1、1自動控制原理自動控制原理（下冊）（下冊）現(xiàn)代控制理論基礎現(xiàn)代控制理論基礎2哈爾濱工業(yè)大學哈爾濱工業(yè)大學 控制與仿真中心控制與仿真中心史小平史小平2006年年12月月3第八章第八章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法n8.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 n8.2 線性系統(tǒng)的運動分析狀態(tài)轉移矩陣 n8.3 線性系統(tǒng)的能控性、能觀性及對偶原理 n8.4 線性系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型 n8.5 線性系統(tǒng)的實現(xiàn) n8.6 線性離散系統(tǒng)的分析 目目 錄錄48.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述8.1.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一狀態(tài)變量一狀態(tài)變量1狀態(tài)變

2、量足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個 數(shù)的一組變量；2一個用階 微分方程描述的系統(tǒng)，就有 個獨立 變量；3系統(tǒng)狀態(tài)變量就是 階系統(tǒng)的 個獨立變量；4 階微分方程式要有唯一確定的解，必須知道 個 獨立的初始條件；5 個獨立的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時刻 時的值。nnnnnnn0t5二狀態(tài)向量二狀態(tài)向量 如果 個狀態(tài)變量用 ， ， 表示，并把這些狀態(tài)變量看作是向量 的分量，則 就稱 為狀態(tài)向量，記作n)(1tx)(2tx)(txn)(tx)(txT21)()()()(txtxtxtnx6三狀態(tài)空間三狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 ， ， 為坐標軸所構成的 維空間，稱為狀態(tài)空間狀態(tài)空間。 在特定時刻 ，狀

3、態(tài)向量 在狀態(tài)空間中是一點。已知初始時刻 的狀態(tài)向量 ，就得到狀態(tài)空間中的一個初始點。隨著時間的推移， 將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線狀態(tài)軌線。)(1tx)(2tx)(txnnt)(tx0t)(0tx)(tx7四狀態(tài)方程四狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量所構成的一階常微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 舉例說明狀態(tài)方程的列寫過程。 圖1是一個 網(wǎng)絡，此系統(tǒng)有兩個獨立的儲能元件，即電容 和電感 ，所以應該有兩個狀態(tài)變量。CLRCL8uRLCcui+-圖1 典型的 電路RLC9 狀態(tài)變量的選取，原則上是任意的，但是考慮到電容的儲能與其兩端的電壓 有關，電感的儲能與流經(jīng)它的電流 直接相關，故通常就

4、以 和 作為此系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。cuicui10 根據(jù)電路理論，很容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組 idtduCcuuRidtdiLc亦即uLiLRuLiiCucc111（81） 11式（81）就是圖示系統(tǒng)的狀態(tài)方程， 令 cux 1ix 2并寫成矩陣形式， 則狀態(tài)方程變?yōu)閡LxxLRLCxx101102121（82）12ubAxx或其中21xxxLRLC110AL10b13五輸出方程五輸出方程 在系統(tǒng)指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。 在上例中，如果系統(tǒng)指定 cux 1作為輸出， 則（輸出一般用y表示）有 cuy 或1xy （83）14這個輸出方

5、程可以用矩陣形式表示為2101xxy或xcTy 式中01Tc（84）15六狀態(tài)空間表達式六狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)方程和輸出方程總合起來，構成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 例如在上例中，式（82）、（84）合稱為一個狀態(tài)空間表達式。 16 在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程，這就可以進一步得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述。 例如，在上例中，在以 作為輸出時，從式（81）中消去變量 ，得到二階微分方程為 cuiuLCuLCuLRuccc11 （85） 17其推導過程如下： 將式（81）的第一個方程兩邊對時間t求導數(shù)，得 iCuc 1故有cuCi 18另

6、外由式（81）的第一個方程可得cuCi將以上兩式代入到式（81）的第二個方程得uLuLRCuLuCccc11 稍作整理即得式（85）。19根據(jù)式（85）可以寫出其相應的傳遞函數(shù)為 LCsLRsLCsusuc11)()(2（86）其相應的推導過程如下：對式（85）兩邊取Laplace變換得 20)(1)(1)()(2suLCsuLCssuLRsusccc)(1)()1(2suLCsuLCsLRsc稍作整理即得式（86）。21 如果要將高階微分方程或傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)方程，即分解為多個一階微分方程，那么此時的狀態(tài)方程可以有無窮多種形式無窮多種形式，這是由于狀態(tài)變量的選擇可以有無窮多種的緣故。這種狀

7、態(tài)變量的非唯一性狀態(tài)變量的非唯一性，歸根到底是由于系統(tǒng)結構的不確定性造成的。 考慮上例的情況，按照式（85）或（86），如果另外選擇狀態(tài)變量， 22即選擇 cux 1cux2則 21xuxc uLCuLRuLCuxccc112 uLCxLRxLC1121（87）23即uLCLRLC10110 xx （88）這就是該系統(tǒng)的另一個狀態(tài)方程，比較式（82）與（88）可知，顯然它們是不同的。24 從理論上來說，并不要求狀態(tài)變量在物理上一定是可以測量的量，但是在工程實踐中，仍然以選取那些容易測量的量作為狀態(tài)變量為宜，因為在最優(yōu)控制中，往往要求將狀態(tài)變量作為反饋量。 下面介紹一般情況。設有一個單輸入單輸出

