1、指導(dǎo)老師指導(dǎo)老師: : 宋榮榮宋榮榮日日 期：期：5.115.11一、什么是數(shù)學(xué)建模？一、什么是數(shù)學(xué)建模？ 根據(jù)背景知識(shí)（已知條件）和查找資料，選擇正確的方法建立模型，通過計(jì)算機(jī)編程計(jì)算模型的結(jié)果，利用結(jié)果回答要解決的問題。數(shù)學(xué)建模的簡要介紹數(shù)學(xué)建模的簡要介紹1、全國數(shù)學(xué)建模比賽官方網(wǎng)站 http:/ 1 章章生活中的現(xiàn)象生活中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫；性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫； 2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀

2、看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱今天天氣很熱”，“小伙子很帥小伙子很帥”，等等等。等。 模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的必然性模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的必然性1、多少粒種子是一堆?2、禿子問題：所有人都是禿頭。確定性的知識(shí)無法解決模糊現(xiàn)象。模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 發(fā)表了文章發(fā)表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )模糊數(shù)學(xué)的基本思想模糊數(shù)學(xué)的基本思想用屬于

3、程度代替屬于或不屬于。用屬于程度代替屬于或不屬于。某個(gè)人屬于禿子的程度為某個(gè)人屬于禿子的程度為0.8, 另一個(gè)人屬于另一個(gè)人屬于禿子的程度為禿子的程度為0.3等等. 課堂主要內(nèi)容課堂主要內(nèi)容一、基本概念一、基本概念二、主要應(yīng)用二、主要應(yīng)用1. 模糊聚類分析（模糊關(guān)系）模糊聚類分析（模糊關(guān)系）對所研究的事物按對所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣?yán)?，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以例如，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機(jī)質(zhì)含量，及有機(jī)質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土

4、壤進(jìn)行分類。狀，對土壤進(jìn)行分類。2.模糊識(shí)別（貼近度）模糊識(shí)別（貼近度）已知某類事物的若干標(biāo)已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，給出一個(gè)具體的對象，確定把它歸于哪準(zhǔn)模型，給出一個(gè)具體的對象，確定把它歸于哪 一一類模型。類模型。例如：蘋果分級問題例如：蘋果分級問題蘋果，有蘋果，有I級，級，II級，級，III級，級，IV級級四個(gè)等級。四個(gè)等級。現(xiàn)有一個(gè)具體的蘋果，如何判斷它的級別。現(xiàn)有一個(gè)具體的蘋果，如何判斷它的級別。3.模糊決策模糊決策(權(quán)重權(quán)重)把事物按照優(yōu)劣進(jìn)行排序，或者選出把事物按照優(yōu)劣進(jìn)行排序，或者選出“令人滿意的最佳事物令人滿意的最佳事物”。例如：某班學(xué)生對于對某一教師上課進(jìn)行評價(jià)例如：某班學(xué)

5、生對于對某一教師上課進(jìn)行評價(jià)從從清楚易懂，教材熟練，生動(dòng)有趣，板書清晰清楚易懂，教材熟練，生動(dòng)有趣，板書清晰四方面四方面給出給出很好，較好，一般，不好很好，較好，一般，不好四層次的評價(jià)四層次的評價(jià)最后問該班學(xué)生對該教師的綜合評價(jià)究竟如何。最后問該班學(xué)生對該教師的綜合評價(jià)究竟如何。4.模糊線性規(guī)劃（普通線性規(guī)劃）模糊線性規(guī)劃（普通線性規(guī)劃）將線性規(guī)劃的約束將線性規(guī)劃的約束條件或目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個(gè)新的線條件或目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個(gè)新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解5.模糊系統(tǒng)控制（模糊規(guī)則）模糊系統(tǒng)

6、控制（模糊規(guī)則）模糊系統(tǒng)是一種基于模糊系統(tǒng)是一種基于知識(shí)或基于規(guī)則的系統(tǒng)。它的核心就是由所謂的知識(shí)或基于規(guī)則的系統(tǒng)。它的核心就是由所謂的IFTHEN規(guī)則所組成的控制器。一個(gè)規(guī)則所組成的控制器。一個(gè)IFTHEN規(guī)則就是規(guī)則就是一個(gè)用連續(xù)的隸屬度函數(shù)對所描述的某些句子所做的一個(gè)用連續(xù)的隸屬度函數(shù)對所描述的某些句子所做的形式的陳述。形式的陳述。（一）經(jīng)典集合（一）經(jīng)典集合確定性；無重復(fù)性；互異性確定性；無重復(fù)性；互異性 集合的表示法：集合的表示法： (1)(1)枚舉法，枚舉法，A= x1 , x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x). A B 若若x A，則則x B；

