1、第第8章章 電電 勢勢 8.1 靜電場的保守性和環(huán)路定理靜電場的保守性和環(huán)路定理 8.2 電勢差和電勢電勢差和電勢 8.3 電勢疊加原理電勢疊加原理 8.4 電勢梯度電勢梯度 8.5 靜電勢能靜電勢能 8.6 電荷系的靜電能電荷系的靜電能 8.7 靜電場的能量靜電場的能量electric potential電場的性質(zhì)由電場強(qiáng)度和電勢描述電場的性質(zhì)由電場強(qiáng)度和電勢描述 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度E是矢量，給電荷以力是矢量，給電荷以力電勢電勢U是標(biāo)量，給電荷以能量是標(biāo)量，給電荷以能量qUWpEqF力學(xué)中的保守力保守性（conservative）就是守恒性kpEEA保由動能定理由動能定理0)EE(EEpkpk

2、總能量的變化為0，也就是能量守恒 靜電場力做功與路徑無關(guān)靜電場力做功與路徑無關(guān) 靜電場力是保守力靜電場力是保守力1. 點電荷的場中移動點電荷，電場力點電荷的場中移動點電荷，電場力 做的功做的功q0qQrQPrP考慮質(zhì)點系中的兩個質(zhì)點考慮質(zhì)點系中的兩個質(zhì)點q和和q0之間的庫侖力：之間的庫侖力：庫侖力做功與庫侖力做功與做功做功 41 200rerqqFrxyO)(r,P極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 坐標(biāo)系的坐標(biāo)系的：)e ,e(r極坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：erererrerdedrrdrrderdredrd)()41( 200erdedrerqqrdFdArrdrrqq20041QPQPQPrdrqqdrrqqrd

3、FA200200441庫倫)1()1(400PQrrqqA做功與路徑無關(guān)做功與路徑無關(guān)結(jié)論：結(jié)論：庫侖力的功與質(zhì)點運動的相對庫侖力的功與質(zhì)點運動的相對路徑無關(guān)路徑無關(guān)，只決定于質(zhì)，只決定于質(zhì)點初、終態(tài)的相對位置。點初、終態(tài)的相對位置。QPnQPQPl dEEEl dErdE)(21021q/ )Q,P(Al dEl dEl dEQPnQPQP任何靜電場，電場強(qiáng)度的曲線積分只取決于起始和終末任何靜電場，電場強(qiáng)度的曲線積分只取決于起始和終末位置，而與路徑無關(guān)。位置，而與路徑無關(guān)。2. 多個點電荷組成的帶電體的電場多個點電荷組成的帶電體的電場也有相同的性質(zhì)：做功與路徑無關(guān)也有相同的性質(zhì)：做功與路徑無

4、關(guān)靜電場的保守性靜電場的保守性靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理(Circuital theorem of electrostatic field)靜電場的保守性還可表述為：靜電場的保守性還可表述為：在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑的曲線積分等于零。在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑的曲線積分等于零。這稱為靜電場的環(huán)路定理或環(huán)流定理。這稱為靜電場的環(huán)路定理或環(huán)流定理。Ll dEq00Ll dE0引入勢能的意義就在于“方便”無論質(zhì)點的軌跡多么復(fù)雜，不管過程如何，只無論質(zhì)點的軌跡多么復(fù)雜，不管過程如何，只要初末位置確定，保守力的功就可以輕松得出要初末位置確定，保守力的功就可以輕松得出pEA保電勢差和電勢電

5、勢差和電勢靜電力將電荷靜電力將電荷 從電場中從電場中 點點移動到移動到 點的過程中，靜電場點的過程中，靜電場力做正功時，電勢能減少。力做正功時，電勢能減少。0qPQq0qQrQPrPQPQPPQpQlEqlFA)WW(dd0點電荷為例點電荷為例)1()1(400PQrrqqAA)11(400PQrrqq0000PPPPPPPldEqWWWW若定義若定義 P0 為電勢能零點，則為電勢能零點，則P點的電勢能為點的電勢能為00PWPPpUqrqqW00014引入電勢引入電勢正電荷的受力方向就是電場的方向，正電荷的受力方向就是電場的方向，電場總是從電勢高處指向電勢低處電場總是從電勢高處指向電勢低處。2