8、定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 ， nxxx,21則狀態(tài)方程的一般形式為： 25ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111輸出方程則有如下形式：26nnxcxcxcy2211用矩陣形式表示，狀態(tài)空間表達式則為cxbAxxyu式中nxxx21x表示n維狀態(tài)向量， （89）27nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A表示nn的系統(tǒng)矩陣， nbbb21b表示1n的輸入矩陣。 28 對于一個復雜系統(tǒng)，具有 個輸入， 個輸出，此時狀態(tài)方程變?yōu)閞mrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxububu

9、bxaxaxaxubububxaxaxax2211221122221212222121212121111212111129 至于輸出方程，不僅是狀態(tài)變量的組合，而且在特殊情況下，還可能包含輸入向量的直接傳遞關系，因而有如下的一般形式rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy2211221122221212222121212121111212111130 多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式用矩陣形式表示就是： DuCxyBuAxx （810）xA式中和的意義及形式與單輸入單輸出系統(tǒng)相同，ruuu21u表示r維輸入向量， 31

10、myyy21y表示m維輸出向量。 nrnnrrbbbbbbbbb212222111211B表示rn的輸入矩陣，32mnmmnnccccccccc212222111211C表示nm的輸出矩陣， mrmmrrddddddddd212222111211D表示rm的直接傳遞矩陣， 33除特殊申明外，一般情況下均令 。0D 34七狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方塊圖七狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方塊圖單輸入單輸出系統(tǒng)的方塊圖如圖2所示。 bcAux xy+圖2 單輸入單輸出線性系統(tǒng)方塊圖35多輸入多輸出系統(tǒng)的方塊圖如圖3所示。BCAux xy+D+圖3 多輸入多輸出線性系統(tǒng)方塊圖36 狀態(tài)空間表達式是系統(tǒng)的一種完全描述完

11、全描述，它既反映了外部輸入輸出關系，也反映了內部狀態(tài)變量與外部信號的關系。 378.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的建立線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的建立一根據(jù)系統(tǒng)的方塊圖建立狀態(tài)空間表達式一根據(jù)系統(tǒng)的方塊圖建立狀態(tài)空間表達式例1給定單輸入單輸出系統(tǒng)的方塊圖如下 111KTs221KT s33KT s4Kuy-試寫出其狀態(tài)空間表達式。38第一步：將方塊圖改畫成模擬結構圖首先考慮一個子模塊111KTs改畫為1111KTsT解39該子模塊的模擬結構圖為11T11KT-40整個系統(tǒng)的模擬結構圖為11T11KT-21T22KT-33KT4K-1x2x3xyu41第二步：根據(jù)模擬結構圖寫出狀態(tài)方程3123

12、KxxT2223221KxxxTT 1413311111K KKxxxuTTT 1yx42寫成向量形式，即得狀態(tài)空間表達式：3322211411100010010KTKuTTKK KTTT xx100y x43例2 考慮一個含有零點的單輸入單輸出系統(tǒng)的方塊圖Ks1saszsp-uy試寫出其狀態(tài)空間表達式。第一步：將方塊圖改畫成模擬結構圖解44首先考慮含有零點的模塊szsp將其展開成部分分式得：1szzpspsp 該模塊可以改畫為45zpsp+畫出原系統(tǒng)的等價方塊圖如下：46z ps p+sKa1s-u3x2xy1x畫出原系統(tǒng)的模擬結構圖如下：47ppzKa-+uyx 13x2x48第二步：根據(jù)

13、模擬結構圖寫出狀態(tài)方程upzKppzKKa00)(001xx 100y x49二根據(jù)系統(tǒng)的機理建立狀態(tài)空間表達式二根據(jù)系統(tǒng)的機理建立狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)按照能量屬性分類：電氣機械 機電氣動液壓熱力物理定理定律牛頓定律能量守恒定律基爾霍夫定律狀態(tài)空間表達式50例3電網(wǎng)絡如圖所示，輸入量為電流源，并指定以電容 和 上的電壓作為輸出，求此網(wǎng)絡的狀態(tài)空間表達式。 1C2C1C2C1L2L1R2R+-i1i2i3i4i1Cu2Cuabc1l2l3l51解本電網(wǎng)絡有2個電容器和2個電感器，共4個儲能元件，共有4個狀態(tài)變量。令 11Cxu22Cxu31xi42xi52按照節(jié)點a、b、c的順序，由基爾霍夫電

14、流定律得33220iixC x1 1340C xxx22440C xxi53按照回路l1、 l2、l3的順序，由基爾霍夫電壓定律得1311 30L xxRi1242 40 xL xR i241320L xL xx54從以上6個式子中消去非獨立變量 和 ，得3i4i1341111xxxCC 122131131RC xL xxR xRi 22224124R C xL xxR x13242L xL xx55從以上4式解出 ，最后得狀態(tài)空間表達式1234,x xx x11112212212212223311212111211211244212122212212212110010()()()1()()()1()()()CCxxRRCRRCRRCRRxxxxRR RR RLL RRL RRL RRxxRR RR RLL RRL RRL RR56121212112122120()()()RC RRiR RL RRR RL RR571211223410000100CCxuyxyxux58例4試列寫如圖所示機械旋轉運動模型的狀態(tài)空間表達式。KBT59已知J轉動慣量K扭轉軸的剛性系數(shù)B粘性阻尼系數(shù)T施加于扭轉軸上的力矩60解選擇扭轉軸的轉角 及其角速度 為狀態(tài)變量，即1x2x并令