1、第二章第二章 重心和截面的幾何性質(zhì)重心和截面的幾何性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 重心重心 地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個(gè)地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個(gè)力稱為物體的重力。可將物體看作是由許多微小部分力稱為物體的重力?？蓪⑽矬w看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠(yuǎn)比力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠(yuǎn)比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空空間平行力系間平行力系。這些平行力系的。這些平行力系的合力合力就是物體的

2、就是物體的重力重力。由實(shí)驗(yàn)可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力由實(shí)驗(yàn)可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體的作用線始終是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)，稱為物體的重力的作用點(diǎn)，稱為物體的重心重心。一、一、 重心的概念重心的概念第一節(jié)第一節(jié) 重心重心為確定物體重心的位置，將它分割成為確定物體重心的位置，將它分割成n個(gè)微小個(gè)微小塊，各微小塊重力分別為塊，各微小塊重力分別為Gl、G2、Gn，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)分別為其作用點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1、Y1，、，、z1)、(X2、Y2、z2)(Xn，Yn、Zn)，各微小塊所受重力，各微小塊所受重力的

3、合力的合力W即為整個(gè)物體所受的重力即為整個(gè)物體所受的重力G Gi，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)為其作用點(diǎn)的坐標(biāo)為C(xc，yc、zc)。對(duì)。對(duì)y軸應(yīng)用軸應(yīng)用合力矩定理，有：合力矩定理，有： 二、一般物體重心的坐標(biāo)公式二、一般物體重心的坐標(biāo)公式GxGGxdGxiiGc第一節(jié)第一節(jié) 重心重心 同理，對(duì)同理，對(duì)y軸取矩可得：軸取矩可得： 將物體連同坐標(biāo)轉(zhuǎn)將物體連同坐標(biāo)轉(zhuǎn)90o而使坐標(biāo)面而使坐標(biāo)面oxz成為水成為水平面，再對(duì)平面，再對(duì)x軸應(yīng)用合力矩定理，可得：軸應(yīng)用合力矩定理，可得： 因此，一般物體的因此，一般物體的重心坐標(biāo)重心坐標(biāo)的公式為：的公式為： GyGGydGyiiGcGzGGzdGziiGcGxGxiic

4、GyGyiicGzGziic第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，經(jīng)常在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，經(jīng)常要用到與要用到與截面截面有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截面面積壓的橫截面面積A、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的抗扭截面系數(shù)、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的抗扭截面系數(shù)WP和極慣性矩和極慣性矩IP等都與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度有關(guān)。等都與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度有關(guān)。以后在彎曲等其他問題的計(jì)算中，還將遇到平以后在彎曲等其他問題的計(jì)算中，還將遇到平面圖形的另外一些如面圖形的另外一些如形心、靜矩、慣性矩形心、靜矩、慣性矩、抗抗彎截面系數(shù)彎截面系數(shù)等幾何量。這些與平面圖形形狀及等

5、幾何量。這些與平面圖形形狀及尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。幾何性質(zhì)。第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)二二. 靜矩的定義靜矩的定義AzdAySAydAzS：分別表示截面對(duì)z軸和y軸的靜矩(面積矩）。yzSS 、單位為 mm3 或 m3dAzdAy：微面積對(duì)：微面積對(duì)y軸的靜矩軸的靜矩：微面積對(duì)：微面積對(duì)z軸的靜矩軸的靜矩其值可正、可負(fù)、可為零第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)一一. 形心形心形心：圖形的幾何中心。形心：圖形的幾何中心。AzdAzAcAydAyAc第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)ASyZc ASzyc計(jì)算形心坐

6、標(biāo)的公式計(jì)算形心坐標(biāo)的公式1、若、若Sz=0yc=0 該軸通過形心軸通過形心2、若軸通過形心(形心軸）則靜矩為零則靜矩為零討論：討論：3、已知靜矩可求形心；已知形心和面積也可求靜矩、已知靜矩可求形心；已知形心和面積也可求靜矩三三. 形心與靜距的關(guān)系形心與靜距的關(guān)系第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)例：求圖示矩形的形心位置例：求圖示矩形的形心位置 AzdAyShhybbdyy0202 22bh AydAzSbbzhhdzx0202 22hb bhA 形心：形心：222hbhbhASyzc2bASzycb/2,h/21、求靜矩、求靜矩2、求形心、求形心第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何

7、性質(zhì)例：求圖示三角形對(duì)例：求圖示三角形對(duì)x軸的靜矩與其形心的軸的靜矩與其形心的y軸坐標(biāo)。軸坐標(biāo)。XYOdyybb（y）h解：解：1、求靜矩、求靜矩微面積大小：微面積大?。篸A=b(y)dy=b(h-y)/h微面積靜矩：微面積靜矩：dSz=b(y)dyy靜矩：靜矩：AzdSdyhyyb)(2dyhybydybhh02062bh2、求形心、求形心 y 軸坐標(biāo)軸坐標(biāo)ASyxc3hhydyhyb0)1 (第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單圖形：形心已知的圖形簡(jiǎn)單圖形：形心已知的圖形 簡(jiǎn)單圖形的靜矩直接用其面積與形心坐標(biāo)的乘積計(jì)算簡(jiǎn)單圖形的靜矩直接用其面積與形心坐標(biāo)的乘積計(jì)算討論討論b/2,

