1、現(xiàn)金流五函數(shù)（rate，nepr，pmt，pv，fv，type）   BodieMerton_02 現(xiàn)金流五函數(shù)（rate，nepr，pmt，pv，fv，type） （由于本篇內(nèi)容中用到了excel函數(shù)，可以隨時(shí)看篇尾的“函數(shù)介紹章”） 1. 現(xiàn)金流時(shí)間軸下圖為“現(xiàn)金流時(shí)間軸”。負(fù)數(shù)表示你投入資金（現(xiàn)金從你口袋里流出），正數(shù)則表示是你收到（取出）一定量的資金（現(xiàn)金流入你的口袋）。上圖例子中，在0時(shí)間上，你投入100元，在第一期期末取出（收到）20元，在第二期期末取出50元，在第三期期末取出60元。 假設(shè)你1年后需要1000美

2、元，兩年后需要另外2000美元的資金，如果年利率是10%，你現(xiàn)在要存入多少錢進(jìn)銀行，才能達(dá)到你的需要？在該例中，我們需要計(jì)算這兩筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值。如下圖所示。  你現(xiàn)在面臨兩個(gè)投資選擇： PVINFVx項(xiàng)目2500 期限一共兩年，第1年后它將支付你1000美元，第2年后再付你2000美元。 存銀行250010%  第一個(gè)選擇實(shí)際上就是和上圖的例子是一樣的，其未來(lái)帶給你的所有現(xiàn)金流的現(xiàn)值，是2562美元。而你現(xiàn)在只要投入2500美元就行了。因此，其凈現(xiàn)值NPV=你收到的現(xiàn)金流的現(xiàn)值2562-你投入的現(xiàn)金流的現(xiàn)值2500=62美元

3、。是正的。  2.年金在許多情況下，儲(chǔ)蓄計(jì)劃、投資項(xiàng)目或貸款償付所產(chǎn)生的未來(lái)現(xiàn)金流每年都是一樣的。我們把這一系列均等的現(xiàn)金流或付款，稱為“年金”?！澳杲稹币辉~，可用于任何等額的現(xiàn)金流。因此，分期償付貸款或抵押貸款所形成的付款，都可稱為“年金”。即時(shí)年金（先付年金）：收、付時(shí)點(diǎn)在每一期的期初。比如，每年年初存入銀行50 000元，2年年末全部提取本息。這里的50 000元，就是先付年金。普通年金（后付年金）：收、付時(shí)點(diǎn)在每一期的期末。比如，每年年末存入銀行50 000元，2年年末全部提取本息。這里的50 000元，就是普通年金。 你打算在未來(lái)3年中每年儲(chǔ)蓄100美元

4、，如果年利率為10%，3年后你能積蓄多少錢？由于你是在年初存，所以這是一個(gè)即時(shí)年金。FV=(100*1.13)+(100*1.12)+(100*1.1)=100*(1.1+1.12+1.13)式子中，與100美元相乘的因子（括號(hào)中的數(shù)），是每年存入1美元、連續(xù)3年的終值。一些表格會(huì)提供各種利率和期限下的年金終值因子。 計(jì)算器上，用PMT(付款的簡(jiǎn)寫)來(lái)表示“定期資金”（也就是上例中的每年儲(chǔ)蓄（現(xiàn)金流出）100美元）：PVniPMTFV結(jié)果03年10%100？FV=364.1（為什么PV=0？詳見(jiàn)本篇篇尾“復(fù)習(xí)章”） 在計(jì)算年金終值的時(shí)候，我們必須弄清它是普通年金還是上例一樣

5、的即時(shí)年金。如果是“普通年金”，那么最初的100美元應(yīng)是在第一年年末投入的。如上圖所示，在這兩種不同的情況下，雖然付款額（投入額、或現(xiàn)金流出額）相同，但“即時(shí)年金”的（各期）每一筆付款（投入），比“普通年金”都要多獲得1年的利息。普通年金的FV=100*(1+1.1+1.12)=331美元即時(shí)年金的FV=100*(1.1+1.12+1.13)=100*(1+1.1+1.12)*1.1=364.1美元所以：即時(shí)年金的終值=普通年金的終值*(1+i)。 普通年金的每年1美元年金的終值與現(xiàn)值公式：求每年1美元普通年金的終值FV公式：FV=(1+i)n-1/i（原書沒(méi)有推導(dǎo)過(guò)程） 