7、A B 若若x B，則則x A； A=B A B且且 A B. . （3 3）圖示法）圖示法一、經(jīng)典集合的性質(zhì)一、經(jīng)典集合的性質(zhì) 集合集合A的所有子集所組成的集合稱為的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，記為的冪集，記為 (A).并集并集AB = x | x A或或x B ；交集交集AB = x | x A且且x B ；余集余集Ac = x | x A . .集合的運(yùn)算規(guī)律集合的運(yùn)算規(guī)律 冪等律：冪等律： AA = A， AA = A； 交換律：交換律： AB = BA， AB = BA； 結(jié)合律：結(jié)合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律

8、： A( AB ) = A，A( AB ) = A；分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-10-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A ；對偶律：對偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = ；U 為全集，為全集， 為空集為空集.集合的直積：集合的直積： X Y = (x , y )| x X , y Y .二、映射二、映射1 1、映射、映射 f ： X Y特征函數(shù)滿足特征函數(shù)滿足（證

9、明）（證明） ., 0;, 1)(AxAxxA).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大運(yùn)算取大運(yùn)算, ,如如23 = 3取大運(yùn)算取大運(yùn)算, ,如如23 = 22、集合、集合A的特征函數(shù)：的特征函數(shù)：三、二元關(guān)系三、二元關(guān)系 X Y 的子集的子集 R 稱為從稱為從 X 到到 Y 的的二元關(guān)系，二元關(guān)系，特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X = Y 時(shí)，時(shí)，稱之為稱之為 X 上的上的二元關(guān)系二元關(guān)系.二元關(guān)二元關(guān)系簡稱為系簡稱為關(guān)系關(guān)系. 若若(x , y ) R，則，則稱稱 x 與與 y 有有關(guān)系，記為關(guān)系，記為R (x , y ) = 1； 若若(x , y )

10、R，則，則稱稱 x 與與 y 沒有沒有關(guān)系，記為關(guān)系，記為R (x , y ) = 0. 映射映射 R : X Y 0,1實(shí)際上是實(shí)際上是 X Y 的子集的子集R上的特征函數(shù)上的特征函數(shù).關(guān)系的三大特性：關(guān)系的三大特性： 設(shè)設(shè)R為為 X 上的上的關(guān)系關(guān)系 (1) 自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都與自己有上的任何元素都與自己有關(guān)系關(guān)系R，即即R (x , x) =1，則稱關(guān)系，則稱關(guān)系 R 具有自反性；具有自反性； (2) 對稱性對稱性：對于：對于X 上的任意兩個(gè)元素上的任意兩個(gè)元素 x , y，若，若 x 與與y 有關(guān)系有關(guān)系R 時(shí)，則時(shí)，則 y 與與 x 也有關(guān)系也有關(guān)系R，即若，即

11、若R (x , y ) =1，則，則R ( y , x ) = 1，那么稱關(guān)系那么稱關(guān)系R具有對稱性具有對稱性； (3) 傳遞性傳遞性：對于：對于X上的任意三個(gè)元素上的任意三個(gè)元素x, y, z，若若x 與與y 有關(guān)系有關(guān)系R，y 與與z 也有關(guān)系也有關(guān)系R 時(shí)，則時(shí)，則x與與z 也有關(guān)系也有關(guān)系R，即若即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，則則R ( x , z ) = 1，那么那么稱關(guān)系稱關(guān)系R具有傳遞性具有傳遞性. . 關(guān)系的矩陣表示法關(guān)系的矩陣表示法 設(shè)設(shè)X = x1, x2, , xm, ,Y= y1, y2, , yn，R為從為從 X 到到 Y 的的二元關(guān)