6、.電勢：電勢：場點場點P 的電勢定義為：的電勢定義為：當(dāng)電荷只分布在有限區(qū)域時，零點通常選在無窮遠(yuǎn)處。當(dāng)電荷只分布在有限區(qū)域時，零點通常選在無窮遠(yuǎn)處。PPPPl dEUUUU在實際問題中，也常常選地球的電勢為零電勢。在實際問題中，也常常選地球的電勢為零電勢。電勢差與電勢的零點選取無關(guān)。電勢差與電勢的零點選取無關(guān)。 定義：定義：將單位正電荷從將單位正電荷從P點沿任意路徑移到電勢為零的點點沿任意路徑移到電勢為零的點的過程中，靜電力所做的功的過程中，靜電力所做的功，即，即00qWldEUpPPp定義：定義：兩點間的電勢差兩點間的電勢差為將單位正電荷從電場為將單位正電荷從電場中中 點移動到點移動到 點

7、的過程中，靜電力點的過程中，靜電力所做的功所做的功QP3、電勢差、電勢差QPQPPQl dEUUU 電勢差和電勢的單位相同，在國際單位制中，電勢的單電勢差和電勢的單位相同，在國際單位制中，電勢的單位為：焦耳位為：焦耳/庫侖（記作庫侖（記作J/C），），也稱為伏特（也稱為伏特（Volt,V），），即即1V1J/C 當(dāng)已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電場中移當(dāng)已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電場中移動的過程中電場力所做的功：動的過程中電場力所做的功：QPQPPQUUql dEqA)(00勻強(qiáng)電場的電勢差勻強(qiáng)電場的電勢差OxdQPQPPQl dEUUUEdEdxUUUdQPPQ0點電荷產(chǎn)

8、生的電場中的電勢分布點電荷產(chǎn)生的電場中的電勢分布 。 用場強(qiáng)分布和電勢的定義直接積分。用場強(qiáng)分布和電勢的定義直接積分。 rrqE420ppppprqdrrql dEUUU02044pEqr4、點電荷電勢的計算、點電荷電勢的計算pprqU04負(fù)點電荷周圍的場，電勢為負(fù)，負(fù)點電荷周圍的場，電勢為負(fù)，離電荷越遠(yuǎn)，電勢越高。離電荷越遠(yuǎn)，電勢越高。正點電荷周圍的場，電勢為正，正點電荷周圍的場，電勢為正，離離電荷越遠(yuǎn)，電勢越低。電荷越遠(yuǎn)，電勢越低。0U標(biāo)量加法求電勢標(biāo)量加法求電勢iipppUl dEEl dEpU)()()(211r2r3rir1q2q3qiqppipiiirql dEpU04)(iiir

9、qpU04)(VerdVPU04)(SerdSPU04)(LerdlPU04)(電荷體密度為電荷體密度為 的帶電體產(chǎn)生的電勢：的帶電體產(chǎn)生的電勢：e電荷面密度為電荷面密度為 的帶電體產(chǎn)生的電勢：的帶電體產(chǎn)生的電勢： e電荷線密度為電荷線密度為 的帶電體產(chǎn)生的電勢：的帶電體產(chǎn)生的電勢： e對有限大小的對有限大小的帶電體帶電體微積分求電勢微積分求電勢例： CD是以O(shè)點為圓心，以R為半徑的半圓弧，在A點有一電荷為+q的點電荷，O點有一電荷為q的點電荷線段AB=OB=OD=R現(xiàn)將一正電荷q0從B點沿半圓弧軌道BCD移到D點，則電場力所作的功為_ +qA-qBODCR解：解：04400RqRqUB因此，