6、求每年1美元普通年金的現(xiàn)值PV公式：計(jì)算每期1美元、連續(xù)n期、利率為i的普通年金現(xiàn)值的公式為：PV=1-(1+i)-n/i 例如，為了在今后3年中每年能獲得100美元，以年利率為10%計(jì)算，你現(xiàn)在需要投入多少資金？答案就是這3年現(xiàn)金流的現(xiàn)值。PV=(100/1.1)+(100/1.12)+(100/1.13)  =100*(1/1.1)+(1/1.12)+(1/1.13)=248.69美元。 中括號(hào)里的就是參數(shù)i=10%,n=3,pmt=1美元，的普通年金的因子。與100相乘的因子，是1美元的普通年金以年利率10%計(jì)算的3年期的現(xiàn)值。 PVni

7、PMTFV結(jié)果？310%1000PV=248.69用excel函數(shù)計(jì)算：PV(0.1,3,100,0)=-248.69   3.有關(guān)年金的生活中例子：如果你現(xiàn)在65歲，正在考慮你是否應(yīng)該購(gòu)買保險(xiǎn)公司的年金。你只要支付1萬(wàn)美元，保險(xiǎn)公司就會(huì)在你的余生中每年支付你1000美元。如果你將這筆錢存銀行，每年可獲得8%的利息。假設(shè)你可以活到80歲，你購(gòu)買年金是否值得？保險(xiǎn)公司支付給你的實(shí)際利率是多少？要讓年金物有所值，你至少應(yīng)該活到多少歲數(shù)才行？我們來(lái)算一算保險(xiǎn)年金的NPV：inPMTPVFV8%80歲-65歲=15年-1000負(fù)號(hào)表示你是投入錢的，現(xiàn)金流出?0計(jì)算結(jié)果:P

8、V(8%,15,-1000,0,0)= ￥8,559.48換句話說(shuō)，要想今后15年每年獲得1000美元，只需要在年利率為8%的銀行賬戶上存入8559.48美元。因此，投資于保險(xiǎn)年金的凈現(xiàn)值NPV=8559.48-10000=-1440.52美元。是負(fù)數(shù)，所以年金不值得投資。年金未來(lái)給你這筆錢的總額的現(xiàn)值，低于你現(xiàn)在投入的本金的現(xiàn)值！ 要計(jì)算你活多少年才能在年金項(xiàng)目中回本，就是要知道n為多少時(shí)其凈現(xiàn)值NPV=0。我們用NPER函數(shù)來(lái)算：inPMTPVFV8%?1000-100000NPER(Rate，Pmt，Pv，F(xiàn)v，Type)結(jié)果：NPER(8%,1000,-10000,

9、0,0)=20.91年所以你必須退休后再多活21年，才值得投資于保險(xiǎn)年金。從另一角度講，如果你能再活21年而不是15年，則保險(xiǎn)公司實(shí)際上向你提供的就是每年8%的利率（也只不過(guò)是和銀行持平而已，而沒(méi)有超過(guò)銀行）。 你要借10萬(wàn)美元買房，A銀行給出的貸款條件是：年利率12%，你需要在今后30年中分360次按月付清。那么，你來(lái)算算你每月要還貸多少錢？還有一家B銀行則向你提供15年的抵押貸款，每月支付1100美元。那么，你從哪家銀行貸款更有利？ inpmtpvfvA銀行年12%30年？10萬(wàn)0B銀行？15年月110010萬(wàn)0A銀行的PMT是：PMT(12%/12,360,10000

10、0,0,0)= ￥-1,028.61你每月要還A銀行貸款1028.61美元。 B銀行的利率是：RATE(15*12,-1100,100000,0,0)= 0.8677%由于公式中我們是以月為單位的，所以這是月利率。我們還要換算成年利率：0.8677%*12=0.1041，也就是10.41%（這是單利計(jì)算）這個(gè)年利率小于A銀行放貸你的利率。所以，B銀行15年的抵押貸款對(duì)你更有利。  4. 永續(xù)年金一種重要的特殊類型的年金，叫做永續(xù)年金。永續(xù)年金是指永遠(yuǎn)持續(xù)的一系列現(xiàn)金流。比如，英國(guó)19世紀(jì)發(fā)行的“安慰”債券，它每年按照債券的票面價(jià)值支付

