1、第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 31 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念32 扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖33 薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁筒扭轉(zhuǎn)34 圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件35 圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件36 矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)37 薄壁桿扭轉(zhuǎn)薄壁桿扭轉(zhuǎn) 31 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念 直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)： （兩端面相對轉(zhuǎn)過的角度）（兩端面相對轉(zhuǎn)過的角度） ，剪切角也

2、稱，剪切角也稱。32 扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖mmmTx一、扭矩一、扭矩 圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面的內(nèi)力合成圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面的內(nèi)力合成結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的矩稱為截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正負(fù)號按扭矩的正負(fù)號按來確定，即右手握住桿的軸線，來確定，即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇卷曲四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTmxmT 二、扭矩圖二、扭矩圖 各截面的扭矩隨荷載而變化，

3、是截面坐標(biāo)的函數(shù)，表示各截面的扭矩隨荷載而變化，是截面坐標(biāo)的函數(shù)，表示各截面扭矩的圖象稱為各截面扭矩的圖象稱為。 扭矩圖的畫法步驟與軸力圖基本相同，具體如下：扭矩圖的畫法步驟與軸力圖基本相同，具體如下： 扭矩圖的畫法步驟：扭矩圖的畫法步驟： 畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線； 將桿分段，凡集中力偶作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)；將桿分段，凡集中力偶作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)； 用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受畫受力圖時(shí)，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來畫力圖時(shí)，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來畫。 按大小比例

4、和正負(fù)號，將各段桿的扭矩畫在基線兩按大小比例和正負(fù)號，將各段桿的扭矩畫在基線兩側(cè)，并在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號。側(cè)，并在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號。例例1 畫圖示桿的扭矩圖畫圖示桿的扭矩圖3kN.m5kN.m2kN.m解：解：11223kN.mT1ABCAC段：段：0mmkNTT.3; 0311BC段：段：0mmkNTT.2; 02222kN.mT2扭矩圖扭矩圖3kN.m2kN.m - 扭矩是根據(jù)外力偶矩來計(jì)算，對于傳動軸，外力偶矩可扭矩是根據(jù)外力偶矩來計(jì)算，對于傳動軸，外力偶矩可通過傳遞功率和轉(zhuǎn)數(shù)來換算。通過傳遞功率和轉(zhuǎn)數(shù)來換算。三、外力偶矩?fù)Q算三、外力偶矩?fù)Q算m)(N9550nPm其中：P 功率，千

5、瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（r/min） 若傳動軸的傳遞功率為若傳動軸的傳遞功率為P，每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n ，則每分鐘則每分鐘功率作功：功率作功：PW60力偶作功：力偶作功：nmW2nPm260例例2 已知：一傳動軸轉(zhuǎn)數(shù) n =300r/min，主動輪輸入功率 P1=500kW，從動輪輸出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：計(jì)算外力偶矩解：計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.55

6、55944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向假設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向假設(shè)）mkN78. 4 , 0 , 02121mTmTmmkN56. 9)78. 478. 4( 322mmTnA B C Dm2 m3 m1 m40; 0212mmTmmkN37. 6 , 0 , 04343mTmTm繪制扭矩圖繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.mm,kN 56. 9maxT扭矩圖扭矩圖例例畫圖示桿的扭矩圖。畫圖示桿的扭矩圖。3m2m2mmkN.4mkN.6mkN.8mkN.61m _扭矩圖扭矩圖mkN.4m

7、kN.6mkN.233 薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；兩端施加一對外力偶兩端施加一對外力偶 m。2.實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度 。 縱向線變成螺旋線?？v向線變成螺旋線。3.結(jié)果：結(jié)果： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。圓周線實(shí)際代表一個(gè)橫截面，此只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。圓周線實(shí)際代表一個(gè)橫截面，

8、此結(jié)果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足結(jié)果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。二、薄壁筒切應(yīng)力二、薄壁筒切應(yīng)力 tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0為平均半徑所作圓的面積。為平均半徑所作圓的面積。 薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，因長度不變，故橫截面上沒有正應(yīng)力，薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，因長度不變，故橫截面上沒有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分布可視作均勻的，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分布可視作均勻的，切應(yīng)力沿圓周切線，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。切應(yīng)力沿圓周切線

9、，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。Tacddxb dy tz三、切應(yīng)力互等定理：三、切應(yīng)力互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 這就是這就是：在單元體相互垂直的兩個(gè)截面：在單元體相互垂直的兩個(gè)截面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線。面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線。四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為。acddxb dy tz 單元體單元體ab 的傾

10、角的傾角 稱為稱為，切應(yīng)變是切應(yīng)變是單元體直角的改變量。實(shí)單元體直角的改變量。實(shí)驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即切應(yīng)變成正比，即G 這就是這就是，比例常數(shù)，比例常數(shù)G 稱為稱為。 剪切彈性模量剪切彈性模量G 、與彈性模量與彈性模量E 和泊松比和泊松比 一樣，都一樣，都是是表征材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對于各向同性材料，這三表征材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對于各向同性材料，這三個(gè)材料常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)系。個(gè)材料常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)系。 根據(jù)該式，在三個(gè)材料常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，根據(jù)該式，在三個(gè)材料常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，就可求