10、當(dāng)已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電因此，當(dāng)已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電場中移動的過程中電場力所做的功：場中移動的過程中電場力所做的功：QPQPPQUUql dEqA)(00RqRqRqUD00064)3(4RqqUUqADBBD0006)( 例例 一根均勻帶電的直線（非導(dǎo)體），長為一根均勻帶電的直線（非導(dǎo)體），長為L L，帶電荷量帶電荷量Q Q ，求延長線上距離端點為，求延長線上距離端點為d d的點的點 P 的的電電勢勢, ,如圖所示。如圖所示。Q|L|d|POx1.研究對象是研究對象是P點的電場，把帶電體放入坐點的電場，把帶電體放入坐標(biāo)系標(biāo)系dxdx dq|x|dx的位置

11、為的位置為x，距離，距離O點點-x LQ為了把帶電體分割為多個點為了把帶電體分割為多個點電荷，引入線電荷密度電荷，引入線電荷密度dq位置為位置為x，距離，距離O點點-x例例11 求均勻帶電圓環(huán)上的電場強(qiáng)度分布。求均勻帶電圓環(huán)上的電場強(qiáng)度分布。已知帶電量為已知帶電量為 Q。rdqdU04212204)Rx(Q)x(U2021220044)Rx(RdrdqdULxRrpdq（2）若另有一正點電荷Q，質(zhì)量為m，從O點以初速度v0沿x軸正方向被釋放，求該點電荷的最終速度。 v21v212020mmrdFA200v2vRmQq單位分析單位分析 EPArqrqpUUiip0044)(例例8.8計算電偶極子

12、的電場中任一點計算電偶極子的電場中任一點p的電勢的電勢cos2lrrcos2lrr20222004444rr P)coslr(coslq)rrrr(qUepcosqlrl qrPelr 當(dāng)當(dāng) 可做如下近似：可做如下近似：rqlqrrp解解：場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。故選同心球面為高斯面。場它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。故選同心球面為高斯面。場強(qiáng)的方向沿著徑向，且在球面上的場強(qiáng)處處相等。強(qiáng)的方向沿著徑向，且在球面上的場強(qiáng)處處相等。例例8.1 求均勻帶電球面的電場中的電勢分布求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。 設(shè)球面半徑為設(shè)球

13、面半徑為R，總帶電量為總帶電量為Q 。根據(jù)高斯定理得到電場分布，根據(jù)高斯定理得到電場分布，積分求電勢積分求電勢Er當(dāng)當(dāng) 高斯面內(nèi)電荷為高斯面內(nèi)電荷為 0RrRrE0RrrrQE420當(dāng)當(dāng) 高斯面內(nèi)電荷為高斯面內(nèi)電荷為 Q ，所以所以Rr ，024 QrEdSEEdSSdEeSSSe高斯面高斯面高斯面高斯面EQRrRrRQdrrQEdrrURrR02044)(RrrQdrrQrUr02044)(在球面處場強(qiáng)不連續(xù)，而電勢是連續(xù)的。在球面處場強(qiáng)不連續(xù)，而電勢是連續(xù)的。均勻帶電球面是個等勢體。均勻帶電球面是個等勢體。Ur例例8.5 兩個均勻帶電球面的電場和電勢分兩個均勻帶電球面的電場和電勢分布電場疊

14、加和電勢疊加布電場疊加和電勢疊加1R1q2R2q 例例 求均勻帶電球體，產(chǎn)生場的電勢分布。設(shè)總求均勻帶電球體，產(chǎn)生場的電勢分布。設(shè)總電量均為電量均為 q ，球的半徑為，球的半徑為 R 。解：解： 均勻帶電球體，由均勻帶電球體，由Guass 定理求得定理求得： RrrRqrRrrrqE 4 4 30202200223003020302234424 4444RrRqRqrRRqRqdrRqrrdr rqrdr RqrRrURrRRrrqdrrqrdr rqRrUrr02020444UE例例8.2求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。rE02已知場強(qiáng)為：已知

