1、師生互動(dòng)“說題”促進(jìn)高效復(fù)習(xí) 一道課本習(xí)題的教學(xué)及思考（325024）浙江省溫州市龍灣中學(xué)徐登群xdq1115）本文發(fā)表于中小學(xué)數(shù)學(xué)教師版2011年第3期1 問題提出習(xí)題教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，它既是幫助學(xué)生深化理解基礎(chǔ)知識(shí)，熟練運(yùn)用和鞏固知識(shí)及培養(yǎng)技能的過程；又是幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行思維訓(xùn)練的過程.目前，據(jù)筆者所了解的習(xí)題課，大多數(shù)是教師精選題目，采用變式教學(xué)或一題多解，按照課前預(yù)設(shè)的教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)習(xí)題進(jìn)行講解，這種課堂往往是“教師講得精彩，學(xué)生聽得入迷”，而課后遇到類似的問題時(shí)，大部分學(xué)生是對(duì)教師講過的方法“若隱若現(xiàn)”，“寫了開頭，忘了結(jié)尾”

2、，常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”等現(xiàn)象.產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因，一是教師的教學(xué)定位偏高，大致分為“講多了”和“講難了”兩種情況，“講多了”指教師選題時(shí)，往往貪多求全，數(shù)學(xué)方法也追求多多益善，一節(jié)課下來，教師聲嘶力竭，學(xué)生卻不知所云，教學(xué)效果可想而知.“講難了”指教師選擇的題目遠(yuǎn)離教材或偏離教材，起點(diǎn)高，梯度大，大部分學(xué)生可能還邁不過第一道坎，教師已經(jīng)在介紹他的“妙法”了，如此，“妙法”的“妙”對(duì)有些學(xué)生來說就無從談起.而筆者以為最重要的原因是教學(xué)方式不對(duì)，這些課往往是教師牽著學(xué)生的鼻子走，以自己（或優(yōu)等生）的思路取代大部分學(xué)生的思考，以教師的教取代學(xué)生的主動(dòng)探索求，學(xué)生坐以待哺，只能成為知識(shí)的接受器

3、.大部分學(xué)生忙于接受教師所傳授的數(shù)學(xué)方法，沒有自己的思考空間，更沒有對(duì)問題的深刻認(rèn)識(shí)，也就談不上課堂上的吸收和課后的靈活運(yùn)用了.如何提高習(xí)題課的課堂效益，促進(jìn)高三高效復(fù)習(xí)呢？以下是筆者柯西不等式這節(jié)習(xí)題課上，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高課堂教學(xué)效益嘗試的一個(gè)案例.2教學(xué)實(shí)錄2.1 源于教材平淡出場(chǎng)師：上一節(jié)課我們復(fù)習(xí)了柯西不等式的證明與推導(dǎo)，今天我們來復(fù)習(xí)柯西不等式的應(yīng)用.請(qǐng)同學(xué)們翻開選修45不等式選講P41第1題，問題：已知，且，求證：.你能否把結(jié)論作一些推廣，并寫出證明.問題的證明比較簡(jiǎn)單，學(xué)生很快就能用柯西不等式或三維均值不等式證明了.教師在黑板上板書了如下結(jié)論：，.此后，學(xué)生進(jìn)入思考、

4、演算如何推廣這一問題.有的學(xué)生小聲討論起來.2.2 師生說題 拾級(jí)而上生1：條件不變，改變結(jié)論，如求證：.教師邊板書邊問：（本課例中學(xué)生回答的結(jié)論教師均在黑板上一一板書，以下不作說明）師：這是如何得到的？又該如何證？生1：只需將原問題中的1用代換，可得到式子如下：，這樣證明方法就如原問題.師：很好！想到了1的代換.生2：我覺得在條件不變的情況下，還可以證明式子：.師：如何證明？生2：我用的是柯西不等式，在左邊乘上2，即，利用剛才的結(jié)論，就可證明.師：很有想象力！我們打開課本P41頁，觀察練習(xí)第4題，與剛才這位同學(xué)的結(jié)論為什么不一樣？全班幾乎齊答：“因?yàn)榈忍?hào)取不到”.師：我們?cè)诳紤]使用柯西不等式

