1、第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換一、正余弦信號的一、正余弦信號的FTFT 0000jj0jj01cos(ee)21sin(ee)2 jtttttt 12() 00j0j01 e2()1 e2()tt )()(cos000t)()(sin000 jt第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換te0jt0cost0sin 頻率為頻率為0 ，頻譜，頻譜為為0 處的沖激處的沖激 頻率為頻率為0 ，頻，頻譜是譜是0 處的沖處的沖激激 傅立葉變換得到的是雙邊密度譜，必須是在頻率軸上對稱的兩傅立葉變換得到的是雙邊密度譜，必須是在頻率軸上對稱的兩個頻率才能合成一個物理上的頻率分量。個

2、頻率才能合成一個物理上的頻率分量。物理含義：物理含義：類似于直流信號，都是只含某一個頻率的頻率分量，類似于直流信號，都是只含某一個頻率的頻率分量，所以它們的密度頻譜都是沖激函數(shù)。所以它們的密度頻譜都是沖激函數(shù)。注意：注意：第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換tjnnnTet11)(二、一般周期信號的二、一般周期信號的FT沖激串的FS)(211netjn12/2/11)(11111TdtetTTTtjnTnFT的線性性)()()(11111nTntF( (周期為周期為T T1 1) )1、周期單位沖激序列的、周期單位沖激序列的FT第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換設

3、周期為設周期為T T1 1的周期信號在第一個周期內的函數(shù)為的周期信號在第一個周期內的函數(shù)為f f0 0(t)(t)nnTtftf)()(10nnTttf)(*)(10nnTttf)()(10)()(10ttfT于是于是nTonFtFtfFF)()()()()(1101nnnF)()(1101FTf0(t)利用沖激函數(shù)利用沖激函數(shù)的篩選特性的篩選特性2、一般周期信號的、一般周期信號的FT第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換ntnneFtf0j)(02T22j -0)(1TTtnndtetfTFnnntnnnFeFtf)(2)(0j0)(1)(2101101nFTnFFn三、傅立葉系

4、數(shù)與傅立葉變換的關系三、傅立葉系數(shù)與傅立葉變換的關系 第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換 TnttnT( )()T 20 ntnnTeFt0j)(TdtetTdtetTFTTtnTTtnTn1)(1)(122j -22j -00ntnTeTt0j1)(因此有因此有第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換nnTnnTt)()(12)(000第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換例：例：解：解： )2(Sa)()(00 Ftf)2(Sa)2(Sa1)(10000nTnTFTFnnntnntnnTenTeFtf00j0j)2(Sa)(第二章第二章 連續(xù)時間付里葉

5、變換連續(xù)時間付里葉變換nnTnnnnTtf)()2(Sa)()2(Sa2)(00000第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換關系圖 f0 (t) F0() E E -/2 0 /2 t 0 2/ FnE/ T1f (t) 0 2/ F()E /1 -T1 -/2 0 /2 T1 t 0 2/ FTFSFT第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換信號信號抽樣抽樣也稱為也稱為取樣取樣或或采樣采樣，是利用抽樣脈沖序列，是利用抽樣脈沖序列 p (t) 從連續(xù)信號從連續(xù)信號 f (t) 中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的離散樣值信號中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的

6、離散樣值信號稱為稱為抽樣信號抽樣信號，用，用 fs (t) 表示。表示。2.8 抽樣信號的抽樣信號的FT及抽樣定理及抽樣定理第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換抽樣的原理方框圖抽樣的原理方框圖:連續(xù)信號經抽樣后變成抽樣信號，往往還需要再經量連續(xù)信號經抽樣后變成抽樣信號，往往還需要再經量化、編碼等步驟變成數(shù)字信號。這種數(shù)字信號經傳輸、化、編碼等步驟變成數(shù)字信號。這種數(shù)字信號經傳輸、處理等步驟后，再經過上述過程的逆過程就可恢復原處理等步驟后，再經過上述過程的逆過程就可恢復原連續(xù)信號。連續(xù)信號。周期周期信號信號需要解決兩個問題：需要解決兩個問題：1.抽樣信號抽樣信號 fs (t)的頻譜