15、場強(qiáng)為： 方向垂直于帶電直線。方向垂直于帶電直線。00d0ddp p ppp p lElElEUCrlnrrlndrrrr200000220r0ppr若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點，則由積分可知，各點電勢將若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點，則由積分可知，各點電勢將為無限大、失去意義。此時，我們可以選取某一距帶電直線為無限大、失去意義。此時，我們可以選取某一距帶電直線為為 的的 點為電勢零點，則距帶電直線為點為電勢零點，則距帶電直線為 的的 點的電勢：點的電勢：0pppr0r電荷線密度電荷線密度由此例看出，當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時，電勢零點不能由此例看出，當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時，電勢零點不能選在無窮遠(yuǎn)處

16、。選在無窮遠(yuǎn)處。 00qWldEUpPPp重點總結(jié) 標(biāo)量加法求電勢標(biāo)量加法求電勢 根據(jù)點電荷電勢，微分電荷，積根據(jù)點電荷電勢，微分電荷，積分求電勢分求電勢 根據(jù)高斯定理得到電場分布，積根據(jù)高斯定理得到電場分布，積分求電勢分求電勢 根據(jù)電勢差，能夠得到電場的功根據(jù)電勢差，能夠得到電場的功和電勢能變化和電勢能變化電勢相等的點所組成的曲面。電勢相等的點所組成的曲面。引入等勢面也是為了形象地描述靜電場的電勢分布。引入等勢面也是為了形象地描述靜電場的電勢分布。等勢面與電場線的關(guān)系：等勢面與電場線的關(guān)系： 等勢面與電場線處處正交；等勢面與電場線處處正交； 等勢面密的地方，場強(qiáng)數(shù)值大；反之，場強(qiáng)小。等勢面密

17、的地方，場強(qiáng)數(shù)值大；反之，場強(qiáng)小。( (a) )孤立點電荷孤立點電荷 ( (b) )一對等量異號點電荷一對等量異號點電荷 實例實例：虛線虛線等勢面等勢面實線實線電場線電場線1. 1. 等勢面等勢面2. 2. 電勢梯度及其與場強(qiáng)的關(guān)系電勢梯度及其與場強(qiáng)的關(guān)系pEldf微分微分保守力保守力保守場保守場勢勢 能能勢勢積分積分UldE：電場強(qiáng)度等于相：電場強(qiáng)度等于相聯(lián)系的電勢的梯度的負(fù)值：聯(lián)系的電勢的梯度的負(fù)值：zUEyUExUEzyx 梯度梯度(gradient)()UUUEUijkxyz 電勢梯度電勢梯度 是一個矢量，是一個矢量，它的方向是該點附近它的方向是該點附近電勢升高最快的方向。電勢升高最快

18、的方向。U例例11 求均勻帶電圓環(huán)上的電場強(qiáng)度分布。求均勻帶電圓環(huán)上的電場強(qiáng)度分布。已知帶電量為已知帶電量為 Q。rdqdU04212204)Rx(Q)x(U2021220044)Rx(RdrdqdULxRrpdq232204)Rx(QxxUEEx通過微分，可以很容易從電通過微分，可以很容易從電勢得到電場勢得到電場1. 1. 點電荷在已知場中的靜電勢能點電荷在已知場中的靜電勢能即電勢能為即電勢能為 其中其中 P0 為為勢能零點。勢能零點。 000PPrdEqUqW 電勢是屬于靜電場電勢是屬于靜電場 的，而電勢能屬于已知電場的，而電勢能屬于已知電場 和點電和點電荷荷 q0 所共有。電勢所共有。電

