1、線性代數(shù)線性代數(shù)第五章第五章 二次型二次型線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2正定二次型3二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1第五章 二次型線性代數(shù)線性代數(shù)1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形12二次型的概念及矩陣表示二次型的概念及矩陣表示線性變換線性變換3二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形線性代數(shù)線性代數(shù)1.1 二次型的概念及矩陣表示定義定義1 1 稱含有n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式 + + 為n元二次型，簡稱為二次型nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222,nnxxaxxaxa2232232222222nnnxajijiijniiiixxaxa212線性代數(shù)線性代數(shù)1.1 二次型的概念

2、及矩陣表示例例1 1 (1) 已知二次型 試寫出f的矩陣A，并求f的秩(2) 寫出矩陣 對(duì)應(yīng)的二次型3222312132132),(xxxxxxxxxxf012101210B線性代數(shù)線性代數(shù)1.1 二次型的概念及矩陣表示解 (1)所以對(duì)稱矩陣 由于R(A)=3，所以f的秩為3011a2112a2113a2121a222a2323a2131a2332a033a023212322121210A線性代數(shù)線性代數(shù)1.1 二次型的概念及矩陣表示(2) 令 ，由于所以 對(duì)應(yīng)的二次型為321xxxX323121242xxxxxxBXXT012101210B323121242xxxxxx線性代數(shù)線性代數(shù)1.2

3、 線性變換定義定義2 2 設(shè)兩組變量 和 ，關(guān)系式稱為由變量 到變量 的一個(gè)線性變量替換，簡稱線性變換矩陣 稱為線性變換的矩陣nxxx,21nyyy,21111 11221221 122221 122.nnnnnnnnnnyc xc xc xyc xc xc xyc xc xc xnxxx,21nyyy,21nnnnnncccccccccC212222111211線性代數(shù)線性代數(shù)1.2 線性變換定義定義3 3 設(shè)A，B為n階方陣，如果存在n階非奇異矩陣C，使得 ，則稱矩陣A與B合同矩陣合同的性質(zhì)矩陣合同的性質(zhì) 反身性反身性：對(duì)任意方陣A都有A與A合同； 對(duì)稱性對(duì)稱性：如果A與B合同，則B與A合

4、同； 傳遞性傳遞性：如果A與B合同，B與C合同，則A與C合同TC ACB線性代數(shù)線性代數(shù)1.3 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義定義4 4 如果二次型 ，經(jīng)過非退化線性變換X=CY化為定理定理1 1 對(duì)于任一個(gè)n元二次型 ，都存在正交變換X=PY，使得AXXxxxfTn),(21YYACYCYAXXxxxfTTTTn,21AXXfTAXXfT2222211nnydydyd線性代數(shù)線性代數(shù)2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形12配方法配方法初等變換法初等變換法34正交變換法正交變換法二次型的規(guī)范形二次型的規(guī)范形線性代數(shù)線性代數(shù)2.1 配方法1 1二次型中至少含有一個(gè)平方項(xiàng)二次型中至少含有一個(gè)平方項(xiàng)例例1 1化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形

5、，并求出所作的非退化線性變換解 先把所有含x1的項(xiàng)配成一個(gè)完全平方項(xiàng)，由),(321xxxf2221231 21 32 323444xxxx xx xx x),(321xxxf222123123234()4()4()xxx xxxxx322322432xxxx3223222321472)22(xxxxxxx線性代數(shù)線性代數(shù)2.1 配方法再把剩余的含x2項(xiàng)配成一個(gè)完全平方項(xiàng)，有線性變換X=CY，即 ，則原實(shí)二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形),(321xxxf222123233(22)2()5xxxxxx321321100110221yyyxxxAXXT22212325yyy線性代數(shù)線性代數(shù)2.1 配方法2.2

6、.二次型中不含平方項(xiàng)二次型中不含平方項(xiàng)例例2 2 用配方法化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線性變換解 ),(321xxxf1 21 32 3x xx xx x11221233xyyxyyxy22121 32fyyy y321321100111111zzzxxx線性代數(shù)線性代數(shù)2.2 初等變換法由于對(duì)任何實(shí)對(duì)稱陣都存在非奇異矩陣C，使 為對(duì)角陣C是可逆的，可將C表示為一系列初等矩陣的乘積.設(shè) ，所以 ，且 (1) (2)211 2TTTTssC ACPP P APPP1 21 2ssCPPPIPPPTC AC1 2sCPPP21TTTTsCPP P線性代數(shù)線性代數(shù)2.2 初等變換法用初等變