7、的頻譜Fs()與原連續(xù)信號與原連續(xù)信號 f (t)的頻譜的頻譜F()的的關系關系；2. 在什么條件下可從抽樣信號在什么條件下可從抽樣信號 fs (t)中中無失真地恢復原連續(xù)信號無失真地恢復原連續(xù)信號 f (t) 。第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換假設原連續(xù)信號假設原連續(xù)信號 f (t)的頻譜為的頻譜為 F()，即，即抽樣脈沖抽樣脈沖 p (t) 是一個周期信號，它的頻譜為是一個周期信號，它的頻譜為( )( )f tF( )( )2()sjntnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2 ( ( )()(snsnssnnf tf tp t

8、FPFFPnPnF 所以抽樣信號的頻譜為所以抽樣信號的頻譜為其中，其中， 為為抽樣角頻率抽樣角頻率， 為為抽樣間隔抽樣間隔 ， 為為抽樣頻率抽樣頻率， 在時域抽樣（離散化）相當于頻域周期化在時域抽樣（離散化）相當于頻域周期化頻譜是原連續(xù)信號的頻頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以抽樣角頻率為間隔譜以抽樣角頻率為間隔周期地延拓，頻譜幅度周期地延拓，頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅立受抽樣脈沖序列的傅立葉系數(shù)加權。葉系數(shù)加權。第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換(1) 沖激抽樣沖激抽樣若抽樣脈沖是沖激序列，則這種抽樣稱為若抽樣脈沖是沖激序列，則這種抽樣稱為沖激抽樣沖激抽樣或或理想抽樣理想抽樣。sss(

9、 )()()np ttnTn ( )( )( )() ()sssnf tf tp tf nTtnT沖激序列的傅立葉系數(shù)為沖激序列的傅立葉系數(shù)為所以沖激抽樣信號的頻譜為所以沖激抽樣信號的頻譜為 sTTtnsnTttTPsss1de )(122j -T11( )( )( ) ()2ssnsFFFnT抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 是以是以 s 為周期等為周期等幅地重復幅地重復第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換頻譜圖：頻譜圖：第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換(2) 周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣若抽樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種抽樣稱為若抽樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種

10、抽樣稱為周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣。也稱。也稱為為自然抽樣自然抽樣( )()snp tG tnT( )( )( )( )()ssnf tf tp tf t G tnT在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號頻譜也是周期重復，但在重復過程中，在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號頻譜也是周期重復，但在重復過程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)，而是受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù) 的加權。的加權。)2(SassnnTEP ( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為則抽樣信號的頻譜為則抽樣信號的頻譜為 第二章第二章

11、 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換幅度不再是等幅，幅度不再是等幅，受到周期矩形脈沖受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)信號的傅立葉系數(shù) 的加權的加權第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換 如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號，以及在什么條件下才可以無失如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號，以及在什么條件下才可以無失真地由抽樣信號恢復原連續(xù)信號。著名的抽樣定理對此作了明確而精真地由抽樣信號恢復原連續(xù)信號。著名的抽樣定理對此作了明確而精辟的回答。辟的回答。 抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號處理等方面占有十抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號處理等方面占有十分重要的地位，該定理在連續(xù)

12、時間信號與系統(tǒng)和離散時間信號與系統(tǒng)、分重要的地位，該定理在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)和離散時間信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么數(shù)字信號與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么可以用數(shù)字信號處理手段解決連續(xù)時間信號與系統(tǒng)問題?？梢杂脭?shù)字信號處理手段解決連續(xù)時間信號與系統(tǒng)問題。二、時域抽樣定理二、時域抽樣定理 第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換時域抽樣定理：時域抽樣定理：一個頻譜受限的信號一個頻譜受限的信號 f (t) ，如果頻譜只占據(jù)，如果頻譜只占據(jù) 的范圍，則信號的范圍，則信號 f (t)可以用等間隔的抽樣值可以用等間隔的抽樣值 唯一

13、地表示，只要抽唯一地表示，只要抽樣間隔樣間隔 不大于不大于 ，其中，其中 為信號的最高頻率，為信號的最高頻率，或者說，抽樣頻率或者說，抽樣頻率 滿足條件滿足條件通常把滿足抽樣定理要求的最低抽樣頻率通常把滿足抽樣定理要求的最低抽樣頻率 稱為稱為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率，把最大允許的抽樣間隔把最大允許的抽樣間隔 稱為稱為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔 。mm,()sf nTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換時域抽樣定理的圖解時域抽樣定理的圖解：假定信號：假定信號 f (t)的頻譜只占據(jù)的頻譜只占據(jù) 的范圍，的范圍，若以間隔若以間隔