19、勢的物理意義可以理解為：靜電場中單位的物理意義可以理解為：靜電場中單位EE正電荷所具有的電勢能，即正電荷所具有的電勢能，即 U = W/ /q0 。2. 電偶極子在均勻外電場中的靜電勢能電偶極子在均勻外電場中的靜電勢能：EpqEll dEqUUqUqqUWWWBABABAcos OqlqEAB EpW8.6 8.6 電荷系的靜電能電荷系的靜電能 將各個電荷從無窮遠(yuǎn)移到彼此鄰近的位置而形成電荷系，將各個電荷從無窮遠(yuǎn)移到彼此鄰近的位置而形成電荷系，外力克服靜電場力所做的功，稱為這個電荷系的外力克服靜電場力所做的功，稱為這個電荷系的，簡稱，簡稱或或。iiiUqW21對任意個點電荷系統(tǒng)總靜電能為對任意

20、個點電荷系統(tǒng)總靜電能為除除qi 外其外其他所有電他所有電荷在荷在 qi 位位置上所產(chǎn)置上所產(chǎn)生的電勢生的電勢 對連續(xù)分布的帶電體，分割它為諸多對連續(xù)分布的帶電體，分割它為諸多 dq ，對任意一個，對任意一個 dq 而言，其他所有部分電荷在而言，其他所有部分電荷在 dq 處產(chǎn)生的電勢為處產(chǎn)生的電勢為 U ，則靜電能為，則靜電能為QUdqW21Q dq Q a.一個均勻帶電球面一個均勻帶電球面(半徑為半徑為 R ，總電量為總電量為 Q )的的 靜電能為靜電能為RQdqRQUdqWQQ020842121lqlqqlqqW020044)(421b.兩個點電荷，電量為兩個點電荷，電量為q和和q，相距，相

21、距l(xiāng)，靜電能為，靜電能為例：在半徑為例：在半徑為 R帶電球體內(nèi)帶電球體內(nèi)，挖去以挖去以O(shè)1為中心，為中心，半徑為半徑為R1的球中的電荷。的球中的電荷。 O1至至球心球心O的的距離為距離為 a，a +R1 R, 帶電部分電荷體密度為帶電部分電荷體密度為 求求O1點的場強(qiáng)和電位點的場強(qiáng)和電位aOO1 RR1解：整個體系可以看成是一個解：整個體系可以看成是一個以以 O為球心為球心 R為半徑，電荷體為半徑，電荷體密度為密度為 的的均勻帶電球均勻帶電球和另一和另一個個以以O(shè)1為球心為球心R1為半徑均勻帶為半徑均勻帶負(fù)電，電荷體密度為負(fù)電，電荷體密度為 的帶的帶電球電球所構(gòu)成。所構(gòu)成。根據(jù)場強(qiáng)和電勢的根據(jù)

22、場強(qiáng)和電勢的疊加原理疊加原理可求解?？汕蠼?。aOO1 RR1高斯面高斯面以以O(shè)為心做一半徑為為心做一半徑為 a 的的高斯面，由高斯定理高斯面，由高斯定理VSdVSdE01均勻帶電大球在均勻帶電大球在O1 處的場強(qiáng)為：處的場強(qiáng)為：312344aEa013aE 均勻帶負(fù)電的小球在均勻帶負(fù)電的小球在O1處的場強(qiáng)為零。處的場強(qiáng)為零。02E0213aEEE方向沿方向沿O O1的的連線方向。連線方向。用用1,2角標(biāo)分別表示大、小球。它們各自在球內(nèi)外角標(biāo)分別表示大、小球。它們各自在球內(nèi)外產(chǎn)生的場強(qiáng)：產(chǎn)生的場強(qiáng)：RrrrE101113)(RrrrQrE112101114)(3134RQ 1202223)(Rr