11、利息，但沒(méi)有到期日。任何一種永續(xù)年金都有一個(gè)特征：就是你無(wú)法計(jì)算它的現(xiàn)金流的終值，因?yàn)樗肋h(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束日，沒(méi)有結(jié)束期限。雖然無(wú)法計(jì)算它的終值，但是，它具有一個(gè)非常明確的、可以計(jì)量的現(xiàn)值。 均等永續(xù)年金：設(shè)想一下為了今后每年都可以從銀行中取得100美元，你現(xiàn)在需要將多少錢存入年利率為10%的銀行賬戶？如果你存入1000美元，在第1年年末，你賬戶里就有1100美元，然后你提出100美元，為第2年留下1000美元。顯然，只要利率每年都保持在10%，你就可以永遠(yuǎn)每年提取到100美元。 概括的講，計(jì)算均等永續(xù)年金現(xiàn)值的公式為：均等永續(xù)年金的現(xiàn)值=C/iC為定期支付的金額（也就是每年提取

12、的100美元），i為利率。這就是普通年金在期限n為無(wú)窮時(shí)的現(xiàn)值。永續(xù)增長(zhǎng)年金：也就是每期收到的現(xiàn)金流會(huì)以一定的比率增長(zhǎng)。例如，假設(shè)你正在考量一項(xiàng)投資，你預(yù)計(jì)第一年的現(xiàn)金流為1000美元，以后每年會(huì)以4%的幅度增加。那么此增長(zhǎng)年金的現(xiàn)值是多少呢？該公式為：PV=C1/(i-g)C1為第一年的現(xiàn)金流，g為增長(zhǎng)率。（原書對(duì)該公式?jīng)]有推導(dǎo)過(guò)程） 仍拿左例，假設(shè)貼現(xiàn)率i=9%，則該資產(chǎn)的現(xiàn)值為：PV=1000/(0.09-0.04)=2萬(wàn)美元也就是，如果你能以低于2萬(wàn)美元的價(jià)格買下該資產(chǎn)，那你才是賺的（你的NPV才是大于零的）。 考量一家公司的股票，該股票支付的現(xiàn)金紅利能以每年3%的

13、速度增長(zhǎng)。下一期的紅利將是每股1美元，1年后進(jìn)行分發(fā)。如果你希望獲得10%的年收益率，你愿意支付多少錢來(lái)購(gòu)買該公司的股票？我們來(lái)算這個(gè)永續(xù)增長(zhǎng)年金的現(xiàn)值：PV=1/(10%-3%)=14.29美元  5.等額還貸中的本息占比變化房屋抵押貸款和汽車貸款，都可以以等額的分期付款方式償還。每一次（每一期）償付中，有一部分是支付未還貸款的利息，還有一部分是償還本金。每一次償付后，一部分本金將從未償還的貸款中扣除。因此，以后每期支付中，利息占總付款額的比例將比前期的所占比越來(lái)越低，而本金所占比越來(lái)越大。 例如，假設(shè)你以9%的年利率借入10萬(wàn)美元房屋抵押貸款，并將在今后3年內(nèi)

14、連本帶息分期償還。每年你要還多少錢呢？inpmtpvfv9%3？10萬(wàn)0PMT(9%,3,100000,0,0)= ￥-39,505.48每年你要還39505.48美元。 貸款10萬(wàn)元，每期（每年）還款39505.48美元利息本金本期還款后的剩余本金在第1年中，這筆還款額中有多少是支付利息的，多少是償還本金的呢？因?yàn)閕=9%，所以你的第一次支付額中，利息部分=10萬(wàn)*9%=9000美元。剩余部分就是本金，本金=39505.48-9000=30505.48美元。在第1次支付后，還剩下10萬(wàn)-30505.48=69494.52的本金要還。第2年的39505.48美元付款中，有多

