1、第七講 二元一次方程組1.1.了解：二元一次方程和二元一次方程組的概念，二元一次了解：二元一次方程和二元一次方程組的概念，二元一次方程方程( (組組) )的解的概念的解的概念. .2.2.理解：加減消元法和代入消元法理解：加減消元法和代入消元法. .3.3.能：用加減消元法和代入消元法解二元一次方程組能：用加減消元法和代入消元法解二元一次方程組. .一、二元一次方程一、二元一次方程( (組組) )的有關(guān)概念的有關(guān)概念1.1.二元一次方程：含有二元一次方程：含有_個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是的次數(shù)都是_的方程的方程. .2.2.二元一次方程組：含有二元一次方

2、程組：含有_個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)_次方程所組次方程所組成的一組方程成的一組方程. .3.3.二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的一組二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的一組_的值的值. .4.4.二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個(gè)方程的二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個(gè)方程的_解解. .兩兩1 1兩兩一一未知數(shù)未知數(shù)公共公共二、二元一次方程組的解法二、二元一次方程組的解法1.1.代入消元法：代入消元法：將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有_的代的代數(shù)式表示出來，并代入數(shù)式表示出來，并代入_中，從而消去一個(gè)未知中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化

3、二元一次方程組為數(shù)，化二元一次方程組為_._.2.2.加減消元法：加減消元法：將方程組中的兩個(gè)方程通過變形后相加或?qū)⒎匠探M中的兩個(gè)方程通過變形后相加或_，消去其中，消去其中的一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為的一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為_._.另一個(gè)未知數(shù)另一個(gè)未知數(shù)另一個(gè)方程另一個(gè)方程一元一次方程一元一次方程相減相減一元一次方程一元一次方程1.1.下列方程中，是二元一次方程的是下列方程中，是二元一次方程的是 ( )( )A.3xA.3x2y=4z B.6xy+9=02y=4z B.6xy+9=0C. +4y=6 D.4x=C. +4y=6 D.4x=2.2.方程方程3x+y=63x+y=6的

4、正整數(shù)解有的正整數(shù)解有 ( )( )A.1A.1組組 B.2B.2組組C.3C.3組組 D.4D.4組組1xy24D DA A3.3.二元一次方程二元一次方程x-2y=1x-2y=1有無數(shù)多個(gè)解，下列四組值中不是有無數(shù)多個(gè)解，下列四組值中不是該方程的解的是該方程的解的是 ( )( )x0,x1,A.B.1y1y2x1,x1,C.D.y0y1 B B4.4.下列方程組中是二元一次方程組的是下列方程組中是二元一次方程組的是 ( )( )D D5x2y3,xy1,A.B.1xy2y3x2xz0,x5,C.D.1xy3xy7523 5.5.已知已知 是方程是方程x xky=1ky=1的解，那么的解，那

5、么k=_k=_6.6.方程組方程組 的解是的解是_x2,y3 -1-12xy5,xy4x3,y1.熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 一一 二元一次方程二元一次方程( (組組) )的概念的概念【例【例1 1】(1)(2012(1)(2012菏澤中考菏澤中考) )已知已知 是二元一次方程組是二元一次方程組 mx+nymx+ny=8=8， nxnx-my=1-my=1A.A.2 B. C.2 D.42 B. C.2 D.4(2)(2013(2)(2013安順中考安順中考) )如果如果4x4xa+2b-5a+2b-5-2y-2y3a-b-33a-b-3=8=8是二元一次方程，是二元一次方程，那么那么a-b=_.a-b

6、=_.x2y1，的解，則的解，則2m-n2m-n的算術(shù)平方根為的算術(shù)平方根為 ( )( )2【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)代入代入x,yx,y的值的值求出求出m m，n n的值的值代入代入2m-n2m-n求算術(shù)平方根求算術(shù)平方根(2)(2)建立方程組建立方程組解方程組解方程組結(jié)果結(jié)果【自主解答【自主解答】(1)(1)選選C.C.把把 代入方程組代入方程組所以所以2m-n=6-2=4,42m-n=6-2=4,4的算術(shù)平方根是的算術(shù)平方根是2 2，故選，故選C.C.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?x4xa+2ba+2b5 52y2y3a3ab b3 3=8=8是二元一次方程，所以有是二元一次方程，所以有