12、系，記二元關(guān)系，記rij = =R(xi , yj )，R = (rij)mn，則則R為布為布爾矩陣爾矩陣( (Boole) )，稱為稱為R的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣. 布布爾矩陣爾矩陣( (Boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩陣的矩陣. .關(guān)系三大特性的矩陣表示法：關(guān)系三大特性的矩陣表示法： 設(shè)設(shè)R為為 X = x1, x2, , xn 上的上的關(guān)系，則其關(guān)關(guān)系，則其關(guān)系系矩陣矩陣R = (rij)nn 為為 n 階方陣階方陣.(1) R具有具有自反性自反性 I R；(2) R具有具有對稱性對稱性 RT = R ； (3) R具有具有傳遞性傳遞性 R2R . . 若若R具有具有自反性，

13、則自反性，則 I R R2 R3 關(guān)系合成的矩陣表示法關(guān)系合成的矩陣表示法 設(shè)設(shè) X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且，且X 到到Y(jié) 的關(guān)系的關(guān)系R1 = (aik)ms，Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系R2 = (bkj)sn，則則X 到到Z 的關(guān)系可表示為矩陣的合成：的關(guān)系可表示為矩陣的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 例例 設(shè)設(shè) X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是是 X 到到 Y 的關(guān)系的關(guān)系, R2 是是Y

14、 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系,R1 =(x, y) | x + y = 6= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(x, y) | y z = 1= (2,1), (3,2), (4,3),則則R1與與 R2的合成的合成R1 R2=(x, y) | x + z = 5 = (2,3), (3,2), (4,1).0010101000001R1000100012R合成合成( )運(yùn)算的性質(zhì)：運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)；性質(zhì)性質(zhì)2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性質(zhì)性質(zhì)3： A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( B

15、C ) A = ( B A )( C A ) ；性質(zhì)性質(zhì)4：O A = A O = O，I A=A I =A；性質(zhì)性質(zhì)5：AB，CD A C B D.其中其中O為零矩陣為零矩陣，I 為為 n 階單位方陣階單位方陣.AB aijbij .集合上的等價(jià)關(guān)系集合上的等價(jià)關(guān)系 設(shè)設(shè) X 上的上的關(guān)系關(guān)系R具有具有自反性、對稱性、傳遞自反性、對稱性、傳遞性，則稱性，則稱R為為 X 上的等價(jià)上的等價(jià)關(guān)系關(guān)系. 若若x與與y 有等價(jià)關(guān)系有等價(jià)關(guān)系R，則記為，則記為 x y.集合上的等價(jià)類集合上的等價(jià)類 設(shè)設(shè) R是是X 上的等價(jià)上的等價(jià)關(guān)系，關(guān)系，x X. 定義定義x的等價(jià)的等價(jià)類：類：xR = y | y

16、X ， y x .相似關(guān)系相似關(guān)系 設(shè)設(shè) X 上的上的關(guān)系關(guān)系R具有自反性、對稱性，則稱具有自反性、對稱性，則稱R為為 X 上的相似上的相似關(guān)系關(guān)系.集合上的相似類集合上的相似類 設(shè)設(shè) R是是X 上的相似上的相似關(guān)系，若關(guān)系，若C X，任取任取x，y C，有有 x Ry則稱則稱C是由相似關(guān)系是由相似關(guān)系R產(chǎn)生的相似類，記為產(chǎn)生的相似類，記為x R .（二）模糊集合（二）模糊集合一、模糊集合的定義一、模糊集合的定義 設(shè)設(shè)U是論域，稱映射是論域，稱映射A(x)：U0,1確定了一個(gè)確定了一個(gè)U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)稱為稱為A的的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)，它表示，它表示x對對A的隸屬程

17、度的隸屬程度. 使使A(x) = 0.5的點(diǎn)的點(diǎn)x稱為稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性具模糊性.例例 設(shè)論域設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：單位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為可定義為140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 .

18、06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA二、模糊集的運(yùn)算二、模糊集的運(yùn)算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為Ac (x) = 1- - A(x). 例例 設(shè)論域設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在，在U上定義兩個(gè)模糊集：上定義兩個(gè)模糊集： A =“商品質(zhì)量好商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞商品質(zhì)量壞”，并設(shè)，并設(shè)A = (0

19、.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).則則Ac=“商品質(zhì)量不好商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞商品質(zhì)量不壞”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見可見Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .模糊集的運(yùn)算律模糊集的運(yùn)算律 冪等律：冪等律：AA = A， AA = A；交換律：交換律：AB = BA，AB = BA；結(jié)合律：結(jié)合律：(A

20、B)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A ；對偶律：對偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了致，除了排中律排中律以外，即以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特點(diǎn)，的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征. .三、模糊算子三、模糊算子