1、第九章第九章 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析9-4 應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系9-3 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓9-5 平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力9-1 一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)9-1 一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)一一 基本變形下的橫截面上應(yīng)力回顧基本變形下的橫截面上應(yīng)力回顧拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力：拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力：FFmmFNF橫截面上只有正應(yīng)力，橫截面上只有正應(yīng)力，且均勻分布且均勻分布計(jì)算公式：計(jì)算公式：NFA等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)

2、力：maxPTWpTIMeMemmoTmaxRm-m截面上的應(yīng)力截面上的應(yīng)力橫截面上只有切應(yīng)力，橫截面上只有切應(yīng)力，呈線性分布呈線性分布計(jì)算公式：計(jì)算公式：（圓周上各點(diǎn)）（圓周上各點(diǎn)）梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的應(yīng)力：梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的應(yīng)力：BAFmmm-m截面上截面上的彎曲切應(yīng)的彎曲切應(yīng)力力maxm-m截面上截面上的彎曲正應(yīng)的彎曲正應(yīng)力力zMy一般情況下橫截面上既一般情況下橫截面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。計(jì)算公式：計(jì)算公式：zM yISzzF SbI引例：試分析圖引例：試分析圖(a)所示受扭圓軸表面上所示受扭圓軸表面上a點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力。點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力。TmaxR

3、a橫截面上橫截面上a點(diǎn)的切應(yīng)力點(diǎn)的切應(yīng)力316ePMTWddxdyO2O1aadxdydzO2O1二二 一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的概念一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的概念eMeMda(a)為了研究為了研究a點(diǎn)處各個(gè)方向的應(yīng)力，圍繞點(diǎn)處各個(gè)方向的應(yīng)力，圍繞a點(diǎn)取一個(gè)各邊長(zhǎng)均為無(wú)點(diǎn)取一個(gè)各邊長(zhǎng)均為無(wú)限小的六面體（稱為單元體）。限小的六面體（稱為單元體）。dxdydz周向面周向面橫截面橫截面徑向截面徑向截面單元體單元體a000dxdyadz 單元體點(diǎn)單元體性質(zhì)：?jiǎn)卧w性質(zhì)：（2）相互平行面上的應(yīng)力大小、性質(zhì)分別相同。）相互平行面上的應(yīng)力大小、性質(zhì)分別相同。（1）單元體各面上的應(yīng)力均勻分布；）單元體各面上的應(yīng)力均勻分布；adx

4、dydzadxdydza單元體四個(gè)面上只存在切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，這種單元體四個(gè)面上只存在切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)。簡(jiǎn)化為平面形式簡(jiǎn)化為平面形式axnxntcosdAsindAdA0nF cossinsincos0dAdAdA0tF coscossinsin0dAdAdA利用利用經(jīng)整理后得到經(jīng)整理后得到sin2 cos2（1）（2） 由（由（1）、（）、（2）式，可以求出單）式，可以求出單元體各個(gè)截面上的應(yīng)力。（即元體各個(gè)截面上的應(yīng)力。（即a點(diǎn)點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力）處各個(gè)方向上的應(yīng)力） 定義定義：構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力集合，稱為該點(diǎn)處的：構(gòu)件

5、內(nèi)一點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力集合，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)。,max45,ot三三 研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的目的研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的目的sin2 cos2（1）（2）min90o ,max45oc max0,ox4545,maxc,maxt,maxt,maxc低碳鋼低碳鋼MeMe鑄鐵鑄鐵MeMe通過(guò)應(yīng)力狀態(tài)分析：通過(guò)應(yīng)力狀態(tài)分析：可以確定最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其所可以確定最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其所在截面方位，由此可以分析發(fā)生強(qiáng)度破壞的原因。在截面方位，由此可以分析發(fā)生強(qiáng)度破壞的原因。四四 主平面和主應(yīng)力的概念主平面和主應(yīng)力的概念sin2 cos2（1）（2）x4545,maxc,ma

6、xt,maxt,maxc由（由（1）式和（）式和（2）式得：）式得：,max,max4545 ; ootc 主應(yīng)力主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。：主平面上的正應(yīng)力。45450oo主平面主平面：切應(yīng)力等于零的平面；：切應(yīng)力等于零的平面；純剪切應(yīng)力狀態(tài)，純剪切應(yīng)力狀態(tài)， 的斜截面為的斜截面為主平面主平面， 、 為為主應(yīng)力主應(yīng)力45,maxc,maxt213彈性力學(xué)可以證明彈性力學(xué)可以證明主單元體主單元體三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值排列為三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值排列為 且且 123123a 圓軸受扭時(shí)圓軸受扭時(shí)a點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為 3 eMeMda3311x45451,20,五五 應(yīng)力狀態(tài)的分類（按主

7、應(yīng)力情況分類）應(yīng)力狀態(tài)的分類（按主應(yīng)力情況分類）1單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)：有兩個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)：有兩個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)或或113323012031232二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)：有一個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)：有一個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)213020103三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)123例如火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處例如火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)也稱也稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)