15、少屬于利息，多少屬于償還的本金呢？利息=69,494.52*9%=6254.51美元本金=39,505.48-6254.51=33250.97美元第2次支付后，你剩下要還得本金=69494.52-33250.97=36243.55美元第三次，即最后一次償付包括剩余36243.55美元貸款的本金和利息（即=36243.55*1.09=39505.47） 下表列出了上述所有的信息，稱為抵押貸款的“分期償付時(shí)間表”。它顯示了每一次30505.48美元的付款中，支付利息的部分是如何減少的，償付本金的部分是如何增加的。   6.本篇基礎(chǔ)知識(shí)：Excel函數(shù)復(fù)習(xí)Ex

16、cel中的5個(gè)財(cái)務(wù)函數(shù)：FV、PV、PMT、NPER與RATE，可以相應(yīng)地依次快捷計(jì)算終值FV、現(xiàn)值PV、年金金額（或每期現(xiàn)金流金額）PMT、年限（或期數(shù)）n與收益率（每一期的復(fù)利率）r。這5個(gè)財(cái)務(wù)函都有5個(gè)自變量，如果加上它本身的話（就是6個(gè)），排列順序是固定的：i，n，pmt，pv，fv，type。除了最后一個(gè)參數(shù)type外，5個(gè)參數(shù)中要求哪一個(gè)，就在排列順序中把哪一個(gè)去處掉，寫成函數(shù)頭，其他參數(shù)順序則不變：FV(Rate，Nper，Pmt，Pv，Type)；PV(Rate，Nper，Pmt，F(xiàn)v，Type)；PMT(Rate，Nper，Pv，F(xiàn)v，Type)；NPER(Rate，Pmt，

17、Pv，F(xiàn)v，Type)；RATE(Nper，Pmt，Pv，F(xiàn)v，Type)。 Rate=iNper=nPmtPVFVType各期利率為總投資期，即該項(xiàng)投資的付款期總數(shù)為各期所應(yīng)支付的金額，其數(shù)值在整個(gè)年金期間保持不變。通常pmt 包括本金和利息，但不包括其他費(fèi)用及稅款。當(dāng)Pmt取為零時(shí)，excel就自動(dòng)默認(rèn)為處理的是簡(jiǎn)單現(xiàn)金流量問(wèn)題（復(fù)利問(wèn)題，即只有一開(kāi)始的現(xiàn)金流入量Pv，或者最后的現(xiàn)金流入量Fv。沒(méi)有每一期的年金流）現(xiàn)值，也稱為本金。如果省略PV，則假設(shè)其值為零，并且必須包括pmt 參數(shù)。終值數(shù)字 0 或 1，用以指定各期的付款時(shí)間

18、是在期初還是期末。如果現(xiàn)金流發(fā)生在年末（或期末），Type就取值0或忽略；如果現(xiàn)金流發(fā)生在年初（或期初），Type就取值1。期末為0，期初為1。如果省略 type，則假設(shè)其值為0。當(dāng)其中的自變量Pv或Fv取為零時(shí)，excel就自動(dòng)默認(rèn)為處理的是年金問(wèn)題。當(dāng)然，計(jì)算年金問(wèn)題時(shí)，其中的自變量Pv或Fv都可以不取為零：Pv是指一開(kāi)始的現(xiàn)金流入量，F(xiàn)v是指最后的現(xiàn)金流入量。例如：RATE(36，4，100，100，0)4%， FV函數(shù)，復(fù)利終值的計(jì)算：FV（i、n，pmt，pv，type）Excel函數(shù)規(guī)定：支出的款項(xiàng)（如向銀行存入款項(xiàng)），用負(fù)數(shù)表示。收入的款項(xiàng)（如股息收入），用正

19、數(shù)表示。普通復(fù)利終值的計(jì)算：例如：某人將10000元投資于一項(xiàng)事業(yè)，年報(bào)酬率為6，3年后的復(fù)利終值為：FV（6，3，-10000，0）11910（元）（這不是年金，這是普通復(fù)利計(jì)算，所以第三個(gè)參數(shù)pmt忽略。最后一個(gè)0是指普通年金，而非即時(shí)年金。）普通年金終值的計(jì)算：FV(i,n,pmt,0）例如：某人每年存入銀行10000元、年利率為10，計(jì)算第3年年末可以從銀行取得的本利和（每年年末存入銀行）為：FV（10，3，-10000，0）33100（元）（由于這是年金，所以第四個(gè)參數(shù)pv忽略） 預(yù)付年金（即時(shí)年金）終值的計(jì)算：FV(i,n,pmt,1）仍以上例為例，計(jì)算預(yù)付年金終值（每年