7、換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟為：(1)寫出二次型的矩陣A(2)在矩陣A的下面寫出單位矩陣E,構(gòu)成 階矩陣 (3)對(duì)矩陣 施行對(duì)稱初等變換，即每一步先對(duì)列進(jìn)行初等變換，然后對(duì)行施行同樣的初等變換（注：對(duì) 只施行相應(yīng)的列變換）(4)當(dāng)A變成對(duì)角陣 時(shí)，E就變成可逆矩陣C,即 nn2AEAEAEC線性代數(shù)線性代數(shù)2.2 初等變換法例例3 3 用初等變換法化二次型 = 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出相應(yīng)的非退化線性變換解 二次型 的矩陣 ),(321xxxf323121222xxxxxx323121222xxxxxx011101110A12112122311212120111112122001011011011011

8、02102102021001001001101011011011001001001001CCCCrrCCAE121231121212200000021111001rrrr12121111001C線性代數(shù)線性代數(shù)2.2 初等變換法令 原二次型 化為 11121222331111001xyxyxy323121222xxxxxx2322212212yyy線性代數(shù)線性代數(shù)2.3 正交變換法對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，可以利用正交矩陣將其對(duì)角化由于實(shí)二次型的矩陣是實(shí)對(duì)稱陣，因此可用正交矩陣將其化為對(duì)角陣，這種變換稱為正交變換具體地說，用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟為：(1) 由 ，求A的n個(gè)特征值 ；(2) 對(duì)

9、，求A的關(guān)于 的線性無關(guān)的特征向量 （ ）；0EAn,21iini, 2 , 1線性代數(shù)線性代數(shù)2.3 正交變換法(3) 對(duì)k（k1）重特征值 ，用施密特正交化方法，將其k個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化；(4) 將所求的A的n個(gè)正交的特征向量單位化；(5) 以A的正交單位化后的特征向量為列向量構(gòu)成正交矩陣C，并寫出相應(yīng)的正交變換X=CY和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形i線性代數(shù)線性代數(shù)2.3 正交變換法例例4 4求一正交變換X=CY，化二次型 = 為標(biāo)準(zhǔn)形解 二次型的矩陣為：),(321xxxf323121xxxxxx021212102121210A11136211111223261332330 xyxyxy23

10、22212121yyy線性代數(shù)線性代數(shù)2.3 正交變換法注意：注意：用正交變換化二次型時(shí)，得到的標(biāo)準(zhǔn)形并不唯一，這與施行的正交變換或者說與用到的正交矩陣有關(guān)但由于標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)只能是 的特征值，若不計(jì)它們的次序，則標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的線性代數(shù)線性代數(shù)2.4 二次型的規(guī)范形例例5 5 對(duì)于三元標(biāo)準(zhǔn)二次型 ，經(jīng)過非退化線性變換 ， ， 必可變?yōu)?用矩陣表示為這是一種最簡單的標(biāo)準(zhǔn)形，它只含變量的平方項(xiàng)，而且其系數(shù)是1,-1和0232221032yyyf112yz 223yz 33yz 2221zzf0000100011000000000030002100000031213121線性代數(shù)線性代數(shù)2.4

11、 二次型的規(guī)范形 定義定義1 1所有平方項(xiàng)的系數(shù)均為1,-1或0的標(biāo)準(zhǔn)二次型稱為規(guī)范二次型由二次型化得的規(guī)范二次型，簡稱為二次型的規(guī)范形定理定理1 1（慣性定理）（慣性定理）任意一個(gè)n元二次型 ，一定可以經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范形AXXfT221221rppzzzzf線性代數(shù)線性代數(shù)2.4 二次型的規(guī)范形慣性定理的矩陣表述形式慣性定理的矩陣表述形式對(duì)于任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在n階可逆陣C，使得0kTr kEC ACE線性代數(shù)線性代數(shù)2.4 二次型的規(guī)范形定義定義2 2規(guī)范形中的p稱為二次型 （或?qū)ΨQ矩陣A）的正慣性指數(shù)，q=r-p稱為負(fù)慣性指數(shù)，p-q=2p-r稱為符號(hào)差定理定理2