8、分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、斜截面上的應(yīng)力（用解析法求解）一、斜截面上的應(yīng)力（用解析法求解）ef(b)xyxyyxxyyxn(a)xxyyxx面面y面面yxyxy(c)xcosdAsindAytndAxyxfenxn0nF coscoscossinxxdAdAdA0tF cossincoscosxxdAdAdAsinsinsincos0yydAdAsincossinsin0yydAdA注意到注意到 和和 的大小相等，其指向已畫(huà)在圖中，以的大小相等，其指向已畫(huà)在圖中，以 代替代替 ，簡(jiǎn)化后得到，簡(jiǎn)化后得到y(tǒng)xxycos2sin222xyxyxsin2cos22xyx(91)(92)(c)xcosdA

9、sindAytndAxyxfe當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)，可由（已知時(shí)，可由（9-1）和（）和（9-2）式求出式求出 ，這種方法稱為，這種方法稱為解析法解析法。 , ,xy,x注意：注意：（1）各值均以代）各值均以代數(shù)值帶入數(shù)值帶入（2） 角正負(fù)號(hào)角正負(fù)號(hào)討論：兩種特殊情況的斜截面應(yīng)力分析討論：兩種特殊情況的斜截面應(yīng)力分析1. 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力FFAA取取,x0yx可得可得21 cos2cos2sin22cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx(91)(92)由由max0max452efnx（a）（b）2. 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)

10、力eMeMdaaxncos2sin222xyxyxsin2cos22xyx(91)(92)由由取取,x0 xy可得可得sin2 cos2（c）（d）max45 min45 max0 x4545minmaxmaxminTCx(b)Cx例例9-1 圖（圖（a）中，）中，d=100mm, F=500kN, Me=7kN.m,求圓桿表面求圓桿表面上上C點(diǎn)處單元體各面上的應(yīng)力，并求點(diǎn)處單元體各面上的應(yīng)力，并求 和和 。3030解：解：C點(diǎn)所在橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖點(diǎn)所在橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖b所示，所示，其值為其值為362500 10 N63.7 10 Pa=63.7MP

11、a0.1m4NxFA3637 10 N m35.7 10 Pa=35.7MPa0.1m16xpTW eMeMdC(a)FFxxxxyyx3030=63.7MPa=35.7MPaxx，圍繞圍繞C點(diǎn)，用橫截面、徑向截面和周向截面，截點(diǎn)，用橫截面、徑向截面和周向截面，截取單元體如圖取單元體如圖c所示所示 。3063.7063.70cos23035.7MPa sin23016.9MPa22 3063.70sin23035.7MPa cos23045.4MPa2 、 的指向如圖的指向如圖c所示。所示。3030eMeMdC(a)FFn30(c)Cy0y二、應(yīng)力圓（圖解法）二、應(yīng)力圓（圖解法） xyxyyx

12、xyyxefncos2sin222xyxyxsin2cos22xyx(91)(92)cos2sin222xyxyx(a)將（將（9-1）、（）、（9-2）式）式 改寫為改寫為sin2cos22xyx(b) 22ab得222xy222xyx(c)可以看出，若以可以看出，若以 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，則（為縱坐標(biāo)，則（c）式為圓的方程。）式為圓的方程。,02xy222xyxR圓心為圓心為 ，半徑為，半徑為 xyxyyxxyyxefn222xy222xyxO2xy222xyxRC由上述推導(dǎo)過(guò)程表明，單元體的任一截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓由上述推導(dǎo)過(guò)程表明，單元體的任一截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)

13、有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（點(diǎn)、面對(duì)應(yīng)）上點(diǎn)的坐標(biāo)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（點(diǎn)、面對(duì)應(yīng)）應(yīng)力圓應(yīng)力圓或或莫爾圓莫爾圓應(yīng)力圓的畫(huà)法應(yīng)力圓的畫(huà)法已知單元體上已知單元體上 ， ，設(shè)，設(shè) ，畫(huà)應(yīng)力圓。，畫(huà)應(yīng)力圓。,xxyyxyOyDB2yyC1建立建立 軸，取比例尺軸，取比例尺2量取量取 得得 ；量?。涣咳?， 得得 11, xxxOBB D,xxxD 22, yyyOBB D,yyyD 3連接連接 和和 兩點(diǎn)，交兩點(diǎn)，交 軸于軸于C點(diǎn)，以點(diǎn)，以C為圓心，為圓心， （或（或 ）為半徑畫(huà)圓，此圓即為應(yīng)力圓。為半徑畫(huà)圓，此圓即為應(yīng)力圓。xDyDxCDyCDxyxyyxxyyxefnB1xDxxxyxyyxxyyxe