5、，不但要考慮問題是否符合柯西不等式的形式，同時(shí)也要注意等號(hào)是否成立.話音剛落，有一位學(xué)生提出了自己的想法.生3：我是借鑒前兩位同學(xué)的想法，將第二位同學(xué)結(jié)論中的1進(jìn)行了代換，得到的結(jié)論：.該生作了簡(jiǎn)要說明，全班學(xué)生頓時(shí)豁然.師：不錯(cuò)！他山之石可以攻玉！在不改變條件的前提下，還有別的推廣嗎？過了一會(huì)兒，班里沒有剛才熱烈的氣氛，大部分學(xué)生火熱的思維好象遇到大冰塊，慢慢地冷了下來.因?yàn)樗麄儧]有往前想的方向與目標(biāo)，覺得在這種條件下，推廣也許到了盡頭，教師這時(shí)候開始嘗試打開學(xué)生的思路之門.師：已知，同學(xué)們看到1就想著將它看成，這種想法很好，但我們看到a+b,b+c或a+c，未等教師講完，學(xué)生就接過教師的話

6、，學(xué)生（齊答）：可以看作1c,1a和1b，這樣我們就可以得到：和：兩個(gè)結(jié)論.教師將式和式分別板書在式和式的右邊.學(xué)生回答完畢后，并沒有神奇的感覺，覺得原來真相也不過如此，又開始第二次的沉默.師：剛才得到的兩個(gè)式子與、兩式本質(zhì)上并沒有什么太大的區(qū)別，我們都可以用柯西不等式證明之，但同學(xué)們觀察一下，他們有什么共同的特點(diǎn)呢？生4：都是求最小值的問題，左邊是含有a,b,c的式子，右邊是個(gè)定值.師：觀察非常細(xì)致！那左邊式子具有怎樣特征的特征時(shí)？才能用柯西不等式求它的最值呢？生5：分母之和為定值，都等于2.師：只有分母之和等于2才有最值嗎？學(xué)生稍涼的思維又慢慢熱了起來，課堂重新恢復(fù)了活躍的氣氛，不一會(huì)兒.

7、生6：分母之和不一定是2，我得到的結(jié)論有，還有（）等.師：非常有創(chuàng)意！他得出關(guān)于這一類式一般的結(jié)論.生7（大聲地說）：也有一般的結(jié)論，應(yīng)該是.話音剛落，有學(xué)生就提出質(zhì)疑.生8：的一般結(jié)論應(yīng)該是由式變式得到的，這好象不對(duì).師：我們共同來推推看，為了能夠類比到的推導(dǎo)，我們將式化為：，再變式到，最后整理得到式：.學(xué)生豁然貫通，有一種成功的喜悅感，原來在條件不變的前提下竟能得出這么多結(jié)論，正當(dāng)多數(shù)學(xué)生還沉浸在收獲的喜悅時(shí)，一個(gè)聲音打破了這種氛圍.生9：我得到的結(jié)論是：.師：說說你的靈感從哪里而來？生9：只需滿足分母之和是一個(gè)定值，我們就可以乘以這個(gè)定值，運(yùn)用柯西不等式求證，所以a,b,c前的系數(shù)不一定

