1、會計學(xué)1線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)行列式習(xí)題行列式習(xí)題課課第一頁，共56頁。 121 2111212122212n121nnntnpppp ppnnnnaaaaaaDa aaaaa ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù)為這為這的一個排列的一個排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn 第2頁/共56頁第二頁，共56頁。.,)1(21212121的逆序數(shù)的逆序數(shù)為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn 第3頁/共56頁第三頁，共56頁

2、。(1);(2);(3);(4):;(5);(6)TijiijijijijijDDrrrkrrkabcrkr第4頁/共56頁第四頁，共56頁。）關(guān)于代數(shù)余子式的重要）關(guān)于代數(shù)余子式的重要(zhngyo)性質(zhì)性質(zhì)11,;0,.,;0,.1,;0,.nkjkiijknjkikijkijD ijDijD ijDijijija Aa A 或或其其中中1 ) 余子式與代數(shù)余子式與代數(shù)(dish)余子式余子式第5頁/共56頁第五頁，共56頁。., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng)列列中第中第）是把系數(shù)行列

3、式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 第6頁/共56頁第六頁，共56頁。由此可得（對方程由此可得（對方程(fngchng)個數(shù)與未知個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同的方程數(shù)個數(shù)相同的方程(fngchng)組來說）組來說）（1）若非齊次線性方程組無解）若非齊次線性方程組無解(w ji)或多或多解，則其系數(shù)行列式必為零。解，則其系數(shù)行列式必為零。（2）若齊次線性方程組有非零解，則其系）若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。數(shù)行列式必

4、為零。第7頁/共56頁第七頁，共56頁。余子式分別為5,3,-7,4,則D= 。第8頁/共56頁第八頁，共56頁。1112131111121321222321212223313233313132334236.1,423423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若若則則1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa 7、n為奇數(shù)為奇數(shù)(j sh)時時= ；= ；第9頁/共56頁第九頁，共56頁。1224222214351427D Mij是元素是元素(yun s)aij的余子式，則的余子式，則M41-M42+M43+M44= .第10頁/共56頁第十頁，共

5、56頁。9. 已知已知 1211123111211xxxxxf 則則x3 的系數(shù)的系數(shù)(xsh)為為 。 第11頁/共56頁第十一頁，共56頁。12111111(0)111ninaaDaa 例例1第12頁/共56頁第十二頁，共56頁。112111100naaaaa 11211221110000niiinacciianaaaaa 解：原式解：原式=111(1)nniiaaa 第13頁/共56頁第十三頁，共56頁。另解：原式另解：原式=1112221111111111111nnnnaaaaaaaaaaa 第14頁/共56頁第十四頁，共56頁。解：原式解：原式=1122110111110111111

6、11naaaaa 1211nnna aaa D12112212()nnnnna aaa a aaaD第15頁/共56頁第十五頁，共56頁。方法方法(fngf)三：升級法?？慈荷壏?。看例例1解：原式解：原式=11110 11011naa11111010naa 11211111110000niiincciianaaaa 第16頁/共56頁第十六頁，共56頁。222244441111abcdDabcdabcd 例例2 計算計算(j sun)22222333334444411111( )abcdxabcdxf xabcdxabcdx 解：構(gòu)造解：構(gòu)造(guzo)（這是一個（這是一個(y )范德蒙行

7、范德蒙行列式）列式）第17頁/共56頁第十七頁，共56頁。=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外另外f(x)按最后一列按最后一列(y li)展開，可得展開，可得2341525354555( )f xAA xA xA xA x 上兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)上兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)(xsh)相等。相等。而而D=-A45，故，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)第18頁/共56頁第十八頁，共56頁。方法四：降級方法四：降級(jing j)法。（行列式中某一行（法。（行列式中某一行（

8、列）只有一、二個非零元素或者某行（列）的余列）只有一、二個非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）子式都是易求的行列式）1221111100001000001nnnnnnnnxxDxaaaaxaxa xaxa 例例3 證明證明(zhngmng)第19頁/共56頁第十九頁，共56頁。證法一：按最后一行證法一：按最后一行(yxng)展開展開1211211 0000001000100( 1)( 1)001001100100000000( 1)( 1) ()0001000nnnnnn nn nxxDaaxxxxxxax ax =右邊右邊(yu bian)第20頁/共56頁第二十頁，共56頁。證

