1、解析幾何中過定點問題探究數(shù)學組 馮立華 2015年10月一、直線過定點問題 在直線方程中有一類含有一個參數(shù)，且該參數(shù)影響到直線的斜率，則要考慮直線過定點。一般有以下方式求出定點：1.點斜式法： 注意：將直線方程化成的形式，則定點坐標為.例1：已知直線（為常數(shù)，為參數(shù)），不論取何值，直線總過定點 2. 分離系數(shù)法： 注意：若已知方程是含有一個參數(shù)的直線系方程，則我們可以把系數(shù)中的分離出來，化為的形式.由解出和的值，即得定點坐標.例2：無論取何實數(shù)，直線恒過定點，此定點坐標為 3.特殊值法：注意：取參數(shù)的兩個特殊值可得兩條直線的方程，求出它們的交點后，在驗證交點坐標也適合所給直線方程.例3：無論取

2、何實值，所表示的直線恒過一定點，此定點坐標為 二、有關(guān)圓錐曲線中的直線過定點問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)；二是直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點。例1： 設(shè)A、B是拋物線（p0）上的兩點，且OAOB，求證：（1）A、B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個定點。證明：（1）設(shè)A（）、B（），則，。=，為定值，也為定值。（2），直線AB的方程為：，直線AB過定點（2p，0）。CxyOFBA圖2例2：設(shè)拋物線（p0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BCx軸，證明：直線

3、AC經(jīng)過原點。方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，又，即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點O。當k不存在時，ABx軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點N，則，由拋物線的定義知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.點評：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標法，借助代數(shù)推理進行，又可采用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的方法進行推理。解題思路寬，而且?guī)缀畏椒ㄝ^之解析法比較快捷便當，從審題與思維深度上看，幾何法的采用，源于思維的深刻性。練習：已知橢圓上的兩個動點及定點 ，為橢圓的左焦點，且，成等差數(shù)列.求證：線段的垂直平分

4、線經(jīng)過一個定點；設(shè)點關(guān)于原點的對稱點是，求的最小值及相應的點坐標.補充：一種神奇的解法與高考試卷解析幾何中的求過定點問題高考試卷解析幾何中的求過定點或定值問題是高考重點考查內(nèi)容，如2013年高考有陜西T20江西T20等。解析幾何的難點之一是運算量往往非常大，而且這個難點很不容易突破，是廣大考生非常糾結(jié)的問題，本文給出一個神奇的方法，能非常簡單解決這一類問題。神奇之處有兩點：（1）運算量少（從而出錯機會少）。（2）聯(lián)立方程不是消元，而化為齊次式（親，估計您從未見識過）。yxOAB一、引理：過原點兩直線與二次曲線一條直線與一個二次曲線交于兩點AB,如圖；設(shè)直線AB方程為 曲線方程為=0 （說明：此

5、二次曲線甚至可以是“傾斜”的橢圓、雙曲線、拋物線，若傾斜必含有項，即）將化為, 化為 將代入（目的使將中所有項化為二次齊次式）得：顯然是一個二次齊次式，且一定可化為即： 。中的幾何意義為A、B兩點（即AB直線與曲線的交點）與原點連線的斜率，即OA、OB的斜率，設(shè)為 。 由韋達定理知 從而，能通過最初的二次曲線和直線AB相交，得出OA、OB的性質(zhì)。倒過來，我們也可以通過OA和OB的性質(zhì)與二次曲線得出直線AB的性質(zhì)。下面談一談的這個引理的應用，先從簡單的例1開始，因為簡單的問題往往蘊含了最基本的方法。二、應用舉例 例1.拋物線,過原點的兩條垂直的直線OA，OB交拋物線于A、B。求證：直線AB過軸上