7、 解得解得 所以所以a-b=0a-b=0答案：答案：0 0 x2y1，mxny82mn8m3nxmy12nm1n2.，得解得a2b51,3ab31, a2,b2,【名師助學(xué)【名師助學(xué)】二元一次方程二元一次方程( (組組) )的一般形式及解的情況的一般形式及解的情況1.1.二元一次方程二元一次方程( (組組) )的一般形式的一般形式二元一次方程的一般形式是二元一次方程的一般形式是ax+by+cax+by+c=0(ab0)=0(ab0)，二元一次方程組的一般形式是二元一次方程組的一般形式是 a a1 1x+bx+b1 1y+cy+c1 1=0=0， a a2 2x+bx+b2 2y+cy+c2 2

8、=0,=0,其中其中a a1 1b b1 10,a0,a2 2b b2 20.0.2.2.二元一次方程二元一次方程( (組組) )解的情況解的情況(1)(1)一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)組解一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)組解. .(2)(2)一個(gè)二元一次方程組一般只有一組解，但有時(shí)也可能無解一個(gè)二元一次方程組一般只有一組解，但有時(shí)也可能無解或有無數(shù)組解或有無數(shù)組解. .熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 二二 二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法【例【例2 2】(1)(2013(1)(2013涼山州中考涼山州中考) )已知方程組已知方程組則則x+yx+y的值為的值為( )( )A.-1 B.0 C

9、.2 D.3A.-1 B.0 C.2 D.3(2)(2012(2)(2012賀州中考賀州中考) )已知已知 是關(guān)于是關(guān)于x,yx,y的二元一次方的二元一次方程組程組 的解，則的解，則a+ba+b=_.=_.2xy4,x2y5,x1,y22axby3,axby6【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)兩方程相加，直接得出兩方程相加，直接得出x+yx+y的值的值. .(2)(2)把解代入把解代入關(guān)于關(guān)于a,ba,b的方程組的方程組解出解出a,ba,b求出求出a+ba+b的值的值【自主解答【自主解答】(1)(1)選選D. D. + +得得3x+3y=93x+3y=9，則，則x+yx+y=3.=3.(2)(

10、2)把把 代入方程組代入方程組得得 解方程組得解方程組得 得得a+ba+b= =答案：答案：2x+y=4 2x+y=4 , ,x+2y=5 x+2y=5 , ,x=1,x=1,y=2y=22ax-by=3,2ax-by=3,ax+byax+by=6=6，2a-2b=3,2a-2b=3,a+2b=6,a+2b=6,a=3,a=3,b=b=32，9.292【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】若將若將(2)(2)中的中的“a+ba+b”改為改為“a-4b”a-4b”，怎么解？，怎么解？提示：提示：方法一：可通過解方程求出方法一：可通過解方程求出a a和和b b的值，再計(jì)算出的值，再計(jì)算出a-4b=-3.a-4b=

11、-3.方法二：把方法二：把x,yx,y代入方程組后代入方程組后, ,兩式相減，即可得到兩式相減，即可得到a-4b=-3.a-4b=-3.【名師助學(xué)【名師助學(xué)】解二元一次方程組的步驟解二元一次方程組的步驟1.1.代入消元法的四個(gè)步驟代入消元法的四個(gè)步驟(1)(1)變形：用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)變形：用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù). .(2)(2)代入：把變形的方程代入另一方程變成一元一次方程代入：把變形的方程代入另一方程變成一元一次方程. .(3)(3)求解：解一元一次方程求解：解一元一次方程. .(4)(4)回代求解：把求出的未知數(shù)代入變形后的方程求出另一未回代求解：把求出的未知數(shù)代入變形后

12、的方程求出另一未知數(shù)知數(shù). .2.2.加減消元法的四個(gè)步驟加減消元法的四個(gè)步驟(1)(1)利用等式的基本性質(zhì)，通過在方程的兩邊同乘以或同除以利用等式的基本性質(zhì)，通過在方程的兩邊同乘以或同除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，將原方程組轉(zhuǎn)化為有一個(gè)未知數(shù)的系同一個(gè)不等于零的數(shù)，將原方程組轉(zhuǎn)化為有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)數(shù)相等或互為相反數(shù). .(2)(2)將變形后的方程相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)將變形后的方程相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程一元一次方程. .(3)(3)解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值. .(4)(4)回代求出另一個(gè)未

13、知數(shù)的值回代求出另一個(gè)未知數(shù)的值. .整體思想在解方程中的應(yīng)用整體思想在解方程中的應(yīng)用【典例【典例】(2012(2012德州中考德州中考) )已知已知 則則a+ba+b等于等于( )( )A.3 B. C.2 D.1A.3 B. C.2 D.1【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】a2b43a2b8,，83創(chuàng)新點(diǎn)創(chuàng)新點(diǎn)求整體求整體a+ba+b的值的值突破口突破口(1)(1)觀察兩個(gè)方程中未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系觀察兩個(gè)方程中未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系(2)(2)兩個(gè)方程相加得到兩個(gè)方程相加得到4a+4b4a+4b的值的值(3)(3)把把a(bǔ)+ba+b看作整體直接求解看作整體直接求解【自主解答【自主解答】選選A.A.將方程組將方程