9、法證法(zhn f)二：按第一列展開，得二：按第一列展開，得Dn=xDn-1+an再根據(jù)上面的遞推公式再根據(jù)上面的遞推公式(gngsh)或數(shù)或數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)果。學(xué)歸納法可得結(jié)果。第21頁/共56頁第二十一頁，共56頁。1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxa xaaaax a 證證法法三三：按第一列展開按第一列展開(zhn ki)即可得結(jié)即可得結(jié)果。果。第22頁/共56頁第二十二頁，共56頁。證法四：從第一列證法四：從第一列(y li)開始，前一列開始，前一列(y li)乘乘1/x加到后一列加到后一列(y li)上去，化上去，化成下三角行列式成下三角行

10、列式方法方法(fngf)五遞推法五遞推法如例如例1的第二種解法的第二種解法(ji f)；例；例3的第二的第二種解法種解法(ji f)第23頁/共56頁第二十三頁，共56頁。方法方法(fngf)六用數(shù)學(xué)歸納法六用數(shù)學(xué)歸納法例例4證明證明(zhngmng)cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD 第24頁/共56頁第二十四頁，共56頁。證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時時當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的

11、的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對對的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn第25頁/共56頁第二十五頁，共56頁。1cos100012cos100012cos00( 1)0002cos000011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosn nnD 第26頁/共56頁第二十六頁，共56頁。,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)論成立結(jié)論成立所以對一切自然數(shù)所以對一切自

12、然數(shù)n.cos221DDDnnn 第27頁/共56頁第二十七頁，共56頁。練習(xí)練習(xí)(linx)1、計算、計算(j sun).333222111222nnnDnnnn 第28頁/共56頁第二十八頁，共56頁。解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第29頁/共56頁第二十九頁，共56頁。上面上面(shng min)等式右端行列式為等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第30頁/共56頁第三十頁，共

13、56頁。2、計算、計算(j sun).43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第31頁/共56頁第三十一頁，共56頁。解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 第32頁/共56頁第三十二頁，共56頁。提取提取(tq)第一列的公因子第一列的公因子，得，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第

14、第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 第33頁/共56頁第三十三頁，共56頁。. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(第34頁/共56頁第三十四頁，共56頁。222222221111113.111111aaaabbbbDccccdddd 1 abcd已知已知第35頁/共56頁第三十五頁，共56頁。解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第36頁/共56頁第三十六頁，共56頁。dddcccbbbaaaabcd11111111

15、11112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第37頁/共56頁第三十七頁，共56頁。212322 21 22 234.33 32 45 35443 57 43xxxxxxxxDxxxxxxxx 第38頁/共56頁第三十八頁，共56頁。1121100011005.000100011nnnaaaDaaa 第39頁/共56頁第三十九頁，共56頁。證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點(diǎn)點(diǎn)設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybxc

16、zbyaxzyyxxyxM 0,0,00.ax by cbx cy acx ay ba b c 證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的直直線線相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分必必要要條條件件是是例例4 4 第40頁/共56頁第四十頁，共56頁。. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因?yàn)槿龡l直線互不相同因?yàn)槿龡l直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba第41頁/共56頁第四十一頁，共56頁。. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）

17、到到第第三三個個方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果第42頁/共56頁第四十二頁，共56頁。.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba第43頁/共56頁第四十三頁，共56頁。例例6

18、有甲、乙、丙三種化肥有甲、乙、丙三種化肥(hufi)，甲種化肥，甲種化肥(hufi)每千每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥克；乙種化肥(hufi)每千克含每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥克；丙種化肥(hufi)每千克含氮每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種化肥克若把此三種化肥(hufi)混合，要混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問三種化克，問三種化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設(shè)甲、乙、丙三種化肥設(shè)甲、乙、丙三種化肥,1xxx

19、 .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx第44頁/共56頁第四十四頁，共56頁。,527 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥第45頁/共56頁第四十五頁，共56頁。第一章第一章 測試題測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3636分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,

20、0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個根的三個根是方程是方程設(shè)設(shè)行列式行列式 . 3第46頁/共56頁第四十六頁，共56頁。 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四階行列式四階行列式第47頁/共56頁第四十七頁，共56頁。 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)四階行列式設(shè)四階行列式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數(shù)是的系數(shù)是中中在函數(shù)在函數(shù)321112 . 7xxxxxxxf 第48頁/共56頁第四十八頁，共56頁。8. ,a bab若為實(shí)數(shù)則當(dāng)且時010100 abba1 2112 19. .nnn niii ii ii i排列可經(jīng)次對換后變?yōu)榕帕械?9頁/共56頁第四十九頁，共56頁。二、計算二、計算(j sun)(j sun)下列行列式下列行列式( (每小題每小題1010分，共分，共2020分分) )0112210321