6、一定點。分析：知道OA與OB的一個性質(zhì)：垂直，從而可以從它得出AB的性質(zhì)，進而得出定點。 解：設(shè)AB：( 顯然AB不能橫著） 拋物線： 化為代入（目的化為二次齊次式）得 即 可化為 其中 又（因OA與OB垂直）， AB恒過點（2p 0) 說明：沒有必要求出B值，因為目標與B值無關(guān)，從而減少了運算量！ 下面的這個例子是過一點引兩直線，但此點不在原點的。怎么辦呢。移軸！使該點為原點，請看以下“分解”。例2。點p(，)是拋物線上任意一定點，PA，PB是拋物線的兩條互相垂直的弦，求證：AB過定點。分析：注意到PAPB,但可惜P不在原點，我們可以通過平移坐標軸，強行將其平移到原點，化為過原點的兩直線與二

7、次曲線相交問題。 解：平移坐標系，使P 為原點，則點P點O拋物線舊坐標系新坐標系在新坐標系下，設(shè)AB: 拋物線可化為 （注意常數(shù)項肯定為0，因為拋物線過原點P，故沒有必要計算常數(shù)項）把化為代入得可化為 其中，。AB：，即直線 AB在新坐標系過點在原坐標系過點。說明：此題是例1的推廣。此題若用常規(guī)法，運算量很大。略解如下：設(shè)直線AB：代入拋物線方程得：整理得：，設(shè)A、B兩點坐標分別為，則 ，又 整理得: （親，這一步寫出容易，算出來還真不容易?。〢B： 小結(jié)以上例題：過“原點”兩直線與二次曲線相交問題，不管此點是真原點，還是假原點，都可化為過原點的兩直線，（假原點就強行平移坐標系）。注意此時點的

8、坐標與曲線的方程都會發(fā)生改變！其實質(zhì)是平移公式。如例2 舊P，新P，所以移軸公式為 其中為新坐標，與之對應的為同一點的舊坐標，所以O(shè)新坐標為。拋物線 即直線AB在新系下過點，則在舊系下過點。下面我們用這個神奇的方法，小試牛刀地解高考壓軸題。三、解析高考例3。（2013年高考江西卷理20）如圖,橢圓經(jīng)過點離心率,直線的方程為.(1)求橢圓的方程;(2)是經(jīng)過右焦點的任一弦(不經(jīng)過點),設(shè)直線與直線相交于點,記的斜率分別為問:是否存在常數(shù),使得?若存在求的值;若不存在,說明理由.解析:(1)略：橢圓的方程為. (2)：平移坐標系，使點P為原點,則點P點O直線橢圓點F舊坐標系X=4新坐標系X=3設(shè)在

9、新系下，AB： （顯然直線AB不可能豎著），可化為 橢圓方程可化為：把代入，化為齊次式: 上式可化為： 即 又直線AB過點F, 注意到移軸過程中，所有直線的斜率的值不變！其中，.易求故，故存在常數(shù) 使得恒成立。例4。（2013年高考陜西卷（理）已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. () 求動圓圓心的軌跡C的方程; () 已知點B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. ()略，()分析：軸為平分線.故可聯(lián)想用過“原點”的兩直線解決此問題。解析：平移坐標系，使點B為原點，則點B點O拋物線舊坐標系新坐標系

10、在新坐標系下，設(shè)PQ；（顯然AB不能橫著，故設(shè)成這種形式）可化為： 代入 （目的是化為齊次式）可化為:其中A=, 軸為平分線，即B=0從而PQ恒過點（2，0），在原坐標系下恒過點（1，0）。說明：此種解法還得出，直線l 例5。（2012高考真題重慶理20） 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段 的中點分別為，且 是面積為4的直角三角形.求該橢圓的離心率和標準方程；（）過 做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程解析：（）離心率為，橢圓的標準方程為（）平移坐標系使點為原點，則點點0點 橢圓舊坐標系（2，0）（0，0）（-2，0）新坐標系（0，0）（-2，0）（-4，0）設(shè)直線PQ方程為 可化為了 橢圓方程可化為 把代入到得：上式可化為 其中又PQ直線過點，故, 所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為總結(jié)：設(shè)直線AB方程為或，即使AB過定點也是如此，這樣的好處是把直線方程代入二次曲線方程的解法具有一般性，避免具體問題具體分析，增加問題的多樣性，如例3、例5。移軸過程中抓住新原點的新舊坐標關(guān)系，是坐標變換的關(guān)鍵所在如例5