14、組 中兩式相加得中兩式相加得4a+4b=12,4a+4b=12,即即4(a+b)=12,4(a+b)=12,所以所以a+ba+b=3.=3.a2b4,3a2b8【思考點(diǎn)評(píng)【思考點(diǎn)評(píng)】1.1.方法感悟方法感悟: :整體思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)整體思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí), ,將要解決的問將要解決的問題看作一個(gè)整體題看作一個(gè)整體, ,通過對(duì)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條通過對(duì)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條件的觀察和分析件的觀察和分析, ,找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系, ,從而尋找解決從而尋找解決問題的新途徑問題的新途徑. .2.2.技巧提升技巧提升: :解答此類運(yùn)算題目時(shí)解

15、答此類運(yùn)算題目時(shí), ,應(yīng)通過觀察、比較應(yīng)通過觀察、比較, ,找出方找出方程組與所求代數(shù)式的聯(lián)系程組與所求代數(shù)式的聯(lián)系. .通過應(yīng)用整體思想可以巧妙地解決復(fù)雜問題通過應(yīng)用整體思想可以巧妙地解決復(fù)雜問題, ,減少許多煩瑣的減少許多煩瑣的計(jì)算計(jì)算, ,從而提高解題的正確率從而提高解題的正確率. .【學(xué)以致用【學(xué)以致用】(2013(2013鞍山中考鞍山中考) )若方程組若方程組 則則3(x+y)-(3x-5y)3(x+y)-(3x-5y)的值是的值是_【解析【解析】3(x+y)-(3x-5y)=33(x+y)-(3x-5y)=37-(-3)=21+3=247-(-3)=21+3=24答案：答案：242

16、4xy7,3x5y3, xy7,3x5y3, 1.(20131.(2013錫山模擬錫山模擬) )已知已知 是方程是方程2x-ay=32x-ay=3的一個(gè)解，的一個(gè)解，那么那么a a的值是的值是( )( )A.1 B.3 C.-3 D.-1A.1 B.3 C.-3 D.-1【解析【解析】選選A.A.把把 代入方程得代入方程得2+a=32+a=3，解得解得a=1.a=1.x1,y1 x1,y1 2.(20132.(2013馬鞍山模擬馬鞍山模擬) )如果如果3x3x2n-12n-1y ym m與與-5x-5xm my y3 3是同類項(xiàng)，則是同類項(xiàng)，則m m和和n n的取值是的取值是( )( )A.3

17、A.3和和2 B.2 B.3 3和和2 2C.3C.3和和2 D.2 D.3 3和和2 2【解析【解析】選選C.C.由題意得由題意得 解得解得2n1m,m3, m3,n2.3.(20133.(2013昌平模擬昌平模擬) )方程組方程組 的解是的解是( )( )【解析解析】選選D. D. + +得得3x=63x=6，解得，解得x=2.x=2.把把x=2x=2代入得代入得y=0y=0，所以方程組的解為，所以方程組的解為xy2,2xy4x1,x3,A.B.y2y1x0,x2,C.D.y2y0 xy2,2xy4,x2,y0.4.(20134.(2013漳州模擬漳州模擬) )小明在解關(guān)于小明在解關(guān)于x,

18、yx,y的二元一次方程組的二元一次方程組 時(shí)得到了正確結(jié)果時(shí)得到了正確結(jié)果 后來發(fā)現(xiàn)后來發(fā)現(xiàn)“”“”“ ”處被墨水污損了，請(qǐng)你幫他找出處被墨水污損了，請(qǐng)你幫他找出 、處的值分別是處的值分別是( )( )A.A. =1=1，=1 B.=1 B. =2=2，=1=1C.C. =1=1，=2 D.=2 D. =2=2，=2=2【解析【解析】選選B.B.把把 代入方程組得代入方程組得 解得解得xy3,3xy1 x,y1. x,y1 3,31 ，1,2. 5.(20135.(2013黃岡模擬黃岡模擬) )若若|x+y+1|x+y+1|與與 互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，則則(3x-y)(3x-y)3 3的值為