8、h/2對(duì)稱圖形的形心必在對(duì)稱軸上對(duì)稱圖形的形心必在對(duì)稱軸上第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)由幾個(gè)簡(jiǎn)單截面組合而成的截面由幾個(gè)簡(jiǎn)單截面組合而成的截面 組合截面組合截面組合截面（圖形）的靜矩和形心組合截面（圖形）的靜矩和形心上述截面形式常見于鋼結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)等上述截面形式常見于鋼結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)等工字鋼工字鋼槽鋼槽鋼角鋼角鋼 T形鋼梁形鋼梁箱形梁箱形梁鋼管鋼管也可視為簡(jiǎn)單圖形也可視為簡(jiǎn)單圖形第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)ASAyAyzniiniciic 11ASAzAzyniiniciic 11組合截面的靜矩：總靜矩為各簡(jiǎn)單截面的靜矩代數(shù)和。組合截面的靜矩：總靜矩為各簡(jiǎn)單截

9、面的靜矩代數(shù)和。znizizSS1形心位置：形心位置：*注意靜矩的正負(fù)號(hào)注意靜矩的正負(fù)號(hào)21AAAydAydA21AAydAydAzS21zzSSniciiyA1niicAy1第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)例：求圖示組合圖形的形心與靜矩例：求圖示組合圖形的形心與靜矩21zzzsss15303001zs)30135(502702zsmmASyzc1052227500135000zS32362500mm第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì). 慣慣 性性 矩矩 AzdAyI2 AydAzI2四、慣性矩和極慣性矩四、慣性矩和極慣性矩dAy 2微元對(duì)微元對(duì)Z軸的慣性矩軸的慣性矩量綱：量

10、綱：m4、mm4 I 0圖形對(duì)圖形對(duì)z軸的慣性矩軸的慣性矩圖形對(duì)圖形對(duì)y軸的慣性矩軸的慣性矩*是對(duì)某一根坐標(biāo)軸而言是對(duì)某一根坐標(biāo)軸而言第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) APdAI2 222zy yzPIII 2. 極慣極慣 性性 矩矩 dA2微面積對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩微面積對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)求矩形對(duì)形心軸求矩形對(duì)形心軸y、z的慣性矩的慣性矩取微段取微段dA=b dy12332/2/32/2/2bhybdybyIhhhhz 12332/2/32/2/2hbzhdzhzIbbbby AzdAyI2解：解：熟記熟記

11、3. 常見截面的慣性矩常見截面的慣性矩 矩形截面矩形截面 第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)微面積：微面積：AzdAyI2464zyDII解：解：熟記熟記圓形截面圓形截面 dAdAdd ddddD220220sin644Dsiny第二節(jié)第二節(jié) 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)取微薄圓環(huán)取微薄圓環(huán) dA=2 2 d 3242242042DdIDAP 6424DIIIPyz APdAI2 解：解：熟記熟記4.常見截面的極慣性矩常見截面的極慣性矩 圓形截面圓形截面 圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面 44(1)32PDIdDDd第三節(jié)第三節(jié) 平行移軸公式平行移軸公式AaIIzz21 AzdAyI22211()

12、zAAIydAya dA222AAAydAa ydAadAAaIz20.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)注意：注意：z、y為形心軸為形心軸平行移軸公式平行移軸公式AaIIzz 21AbIIyy 21計(jì)算公式計(jì)算公式2. 公式運(yùn)用公式運(yùn)用工字鋼工字鋼槽鋼槽鋼角鋼角鋼T形鋼梁形鋼梁組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 第三節(jié)第三節(jié) 平行移軸公式平行移軸公式第三節(jié)第三節(jié) 平行移軸公式平行移軸公式已知已知T型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心C點(diǎn)的位置，以及對(duì)形心軸的點(diǎn)的位置，以及對(duì)形心軸的慣性矩。慣性矩。 212211AAyAyAyccc02010yyyIII2004001206

13、00200200400460120600mm323301600120121yI302200400121yI)(1024347mm解：解：1、求形心軸、求形心軸2、求組合圖形對(duì)、求組合圖形對(duì)y0軸的慣性矩軸的慣性矩第三節(jié)第三節(jié) 平行移軸公式平行移軸公式已知已知T型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心C點(diǎn)的位置，以及對(duì)形心軸的點(diǎn)的位置，以及對(duì)形心軸的慣性矩。慣性矩。 02010zzzIII解：解：3、求組合圖形對(duì)、求組合圖形對(duì)zo軸的慣性矩軸的慣性矩600120)323460(1206001212301zI400200)200323(4002001212302zI)(105 .37147mm01z02z回回 顧顧 1、靜、靜 矩：矩： cAzyAdAyScAyzAdAzS2、形心位置：、形心位置： ASAyAyzniiniciic11ASAzAzyniiniciic114、極慣性矩：、極慣性矩： yzAPIIdAI 2 5、平行移軸定理：、平