8、是負(fù)的，也可以是正的，如.這個(gè)也有一般的結(jié)論：（），證法類似.師：這樣說來，我們小結(jié)一下剛才推論的思路，一是將分母中常數(shù)取不同的正自然數(shù)，二是將a,b,c前的系數(shù)變成1或1.教師的話剛結(jié)束，有幾位學(xué)生在私底下說常數(shù)可以取一些分?jǐn)?shù)或?qū),b,c前的系數(shù)改成其他整數(shù)的想法.師：好的，我們就來討論一下這兩個(gè)問題：常數(shù)可以取分?jǐn)?shù)嗎？a,b,c前的系數(shù)可以改成其他整數(shù)嗎？學(xué)生思考片刻，有些學(xué)生還發(fā)生了意見上的沖突.生10：在a,b,c前的系數(shù)為1的情況下，常數(shù)可以取大于1的分?jǐn)?shù)，如，即對(duì)的任何實(shí)數(shù)都成立.而對(duì)任意都成立.師：為什么這樣考慮？式：成立嗎？生（齊答）：保證每個(gè)式子是正的，式對(duì)的任何實(shí)數(shù)都成立

9、.師：不錯(cuò)，弄清楚了柯西不等式的特征及其應(yīng)用條件，式是由式變形得到，兩者實(shí)質(zhì)上屬于同一個(gè)式子，類比這種變形，由式：可以得到什么結(jié)論呢？生11（立刻舉手）：.師：為什么？生11：我是這樣想的，剛才式到式的推導(dǎo)就是將9變成3，其他也沒有變，所以是這個(gè)結(jié)論.師：是不是對(duì)的呢？大部分同學(xué)在底下用剛才的推導(dǎo)方法在演算，這時(shí)有部分學(xué)生差不多演算完了，有位學(xué)生舉手表示質(zhì)疑.生12：類似剛才的方法：由得，最后得到的結(jié)論是，主要是因?yàn)橄禂?shù)變成了1，不等號(hào)方向在變式過程中發(fā)生了改變.師：很好，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該“大膽猜想，小心求證”.到此，對(duì)我們的推導(dǎo)作如下小結(jié)：（i）這9個(gè)式子都可以歸結(jié)為利用柯西不等式求最值問

10、題；（ii）問題的推導(dǎo)是遵循柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征和應(yīng)用條件的，即類似于基本不等式的“一正、二定、三等號(hào)”，其中定值是引領(lǐng)我們推導(dǎo)方向的重要因素，這9個(gè)式子都很好利用了這一前提條件.那么，利用柯西不等式和還能湊出怎樣的問題呢？全班第三次平靜了下來，但筆者感覺到學(xué)生的內(nèi)心并不平靜，他們?cè)谒季S在跳動(dòng)著.大約半分鐘左右.生13：或和，我的想法是將柯西不等式的右側(cè)湊成，這樣也會(huì)出現(xiàn)定值問題.此刻，全班同學(xué)愕然，隨之教室里馬上就有七零八落的聲音，筆者請(qǐng)了一樣學(xué)生發(fā)言.師：你們?cè)谟懻撌裁磧?nèi)容？生14：類比前面的方法這也一般的結(jié)論：和.2.3螺旋上升破繭成蝶師：太有才了！從構(gòu)成定值的角度出發(fā)，得出了新的結(jié)論.

11、對(duì)條件是“，且”的結(jié)論的推廣，我們得到出兩類問題（教師結(jié)合板出歸納）：第一類：，；第二類：，.特別要注意的情形，而這兩類問題也可以看成關(guān)于三個(gè)正數(shù)的一般性結(jié)論，也可以看成是練習(xí)的一種推廣.我們知道，柯西不等式的推廣教材是從二維的柯西不等式推廣到n維的柯西不等式的，這一層面上來看，問題的一般化還可以從維數(shù)上著手，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，又會(huì)有什么結(jié)論呢？生15：條件應(yīng)換成n個(gè)正數(shù)，且，類比可得：；，.師：回答的非常完整，他是將重心放在維數(shù)的變化上，這里我就沒有必要重復(fù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的變化了.你們是否會(huì)證呢？請(qǐng)看教材P41頁練習(xí)第6題.學(xué)生完整這個(gè)問題還是比較輕松的，但內(nèi)心卻是沸騰的，心里在想，怎么會(huì)變到