19、的值為_._.【解析【解析】由題意得由題意得|x+y+1|+ =0,|x+y+1|+ =0,所以所以 解得解得 所以所以(3x-y)(3x-y)3 3= (3= (3 ) )3 3=3=33 3=27.=27.答案：答案：2727xy2xy2xy10,xy20, 1x,23y,2 13226.(20136.(2013陜西模擬陜西模擬) )已知已知 是關(guān)于是關(guān)于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程 x=y+ax=y+a的解，則的解，則(a+1)(a-1)+7=_.(a+1)(a-1)+7=_.【解析【解析】把把x=2,y= x=2,y= 代入代入 x=y+ax=y+a得得2 = +a,2 =

20、 +a,解得解得a=a=(a+1)(a-1)+7=a(a+1)(a-1)+7=a2 2-1+7=a-1+7=a2 2+6=( )+6=( )2 2+6=9.+6=9.答案：答案：9 9x2y3，333333.37.(20137.(2013無錫模擬無錫模擬) )解二元一次方程組：解二元一次方程組：【解析解析】由得由得x=13-4yx=13-4y，把代入得把代入得2(13-4y)+3y=162(13-4y)+3y=16，解得，解得y=2.y=2.把把y=2y=2代入代入得得x=5.x=5.所以原方程組的解是所以原方程組的解是2x3y16,x4y13.2x3y16,x4y13,x5,y2.8.(20

21、138.(2013南昌模擬南昌模擬) )已知已知x,yx,y滿足方程組滿足方程組求求(x+y)(x+y)-2 012-2 012的值的值. .【解析【解析】+ +，得，得3(x+y)=-33(x+y)=-3，所以，所以x+y=-1,x+y=-1,所以所以(x+y)(x+y)-2 012-2 012=1.=1.x2y12,2xy15, x2y12,2xy15, 1.(20121.(2012桂林中考桂林中考) )二元一次方程組二元一次方程組 的解是的解是( )( )【解析解析】選選D.D.解方程解方程2x=42x=4得得x=2x=2，把，把x=2x=2代入代入x+y=3x+y=3得得y=1.y=1

22、.所以方程組的解是所以方程組的解是x3x1x5x2A.B.C.D.y0y2y2y1 xy32x4，x2,y1.2.(20122.(2012臨沂中考臨沂中考) )關(guān)于關(guān)于x,yx,y的方程組的方程組 的解是的解是 則則|m-n|m-n|的值是的值是( )( )A.5 B.3 C.2 D.1A.5 B.3 C.2 D.1【解析解析】選選D.D.方程組方程組 的解是的解是 解得解得 所以所以|m-n|=|2-3|=1.|m-n|=|2-3|=1.3xymxmyn，x1y1,，3xymxmyn，x1y1，3 1m1mn, ，m2n3.，3.(20133.(2013廣安中考廣安中考) )如果如果 a a

23、3x3xb by y與與-a-a2y2yb bx+1x+1是同類項(xiàng)，則是同類項(xiàng)，則( )( )【解析解析】選選D.D.由題意得由題意得將代入得將代入得3x=2x+2,3x=2x+2,解得解得x=2.x=2.把把x=2x=2代入得代入得y=3.y=3.所以所以x2,x2,A.B.y3y3x2,x2,C.D.y3y3 3x2y,yx1, x2,y3.124.(20134.(2013泉州中考泉州中考) )方程組方程組 的解是的解是_._.【解析解析】對(duì)于方程組對(duì)于方程組 + +，得，得2x=4,x=2.2x=4,x=2.- -，得，得2y=2,y=1,2y=2,y=1,所以原方程組的解為所以原方程組

24、的解為答案：答案：xy3,xy1xy3,xy1, x2,y1.x2,y15.(20125.(2012湛江中考湛江中考) )請(qǐng)寫出一個(gè)二元一次方程組請(qǐng)寫出一個(gè)二元一次方程組_，使，使它的解是它的解是【解析解析】先圍繞先圍繞 列一組算式，列一組算式，如如2+(-1)=1,2-(-1)=3,2+(-1)=1,2-(-1)=3,然后用然后用x,yx,y代換代換, ,得得 ( (答案不惟一答案不惟一) )答案：答案： ( (答案不惟一答案不惟一) )x2y1 ，x2y1 ，xy1xy3.，xy1,xy36.(20126.(2012懷化中考懷化中考) )方程組方程組 的解是的解是_【解析解析】兩式相加，得兩式相加，得8x=8,8x=8,解得解得x=1,x=1,把把x=1x=1代入代入x x2y=2y=5,5,得得1 12y=2y=5 5，y=y=3.3.答案：答案：x2y5,7x2y13 x1,y3 7.(1)(20137.(1)(2013梅州中考梅州中考) )解方程組解方程組 (2)(2013(2)(2013荊州中考荊州中考) )用代入消元法解方程組用代入消元法解方程組【解析解析】(1) (1) + +得，得，3x=6,3x=6,解得解