變形為：變形為：0=)( )( +1=)()(+1=)(sHsGsQsPAsDP(s)和和Q(s) 為不含有變化參數(shù)為不含有變化參數(shù)A的特征多項式的特征多項式用新的開環(huán)傳遞函數(shù)用新的開環(huán)傳遞函數(shù) 繪制根軌跡即可繪制根軌跡即可)( )( sHsG34例例4.3.1 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)( )()assKsG+=2*繪制繪制K*=0.25，參數(shù)，參數(shù)a由零變化到無窮時系統(tǒng)的根軌跡。由零變化到無窮時系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為0=)+(25. 0+)1+(=)(2assssD0=2

21、5. 0+25. 0+23asss即即：變形為變形為0=+4+4+123sssa新開環(huán)傳遞函數(shù)新開環(huán)傳遞函數(shù)sssasHsG+4+4=)( )( 23(1)(1)確定開環(huán)零極點確定開環(huán)零極點34零點：零點：無無極點：極點：p1=0，p2,3=-0.531- S21-j21j21-(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)： 3 3(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線：31-=30-)5 . 05 . 00(=-aka,3=3)1+2(=(5)分離點分離點)+4+4( -=23sssa)(21-=61-=0=11舍舍去去，得得ssdsda(6)(6)與虛

22、軸交點與虛軸交點0=)25. 0+- (+)25. 0+- (32ja0.5=1=a，得得中中有有代代入入將將0=)(=sDjs61-35例例4.3.2 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)( )()asssG+)4+(20=繪制參數(shù)繪制參數(shù)a由零變化到無窮時系統(tǒng)的根軌跡。由零變化到無窮時系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為0=20+)+)(4+(=)(asssD0=20+4+4+2aasss即即：變形為變形為0=20+4+)4+(+12sssa新開環(huán)傳遞函數(shù)新開環(huán)傳遞函數(shù)20+4+)4+(=)( )( 2sssasHsG(1)(1)確定開環(huán)零極點確定

23、開環(huán)零極點零點：零點：z1=-4極點：極點：p1,2=-24j s4-44-(2)(2)根軌跡起止點和分支數(shù)：根軌跡起止點和分支數(shù)： 2 2(3)(3)實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡(4)(4)漸近線：漸近線： 無無(5)分離點分離點4+20+4+-=2sssa0=4-8+0=2ssdsda有有)(-0.472=-8.472=11舍舍去去，解解得得ss.4728-(6)出射角出射角435.153=90435.63+180=1-435.153=2-36 4.4 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)性能由根軌跡求解閉環(huán)零點、閉環(huán)極點由根軌跡求解閉環(huán)零點、閉環(huán)極點)()()()()()(2211s

24、AsBsHsAsBsG ，設(shè)設(shè))()()()()()()()(1)()()(212121sBsBsAsAsAsBsHsGsGsXsXio 則則所以：所以：閉環(huán)零點閉環(huán)零點= =前向通道的零點前向通道的零點閉環(huán)極點閉環(huán)極點-根軌跡上的點根軌跡上的點+反饋通道的極點反饋通道的極點 374.4.1閉環(huán)零極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系閉環(huán)零極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系 njjmiiiopszsKsXsX11* njjjnjjmiioipsAsApszssKsXttx1011*1時，時，當當 njtpjojeAAtx10 控制系統(tǒng)閉環(huán)的零極點控制系統(tǒng)閉環(huán)的零極點分布分布要保證它的輸出量盡可要保證它的輸出量

25、盡可能的復(fù)現(xiàn)給定輸入量，動態(tài)過程的能的復(fù)現(xiàn)給定輸入量，動態(tài)過程的快速性、平穩(wěn)性快速性、平穩(wěn)性要好一些。要好一些。38中每一分量中每一分量 衰減得快衰減得快，即，即 應(yīng)應(yīng)遠離虛軸遠離虛軸 njtpjojeAAtx10tpjejp1. 為保證系統(tǒng)為保證系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定，閉環(huán)極點必須在，閉環(huán)極點必須在左半左半S平面平面。2. 為保證為保證快速性快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)好，應(yīng)使階躍響應(yīng)若為共軛復(fù)極點，實部決定衰減快慢，若為共軛復(fù)極點，實部決定衰減快慢，虛部決定阻尼振蕩頻率虛部決定阻尼振蕩頻率393、平穩(wěn)性平穩(wěn)性好，復(fù)極點設(shè)在與負實軸成好，復(fù)極點設(shè)在與負實軸成 線上，線上，最佳阻尼比最佳阻尼比 。45 707

26、. 0 4 4、遠離虛軸遠離虛軸的閉環(huán)極點對瞬態(tài)響應(yīng)影響很小。的閉環(huán)極點對瞬態(tài)響應(yīng)影響很小。若某一極點比其它極點遠離虛軸若某一極點比其它極點遠離虛軸4-64-6倍倍時，則時，則它對瞬態(tài)響應(yīng)的影響可忽略。它對瞬態(tài)響應(yīng)的影響可忽略。5 5、要求動態(tài)過程盡快消失，則閉環(huán)極點間的間、要求動態(tài)過程盡快消失，則閉環(huán)極點間的間距要大，使零點靠近極點距要大，使零點靠近極點( (構(gòu)成偶極子構(gòu)成偶極子) )。404.4.2利用根軌跡分析系統(tǒng)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)性能 1. 1.穩(wěn)定性穩(wěn)定性 2.2.動態(tài)特性動態(tài)特性單位階躍響應(yīng)是否存在超調(diào)量單位階躍響應(yīng)是否存在超調(diào)量 3.3.準確性準確性穩(wěn)態(tài)誤差的估計穩(wěn)態(tài)誤差的估計 4.4.系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)固有頻率臨