12、 2實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)AXXfT線性代數(shù)線性代數(shù)3 正定二次型12正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型的判定正定二次型的判定線性代數(shù)線性代數(shù)3.1 正定二次型與正定矩陣定義定義1 1 二次型 稱為正定二次型，如果當(dāng) 不全為0時(shí)，一定有 如果實(shí)對(duì)稱矩陣A所確定的二次型正定，則稱A為正定矩陣于是A為正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有 nxxxf,21nxxx,210,21nxxxf0X0AXXT線性代數(shù)線性代數(shù)3.1 正定二次型與正定矩陣定義定義2 2 二次型 稱為半正定二次型，如果當(dāng) 不全為0時(shí)，一定有 如果實(shí)對(duì)稱矩陣A所確定的二次型半正定，則稱A為

13、半正定矩陣nxxxf,21nxxx,210,21nxxxf線性代數(shù)線性代數(shù)3.1 正定二次型與正定矩陣?yán)?）二次型 是正定二次型，對(duì)應(yīng)的正定矩陣 ；（2）二次型 是半正定二次型，對(duì)應(yīng)的半正定矩陣 ；（3）二次型 為負(fù)定二次型，對(duì)應(yīng)的負(fù)定矩陣 ；232221321),(xxxxxxf3AE2221321),(xxxxxf000010001A222123123(,)f x xxxxx 3AE 線性代數(shù)線性代數(shù)3.1 正定二次型與正定矩陣（4）二次型 為半負(fù)定二次型，對(duì)應(yīng)的半負(fù)定矩陣 ；（5）二次型 為不定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣 為不定矩陣.2221321),(xxxxxf000010001A222

14、1321),(xxxxxf000010001A線性代數(shù)線性代數(shù)3.1 正定二次型與正定矩陣?yán)? 2 如果A,B都是n階正定矩陣，證明A+B也是正定矩陣證明 因?yàn)锳,B為正定矩陣，所以 為正定二次型，且對(duì) ,有 ， 因此對(duì) ， ，于是 必為正定二次型，從而A+B為正定矩陣BXXAXXTT,0X0AXXT0BXXT0X0BXXTXBAXT線性代數(shù)線性代數(shù)3.2 正定二次型的判定定理定理1 1n元二次型 = 是正定二次型的充要條件是其矩陣A的n個(gè)特征值全大于零推論推論1 1 n元二次型 = 是正定二次型的充要條件是其規(guī)范形為推論推論2 2n元二次型 = 是正定二次型的充要條件是其矩陣A合同于單位矩

15、陣，即存在可逆矩C，使得 推論推論3 3 n元二次型 = 是正定二次型的充要條件是其正慣性指數(shù)為nnxxxf,21AXXTnxxxf,21AXXT22221nzzznxxxf,21AXXTCCATnxxxf,21AXXT線性代數(shù)線性代數(shù)3.2 正定二次型的判定方法一方法一 配方法配方法例例3 3 判斷二次型 是否是正定二次型解 用配方法得到所以 的正慣性指數(shù)等于2，從而可知 不是正定二次型2332222121321422),(xxxxxxxxxxf2332222121321422),(xxxxxxxxxxf232322213)2()(xxxxx2322213213),(yyyxxxf),(32

16、1xxxf),(321xxxf線性代數(shù)線性代數(shù)3.2 正定二次型的判定方法二方法二 特征值法特征值法例例4 4 判斷二次型 是否是正定二次型解 的矩陣因?yàn)?，所以 不是正定二次型 2332222121321422),(xxxxxxxxxxf),(321xxxf120221011A11221322213303),(321xxxf線性代數(shù)線性代數(shù)3.2 正定二次型的判定方法三方法三 順序主子式法順序主子式法定義定義4 4 設(shè)矩陣 為一個(gè)n階方陣，則稱k階行列式為矩陣A的k階順序主子式（ ）定理定理2 2 n元二次型 = 是正定二次型的充要條件是其矩陣A的各階順序主子式都大于零nnijaA)(kkkkkkaaaaaaaaa212222111211nk 1nxxxf,21AXXT線性代數(shù)線性代數(shù)3.2