12、這一題了呢？這也正是筆者最想要的結(jié)果：掌握柯西不等式固然重要，如果在掌握知識(shí)的同時(shí)，了解了習(xí)題間的內(nèi)在聯(lián)系，理解了問題的本質(zhì)，明白了教材的重要性或?qū)滩挠辛俗约旱目捶菓?yīng)該更有價(jià)值.3教學(xué)反思3.1 選經(jīng)典例題還是教材習(xí)題當(dāng)前，就筆者了解到高三復(fù)習(xí)課解題教學(xué)的模式一般如下：知識(shí)梳理經(jīng)典例題變式訓(xùn)練小結(jié).在選題方面，也有了一個(gè)“潛規(guī)則”，但凡公開課，開課者不是直接選擇最新的高考題或高考模擬題作為例題，就是選能變式到高考題的典型例題作為例題.誠(chéng)然，高考試題具有科學(xué)性、權(quán)威性和規(guī)范性，也是復(fù)習(xí)課教學(xué)很好的素材之一，但高考題往往是高中數(shù)學(xué)研究的末端成果，也具有較強(qiáng)的綜合性、靈活性，不利于全體學(xué)生吸收，

13、特別是后進(jìn)生難有所獲.因此，每節(jié)課的教學(xué)最好能做到“淺入深出”，“淺入”是指教學(xué)的起點(diǎn)要低，讓后進(jìn)生有所得；“深出”是指要留有余地，讓好的學(xué)生有探究和發(fā)展的空間.“源于課本，高于課本”已經(jīng)成為高考命題的一條重要原則，“源于課本”指的高考試題的根源來自教材中的例習(xí)題，是由教材中例習(xí)題演變而來的，“高于課本”指高考試題在能力要求上有高于同類型的課本例習(xí)題.這一原則啟示我們要重視課本例習(xí)題的發(fā)展，演繹試題的命制過程和思維軌跡，揭開高考試題的神秘面紗，淡化對(duì)高考試題的畏懼感，從而更真實(shí)的把握高考命題專家的命題意圖，讓學(xué)生從無邊無際的題海中解放出來，因此，筆者以為，在新課程背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)要合理使用教材

14、，按照高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要“面向全體，降低重心”的原則，有效選擇教材中的例習(xí)題.高三復(fù)習(xí)也不例外，不能因?yàn)槭菑?fù)習(xí)課，不能因?yàn)榻虒W(xué)對(duì)象是高三學(xué)生，在選題上片面追求“新、奇、難”，一味選擇高考題或經(jīng)典的例題，脫離教材，對(duì)教材中既基礎(chǔ)又富有內(nèi)涵的例習(xí)題不屑一顧，從而忽視了對(duì)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的強(qiáng)化.本課例中，課堂上一共推廣了四類結(jié)論，由淺入深，逐層遞進(jìn)，拾級(jí)而上.以教材中的習(xí)題為情節(jié)，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，在這些結(jié)論的推廣過程中，新舊結(jié)論之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力，打破了學(xué)生原有的思維定勢(shì).選題看似平淡，卻內(nèi)涵豐富，幾乎涵蓋了柯西不等式這一節(jié)中所有例題和練習(xí)；簡(jiǎn)

15、約而不簡(jiǎn)單，問題和結(jié)論相對(duì)簡(jiǎn)約，但思維量不少，有很強(qiáng)的深刻性，真正做到“減負(fù)增效”.3.2 是“一題多解”有效還是“多題一解”有效一題多解，多題一解是數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的重要途徑.“一題多解”就是從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路.使不同的知識(shí)得以綜合運(yùn)用，并能從多種解法的對(duì)比中優(yōu)選最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問題、解決問題的能力提高，使思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性增強(qiáng).“一題多解”教學(xué)的特點(diǎn)是容量大、方法多、跨度大、難度高，有些方法了解的學(xué)生鳳毛麟角，教師補(bǔ)充這種解法只是本人解題水平的一種展示，而對(duì)學(xué)生解題能力的提高沒有幫助.從這種意義上講，“一題多解”教學(xué)是一把雙刃劍，運(yùn)用得好，可以培養(yǎng)