11、出第三個(gè)來。就可求出第三個(gè)來。)1 (2EG3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察1. 橫截面變形后仍為平面，滿足平面假設(shè)；橫截面變形后仍為平面，滿足平面假設(shè)；2. 軸向無伸縮，橫截面上沒有正應(yīng)力；軸向無伸縮，橫截面上沒有正應(yīng)力；二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力Rdxdx1o2o2o1oAABBCDDCabdcBCCcbd 變形的幾何條件變形的幾何條件橫截面上橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)變：點(diǎn)的切應(yīng)變：dxddxbbdxd其中其中 為單位長度桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角，稱為單位長度桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角，稱B 物理?xiàng)l件物理

12、條件橫截面上橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)力：點(diǎn)的切應(yīng)力：GG 靜力條件靜力條件PAAAIGAGAGATd d d22pGIT O2dAdAbT其中其中 稱為截面對圓心的稱為截面對圓心的。APdAI2pIT于是得橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為于是得橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為Ip截面對圓心的極慣性矩，純幾何量，無物理意截面對圓心的極慣性矩，純幾何量，無物理意義。義。式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得；橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得； 求應(yīng)力那點(diǎn)到圓心的距離；求應(yīng)力那點(diǎn)到圓心的距離；dD環(huán)形截面：環(huán)形截面：)(3244dDIP極慣性矩的單位極慣性矩的單位：m432 d2 d42022D

13、AIDApDdO 極慣性矩極慣性矩 同一截面，扭矩同一截面，扭矩T ，極慣性矩極慣性矩IP 為常量，因此各點(diǎn)切應(yīng)為常量，因此各點(diǎn)切應(yīng)力力 的大小與該點(diǎn)到圓心的距離的大小與該點(diǎn)到圓心的距離 成正比，方向垂直于圓的成正比，方向垂直于圓的半徑，且與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。半徑，且與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。TT max max實(shí)心圓截面切應(yīng)力分布圖實(shí)心圓截面切應(yīng)力分布圖空心圓截面切應(yīng)力分布圖空心圓截面切應(yīng)力分布圖最大切應(yīng)力在外圓處。最大切應(yīng)力在外圓處。 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力maxmaxPIT令：令：)1 (16164433DdDDWt,maxPtIW Wt 稱為稱為，單位：，單位：m3tWTmax實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面

14、空心圓截面空心圓截面例例4已知空心圓截面的扭矩已知空心圓截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小切應(yīng)力。求最大、最小切應(yīng)力。dDT max min解：解：MPaDdDTWTt9 .84)(1 4100016)1 (164213443maxMPaDd45.42219 .84maxmin三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：maxtWT其中容許切應(yīng)力其中容許切應(yīng)力 是由扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的極限是由扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的極限切應(yīng)力除以安全系切應(yīng)力除以安全系數(shù)得到。數(shù)得到。一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形pGITx dd d 0lpxGIT 當(dāng)當(dāng)T 、GIP

15、為常量時(shí)，長為為常量時(shí)，長為l 一一段桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角為段桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角為PGITl其中其中GIP 表示桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為表示桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為。(rad/m) dd pGITx 二、剛度條件二、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 稱為稱為。若。若單位扭轉(zhuǎn)角給的是單位扭轉(zhuǎn)角給的是 ，則上式改寫為則上式改寫為m/例例圖示圓軸，已知圖示圓軸，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60MPa， =0.3/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑試選擇該軸的直徑。ABCm

16、AmB mC l1l22kN.m1kN.m 解：解： 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 3maxmax16dmWTct mmmdC4 .55101060200016163363ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按剛度條件按剛度條件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max該圓軸直徑應(yīng)選擇：該圓軸直徑應(yīng)選擇：d =83.5mm.例例45圖示圓軸，已知圖示圓軸，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1

17、 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；試校核該軸的強(qiáng)度和試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)算兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角剛度，并計(jì)算兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 解：解： 按強(qiáng)度按強(qiáng)度核該核該 MPadmWTBt7 .4746001616331111d1d2ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m MPadmWTCt9 .1178001616332222d1d2滿足強(qiáng)度條件。滿足強(qiáng)度條件。按剛度按剛度核該核該mGITP/71. 118010401080600321801249111mGITP/24. 01

18、8010701080800321801249222ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2 m/71. 11max此軸不滿足剛度條件。此軸不滿足剛度條件。)(324111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB例例46長為長為 l =2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切許用切應(yīng)力應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；試設(shè)計(jì)桿的外徑；

19、 =2/m ，試校核此試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：解：設(shè)計(jì)桿的外徑設(shè)計(jì)桿的外徑 116D 43）（tW 34max)1 (16TD tWTmaxmKNmm/20m2xxmxxT20)(NmmlT40max mmTD57.22101030)8 . 01 (4016)1 (16336434maxmKNmm/20m2 剛度校核剛度校核180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角radGIGIxGIxdxGIdxxTPPPlP033. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(412492

20、0220練習(xí)練習(xí)2圖示圓桿圖示圓桿BC 段為空心，已知段為空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應(yīng)試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m11223344解：本題應(yīng)分解：本題應(yīng)分4段考慮。段考慮。32421DIIPP)(324443dDIIPP16321DWWtt)1 (1644343DdDWWttABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344MPaDTWTP74.4

21、0510001616331111MPaDTWTP76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444MPa74.401maxABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radaTbTbTaTDGDGaTDGbTDGbTDGaTGIaTGIbTGIbTGIaTPPPP 非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。hbh 1T max 注意！b 自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完