1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、二次曲面四、二次曲面第四單元 向量代數(shù)與空間解析幾何一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面4.2 曲面與曲線方程 五、空間曲線的一般方程五、空間曲線的一般方程六、空間曲線的參數(shù)方程六、空間曲線的參數(shù)方程 七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐

2、標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1. 0),(zyxF如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程 求曲面方程.

3、(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). SzyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡MOxyz0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M可見此方程表示一個(gè)球面說明說明: :如下形式的三元二次方程 ( A

4、 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個(gè)球面球面, 或點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2. . 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立yOz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yOz 面上曲線 C:

5、), 0(111zyM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfOzyxC),(zyxM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考：思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？0),(:zyfCOyxz0),(22zxyf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yOz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令兩邊平方L), 0(zyM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzOxyzO例例4. 求坐標(biāo)面 xOz 上的雙曲線12222c

6、zax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為xyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在 xOy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿圓周C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222Ryx過此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面C在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM

7、點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OxyzxyzOxyz定義定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xOy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.Ol目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xOz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xOy 面上的曲線 l

8、1.母線準(zhǔn)線 yOz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1lOOO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面二次曲面. 222AxByCzDxyEyzFzx0JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxO1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：

9、czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222( p , q 同號(hào))zyxOzyxO特別

10、,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy ),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: zxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy 相交直線: 雙曲線: 0zxyOzxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 雙葉

11、雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 圖形圖形Ozxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)xyzO目錄 上頁 下

12、頁 返回 結(jié)束 五、空間曲線的一般方程五、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1OC2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazzyxaOCC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxO六、空間曲線的參數(shù)方程六、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x, y, z表示成參數(shù) t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線vbt,令bzaya

13、xsincos,2 時(shí)當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz M目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求空間曲線 :)(tx)(ty)(tz)( t繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面

14、方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點(diǎn)點(diǎn) M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn) , ),(zyxM則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 直線1xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyxxzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如又如, xOz 面上的半圓周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz

15、)0(200說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去 z 得投影柱面則C在xOy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲線方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx1OC例如例如, ,在xOy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy1又如又如, ,所圍的立體在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xOy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xOy 面上的投影曲線所圍之域 .CO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),