23、rrE1222202224)(RrrrQrE31234RQOr2 r1 O1均勻帶電大球在均勻帶電大球在O1點產(chǎn)生的電位是：點產(chǎn)生的電位是：RRaOdrrRdrrrdEOU12103110111133)(1)()()(12111OUOUOU疊加原理給出：疊加原理給出：1112220310220221233)(RROdrrRdrrrdEOU)36)(22011aROU（均勻帶電小球在均勻帶電小球在O1點產(chǎn)生的電位是：點產(chǎn)生的電位是：210122)(ROU所以在所以在O1點產(chǎn)生的總電位是：點產(chǎn)生的總電位是：3)3621220RaR（210122)(ROU)()()(12111OUOUOU)36)(

24、22011aROU（一、基本概念（兩個重要物理量）一、基本概念（兩個重要物理量）1、電場強(qiáng)度、電場強(qiáng)度 （1 1）引入：從力的觀點研究電場的性質(zhì)而引入的。）引入：從力的觀點研究電場的性質(zhì)而引入的。 （2 2）定義：）定義：單位正檢驗電荷在電場中所受的力單位正檢驗電荷在電場中所受的力，即，即0qFEEE（3 3）物理意義：）物理意義： 是電場的力的屬性，是電場固有的是電場的力的屬性，是電場固有的力的性質(zhì)。場中某點力的性質(zhì)。場中某點 的大小和方向完全由電場本身的大小和方向完全由電場本身決定，和引進(jìn)的檢驗電荷的大小、正負(fù)均無關(guān)，檢驗電決定，和引進(jìn)的檢驗電荷的大小、正負(fù)均無關(guān)，檢驗電荷只不過是檢驗和量

25、度電場的工具而已。荷只不過是檢驗和量度電場的工具而已。EE（4 4）E電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 和和電場力電場力 是兩個不同的物理量。是兩個不同的物理量。F（5 5）關(guān)于）關(guān)于 的計算的計算E1、點電荷場強(qiáng)、點電荷場強(qiáng)2、點電荷系的場強(qiáng)、點電荷系的場強(qiáng)3、電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)、電荷連續(xù)分布的帶電體的場強(qiáng)4、利用高斯定理求場強(qiáng)、利用高斯定理求場強(qiáng)5、利用電場電勢關(guān)系求場強(qiáng)、利用電場電勢關(guān)系求場強(qiáng)rrQE420iiNiiiErrQE1204rrdqE420內(nèi)SqSdE01ndndUEn 是等勢面法線方向的單位矢，從低電位到高電位是等勢面法線方向的單位矢，從低電位到高電位 例例真空中一半徑為真空中一半

26、徑為R的均勻帶電球面帶有電荷的均勻帶電球面帶有電荷Q(Q0)今在球面上挖去今在球面上挖去非常小塊的面積非常小塊的面積S(連同電荷連同電荷)，如圖所示，假設(shè)不影響其他處原來的電荷，如圖所示，假設(shè)不影響其他處原來的電荷分布，則挖去分布，則挖去S 后球心處電場強(qiáng)度的大小后球心處電場強(qiáng)度的大小E_，其方向為其方向為_ O R S Q O點電勢是多少？點電勢是多少？2、電勢、電勢U （1 1）引入：為從能量的觀點研究電場的性質(zhì)而引入的。）引入：為從能量的觀點研究電場的性質(zhì)而引入的。 （2 2）定義：）定義：將單位正電荷從將單位正電荷從P點沿任意路徑移到電勢為零的點的點沿任意路徑移到電勢為零的點的過程中，靜電力所做的功過程中，靜電力所做的功，即，即 000qAqWrdEUqPPp零電勢參考點的選擇：通常無窮遠(yuǎn)處、地、機(jī)殼零電勢參考點的選擇：通常無窮遠(yuǎn)處、地、機(jī)殼例例對有限帶電體，如一均勻帶電球體對有限帶電體，如一均勻帶電球體,比較比較a、b、c三點的電勢三點的電勢Qoab caal dEUU0bcbabUUUUU 0（5 5）關(guān)于）關(guān)于 的計算的計算U1、點電荷的電勢、點電荷的電勢2、點電荷系的電勢、點電荷系的電勢3、電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢、電荷連續(xù)分