20、年初存入銀行），則：FV（10，3，-10000，1）36410（元）tom每年末存入（很明顯這是普通年金）銀行3000元，假設(shè)利率為5%，則6年后他一次能取出多少錢？=FV(5%,6,3000,0)=-20405.74。負(fù)數(shù)表示支取。如果tom每年初存入（這就是即時(shí)年金）銀行3000元，假設(shè)利率為5%，到第6年末一次性能取出多少錢？=FV(5%,6,3000,1)=-21426.03。  PV函數(shù)，復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算：PV（i，n，pmt，fv，type）普通復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算：某人擬在5年后獲得本利和10000元，投資報(bào)酬率為10，他現(xiàn)在應(yīng)投入的金額為：PV（10，5，1000

21、0，0）-6209（元）普通年金現(xiàn)值的計(jì)算：某人要購(gòu)買一項(xiàng)養(yǎng)老保險(xiǎn)，購(gòu)買成本為60000元，該保險(xiǎn)可以在20年內(nèi)于每月末回報(bào)500元、投資報(bào)酬率為8，計(jì)算這筆投資是否值得。PV（0.0812，12×20，500，0）59777（元）由于養(yǎng)老保險(xiǎn)未來(lái)總收入的現(xiàn)值（59777元）小于現(xiàn)在實(shí)際支付（投入）的現(xiàn)值（60000元），npv是負(fù)的。因此，這項(xiàng)投資不合算。 預(yù)付（即時(shí)）年金現(xiàn)值的計(jì)算：用6年時(shí)間分期付款購(gòu)物，每年預(yù)付200元。設(shè)銀行利率為10，該項(xiàng)分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金交付的購(gòu)價(jià)是多少？PV（10，6，200，1）-958  PMT(Payment)函

22、數(shù)：是基于固定利率及等額分期付款方式，返回貸款的每期付款額。PMT（i，n，pv，fv，type）I與n的單位應(yīng)該一致，例如，同樣是4年期年利率為 12% 的貸款，如果按月支付，i應(yīng)為12%/12，n應(yīng)為 4*12。如果是按年支付，i應(yīng)為 12%，n為 4。注意：如果要計(jì)算一筆款項(xiàng)的總支付額，請(qǐng)用 PMT 返回值乘以 n。 例如：·返回需要 10 個(gè)月付清的年利率為 8%的 $10,000 貸款的月支付額：=PMT(8%/12,10,10000,

23、0) = -$1,037.03對(duì)于上例同一筆貸款，如果支付期限在每期的期初，支付額應(yīng)為：=PMT(8%/12,10,10000,0,1) =-$1,030.16·貸款月利率為0.51%，貸款期為10年即120月，貸款額為10000元，付款金額每月相等，求每月還款額：=PMT(0.51%,120,10000,0)=-111.62,也就是每月需支出111.62元。·如果以 12% 的利率貸出 $5,000，并希望對(duì)方在 5 個(gè)月內(nèi)還清，下列公式將返回每月所得款數(shù)：=PMT(12%/12,5,-5000,0)= $1,030.20

24、 除了用于貸款之外，函數(shù) PMT 還可以計(jì)算出別的以年金方式付款的支付額。例如：如果需要以按月定額存款方式在 18 年中存款 $50,000（也就是18年后賬戶上的總額達(dá)到5萬(wàn)），假設(shè)存款年利率為 6%，則函數(shù) PMT 可以用來(lái)計(jì)算月存款額：=PMT(6%/12,18*12,0,50000,0)=-$129.08 （這是在月末存的？）（注意：為什么公式中6%要除以12，18年要乘以12個(gè)月？而不是直接以6%的年利率與18年來(lái)算？因?yàn)槲覀円蟮氖敲吭麓婵铑~，而不是每年存款額！所以既然求的是以“月”