16、學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性；運(yùn)用不當(dāng)，不僅不能發(fā)揮其應(yīng)用的教學(xué)功能，甚至?xí)档驼n堂的教學(xué)效果，增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).“多題一解”指的是同一種方法解決某一類問題，這種方法就是通常所說的通性通法.“多題一解”中的“多”可以理解為數(shù)學(xué)習(xí)題題型各異，條件或結(jié)論的形式各異；而“一”可以理解為一種模式或一種一類，達(dá)到事半功倍的效果.筆者以為，就高考復(fù)習(xí)而言，在復(fù)習(xí)課教學(xué)過程中應(yīng)“注重通性通法，淡化特殊技巧”，切實(shí)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.本課例引用教材中的習(xí)題，以柯西不等式為知識(shí)核心，循序漸進(jìn)，層層深入，各個(gè)結(jié)論的得來環(huán)環(huán)相扣，水到渠成.通過各結(jié)論的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了“積累模式理解模式運(yùn)用模式突破模式”這一過程，最后

17、進(jìn)入得心就手的境界，“多題一解”在本課例中實(shí)現(xiàn)了量變到質(zhì)變的升華，既有了“一題多解”的功能，更是歸納了通性通法，“魚漁”兼得.3.3 是教師“說題”還是學(xué)生“說題”“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”，從理論上人人都會(huì)講，但實(shí)際上真正做到卻很難.高三復(fù)習(xí)更是難以顧及學(xué)生的自主探究活動(dòng).有經(jīng)驗(yàn)的高三教師往往對(duì)教材有深入的研究，并能充分挖掘教材習(xí)題隱含的數(shù)學(xué)思想和思想方法，高三的習(xí)題課對(duì)知識(shí)、對(duì)習(xí)題的內(nèi)涵與延伸講得很透，自己將“題”說得很精彩，一堂習(xí)題課就似一個(gè)講座.這樣一來，課堂容量偏大，所“說”題目偏難，教學(xué)節(jié)奏偏快，不少學(xué)生在課堂上很難跟上教師的講解和步伐，只好“堤內(nèi)損失堤外補(bǔ)”，大量問題學(xué)生要課后再

18、消化，課堂的效果不言自明，無形之中還增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，打擊了學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣.美國(guó)教育家布魯巴克曾經(jīng)說過：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問題”.新課程背景下的課堂是活動(dòng)的課堂，是師生之間討論、合作交流的課堂，是民主的課堂，是教師充分相信學(xué)生、依靠學(xué)生、發(fā)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索的課堂，高三習(xí)題課更應(yīng)如此.本課例以教材不等式選講P41第1題為引題，通過教師的點(diǎn)撥，在學(xué)生充分思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說清題意，說出解題思路和解題過程，說問題的拓展和延伸，說出解題后的感想等.整個(gè)課堂柯西不等式為軸，以一個(gè)簡(jiǎn)單問題為引子，師生互動(dòng)“說題”，最后蛻化出一系列具有數(shù)學(xué)美的式子，學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)問題的獲得過程.筆者以為，高三習(xí)題課中的“說題”，主角應(yīng)該是學(xué)生，而不是老師，這樣也有利于暴露問題、了解問題癥結(jié)、發(fā)掘?qū)W生的各種想法，而且通過多種思想交鋒、撞擊，常常能夠激活數(shù)學(xué)思維，點(diǎn)燃智慧火花，催生解題能力，提高學(xué)習(xí)情趣. 四、結(jié)束語教學(xué)家杜威曾說：“教學(xué)絕對(duì)不僅僅是簡(jiǎn)單地告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.”數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)立足教材，著眼學(xué)生的發(fā)展，把握核心知識(shí)內(nèi)容，有效開展自主探究活動(dòng)，向?qū)W生展示的本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的逐步形成過程，真正使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下地再創(chuàng)造過