14、 對對 f (t)進行抽樣，抽樣信號進行抽樣，抽樣信號 fs (t)的頻譜的頻譜 FS() 是以是以 S 為為周期重復，在此情況下，只有滿足條件周期重復，在此情況下，只有滿足條件 各頻移的頻譜才不會各頻移的頻譜才不會相互重疊。這樣，抽樣信號相互重疊。這樣，抽樣信號 fs (t) 保留了原連續(xù)信號保留了原連續(xù)信號f (t)的全部信息，完的全部信息，完全可以用全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者說，或者說， f (t)完全可以由恢復出完全可以由恢復出 fs (t) 。(,)mmsTms2如果如果 ，那么原連續(xù)信號頻譜在周期重復過程中，各頻移的頻，那么原連續(xù)信號頻譜在周期

15、重復過程中，各頻移的頻譜將相互重疊，就不能從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號。頻譜重疊的這種譜將相互重疊，就不能從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號。頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。ms2第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 連續(xù)信號的頻譜(b) 高抽樣速率時抽樣信號的頻譜(c) 低抽樣速率時抽樣信號的頻譜及頻譜混疊000000tttsss第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換 在滿足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為在滿足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為 的理想低通

16、濾的理想低通濾波器，即可從抽樣信號波器，即可從抽樣信號 fs(t) 中中無失真無失真恢復原連續(xù)信號恢復原連續(xù)信號 f (t) 。三、連續(xù)時間信號的重建三、連續(xù)時間信號的重建 mc第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換因為因為所以，選理想低通濾波器的頻率特性為所以，選理想低通濾波器的頻率特性為若選定若選定 ，則有，則有理想低通濾波器的沖激響應為理想低通濾波器的沖激響應為若選若選 ，則，則而沖激抽樣信號為而沖激抽樣信號為1( )()ssnsFFnT 0 )(sCCTHsmcm( )( )( )sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2( )( )( )( ) ()() ()ss

17、ssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換則連續(xù)低通濾波器的輸出信號為則連續(xù)低通濾波器的輸出信號為說明：說明： （1）信號可以展開成抽樣函數(shù)的無窮級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值；信號可以展開成抽樣函數(shù)的無窮級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值； （2）若在抽樣信號的每個樣點處，畫出一個峰值為若在抽樣信號的每個樣點處，畫出一個峰值為 的的Sa函數(shù)波函數(shù)波形，那么其合成信號就是原連續(xù)信號；形，那么其合成信號就是原連續(xù)信號；結論：結論：只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號。只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號。( )( )() ()()()(

18、 )(CssssCsCnnsf th tf nTtnTTSf tf natT SatnT()sf nT第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換注意：注意：在實際工程中要做到完全不失真地恢復原連續(xù)信號是不可能的。在實際工程中要做到完全不失真地恢復原連續(xù)信號是不可能的。原因原因解決方法解決方法有限時間內存在的信號，有限時間內存在的信號，其頻譜理論上是無限寬的其頻譜理論上是無限寬的在信號被抽樣之前，首先通過低在信號被抽樣之前，首先通過低通濾波器（稱為防混疊低通濾波通濾波器（稱為防混疊低通濾波器）器）理想低通濾波器無法實現(xiàn)理想低通濾波器無法實現(xiàn)逼近理想低通濾波器的特性逼近理想低通濾波器的特性

19、實際中的抽樣一般是實際中的抽樣一般是平頂?shù)木匦蚊}沖抽樣平頂?shù)木匦蚊}沖抽樣在用低通濾波器之前，加一個頻在用低通濾波器之前，加一個頻率響應為率響應為 1/P(1/P() )的補償?shù)屯V的補償?shù)屯V波器波器第二章第二章 連續(xù)時間付里葉變換連續(xù)時間付里葉變換假設連續(xù)頻譜函數(shù)為假設連續(xù)頻譜函數(shù)為F() ，抽樣頻譜函數(shù)為，抽樣頻譜函數(shù)為FS() ,即在頻域抽樣有即在頻域抽樣有假設假設 FS() 對應的時間信號為對應的時間信號為 fs (t) ，則有，則有 四、頻域抽樣與頻域抽樣定理四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 ( )( ) ()() ()ssssnnFFnF nn 1( )()ssnsf tf tnT說明：說明：信號在頻率域抽樣（離散化）等效于在時間域周期化。信號在頻率域抽樣（離散化）等效于在時間域周期化。頻域抽樣定理頻域抽樣定理：頻域抽樣定理表明，一個時間受限的信號：頻域抽樣定理表明，一個時間受限的信號 f (t) ，如果時，如果時間只占據(jù)間只占據(jù)