25、為單位，所以我們公式中也要輸入以“月”為單位的數(shù)字。）即向 6% 的存款帳戶中每月存入 $129.08，18 年后可獲得 $50,000。 ·存款方零存整取某廠欲積累一筆存款，用于5年后買一臺(tái)新設(shè)備，預(yù)計(jì)5年后的價(jià)格為500萬(wàn)元。假設(shè)銀行利率為3.33%，則該廠每年年末至少要存入多少錢？inpvfvtype3.33%50公式中pv參數(shù)為0，因?yàn)槭啄瓿跷创婵?，存款是在年末的?00萬(wàn)0因?yàn)槭悄昴┐婵頟MT(3.33%,5,0,5000000,0)= ￥-935,580.64  ·放貸方整

26、取，借款方零存某投資項(xiàng)目貸款200萬(wàn)元，銀行5年內(nèi)每年末等額收回全部貸款，已知貸款年利率為6.12%，那么項(xiàng)目每年的凈收益不應(yīng)少于多少？inpvfvtype6.12%5200萬(wàn)首年貸款金額05年后還清貸款0因?yàn)槭悄昴┻€款PMT(6.12%,5,2000000,0,0)= ￥-476,343.80結(jié)果為負(fù)值，這是因?yàn)檫@是一筆還款，站在貸款人的角度就是現(xiàn)金流出。公式中fv參數(shù)為0，即表示最終還清貸款。   RATE函數(shù)RATE(Nper，Pmt，Pv，F(xiàn)v，Type)·有一個(gè)零存整取項(xiàng)目，存期為3年，每個(gè)月月初存0.1萬(wàn)元，3年以后可得4萬(wàn)元，則該

27、項(xiàng)目的月復(fù)利率為：=RATE(n36，pmt0.1，pv0，fv4，期初1)0.562%，上面的是月利率，其年復(fù)利率為：IRR(10.562%)1216.95557%。 ·Peter于10年前，以10萬(wàn)元買了一個(gè)基金，現(xiàn)在該基金凈值15萬(wàn)元，請(qǐng)問(wèn)這樣相當(dāng)于多少的年報(bào)酬率？=RATE(10,-100000,150000,1)=4.138% ·Peter于10年前，以10萬(wàn)元買了一個(gè)基金，而且每月定期定額2,000元買相同之基金，現(xiàn)在該基金凈值65萬(wàn)元，請(qǐng)問(wèn)這樣相當(dāng)于多少的年報(bào)酬率？=RATE(10*12,-0.2,-10,65,1)=0.7763%這是月利

28、率。年報(bào)酬率必須再乘上12，=0.7763%*12 =9.3155% ·Susan向銀行貸款100萬(wàn)元，期限20年，每月本息攤還6,600元，問(wèn)這貸款年利率是多少？每月為一期，總共240期(NPER =240)，期初拿到100萬(wàn)(PV=1,000,000)，每期繳款6,600(PMT=-6,600)，期末還清(FV = 0)。 =RATE(20*12,-0.66,100,0,0)=0.4167%這是月利率，換算成年利率=0.4167%*12 =5.0008%  Nper函數(shù)·一個(gè)設(shè)備的價(jià)格為30萬(wàn)元，準(zhǔn)備對(duì)它進(jìn)行分期付款，每個(gè)月月底支

29、付1萬(wàn)元，商定的月復(fù)利率為0.5%，則需要付款的次數(shù)為：=NPER(0.5%,PMT-1,PV30,FV0,0)32.585次。  凈現(xiàn)值的計(jì)算：NPV（i，value1，value2，）i代表貼現(xiàn)率；value1，value2，代表支出和收入的1到29個(gè)參數(shù)，時(shí)間均勻分布在每期末出現(xiàn)。NPV按次序使用value1，value2，來(lái)注釋現(xiàn)金流量的次序。·某公司準(zhǔn)備購(gòu)置一臺(tái)新設(shè)備，價(jià)款為40000元，以擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，項(xiàng)目周期為5年，各年的凈現(xiàn)金流入分別為15000、12000、13000、18000、8000，若資金成本為10，計(jì)算這一投資項(xiàng)目的凈現(xiàn)值，并說(shuō)明是否可行。NPV（0.1，-40000，15000，12000，13000，18000，8000）9620（元）凈現(xiàn)值大于0，所以項(xiàng)目可行。 網(wǎng)上有人提了一個(gè)問(wèn)題（如下）：關(guān)于NPV函數(shù)的公式，可以有兩種輸入形式：如果現(xiàn)金凈流量為：0        1  &