14、fnOyDB2yyCB1xDxx要想證明用以上方法所作的圓就是應(yīng)力圓，只需證明要想證明用以上方法所作的圓就是應(yīng)力圓，只需證明222xyxxCD12xyOC半徑半徑證明：證明：22OCOBB C2xyy2xy212xyB CCB則則半徑半徑2211xxRCDCBB D222xyx故上述方法畫(huà)的圓即為應(yīng)力圓故上述方法畫(huà)的圓即為應(yīng)力圓現(xiàn)在來(lái)討論利用應(yīng)力圓求現(xiàn)在來(lái)討論利用應(yīng)力圓求 、 。xDxxO1BC2ByDyyxyxyyxxyyxn02D2E在應(yīng)力圓上由在應(yīng)力圓上由 逆時(shí)針轉(zhuǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) 角角到到 ，則，則 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為 。2xCDCDD證明：證明：OEOC CE0co

15、s 22OCCD00cos2cos2sin2sin2xOCCD00cos2cos2sin2sin2xxOCCDCDcos2sin222xyxyx同理可證：同理可證：ED利用應(yīng)力圓對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)作應(yīng)力分析的方法，稱為利用應(yīng)力圓對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)作應(yīng)力分析的方法，稱為圖解法圖解法。在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意：?jiǎn)卧w上兩個(gè)截面間的夾角若為在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意：?jiǎn)卧w上兩個(gè)截面間的夾角若為 ，則在應(yīng)，則在應(yīng)力圓上相應(yīng)兩點(diǎn)間的圓弧所對(duì)的圓心角應(yīng)為力圓上相應(yīng)兩點(diǎn)間的圓弧所對(duì)的圓心角應(yīng)為2 ，而且二者轉(zhuǎn)向，而且二者轉(zhuǎn)向應(yīng)當(dāng)一致。應(yīng)當(dāng)一致。xyxyyxxyyxnxDxxO1BC2ByDyy02D2E例例9-2 利用應(yīng)力圓求例利用應(yīng)

16、力圓求例9-1所示單元體的所示單元體的 截面上的應(yīng)力。截面上的應(yīng)力。 30 =63.7MPa=35.7MPaxx，2在應(yīng)力圓上由在應(yīng)力圓上由 順時(shí)針轉(zhuǎn)到順時(shí)針轉(zhuǎn)到60確確定定 點(diǎn)，量取點(diǎn)，量取xCD30D30-303017MPa, 46MPaoooOEED eMeMdC(a)FF3030 xxxxyyxn30CCE3030O0,35.7yD63.7, 35.7xD30D6030aMP解：解：1.建立建立-坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，選取比例尺。選取比例尺。 由由 ， 確定確定Dx點(diǎn)；點(diǎn)； 35.7MPax 63.7MPax35.7MPay由由 ， 確定確定Dy點(diǎn)。點(diǎn)。0y連接連接Dx和和Dy，其連線交，其

17、連線交軸于軸于C點(diǎn)，以點(diǎn)，以C為圓心，為圓心， 為半徑畫(huà)出應(yīng)力圓。為半徑畫(huà)出應(yīng)力圓。xCD 用比例尺量得的結(jié)果不夠精確，用比例尺量得的結(jié)果不夠精確，可以大致按比例畫(huà)出應(yīng)力圓，再借助可以大致按比例畫(huà)出應(yīng)力圓，再借助應(yīng)力圓所示的幾何關(guān)系，進(jìn)行有關(guān)計(jì)應(yīng)力圓所示的幾何關(guān)系，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，這種方法稱為算，這種方法稱為圖解解析法圖解解析法。由圖可得，由圖可得，63.7MPa31.9MPa2OC 2235.731.935.747.9MPa tan =1.11931.9yRCD48.2 ,18048.26071.8ooooo3031.947.9cos71.816.9MPaooOE303047.9sin71.8

18、45.5MPaoooED CE3030O0,35.7yD63.7, 35.7xD30D6030aMP三、主平面和主應(yīng)力三、主平面和主應(yīng)力 主應(yīng)力：主應(yīng)力：主平面：主平面： 切應(yīng)力等于零的平面切應(yīng)力等于零的平面主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力受力構(gòu)件任一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力，受力構(gòu)件任一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力，其值按代數(shù)值排列其值按代數(shù)值排列 123123且且 12OB1xDyDB2CA2A1(b)111OAOCCA2222xyxyx222OAOCCA2222xyxyx（9-3）（9-4）主應(yīng)力大?。褐鲬?yīng)力大?。?a)xxyxyyxy設(shè) 由于由于A1 、A2兩點(diǎn)位于應(yīng)力圓同一直徑的兩端，因而在單元體上這兩

19、點(diǎn)位于應(yīng)力圓同一直徑的兩端，因而在單元體上這兩個(gè)主平面是互相垂直的。圓周上兩個(gè)主平面是互相垂直的。圓周上Dx點(diǎn)到點(diǎn)到A1點(diǎn)所對(duì)的圓心角為順點(diǎn)所對(duì)的圓心角為順時(shí)針轉(zhuǎn)的時(shí)針轉(zhuǎn)的2 0 0 ，則在單元體上也由，則在單元體上也由x軸按順時(shí)針量取軸按順時(shí)針量取 0 0，這就確定，這就確定了了1所在主平面的外法線，而所在主平面的外法線，而2所在主平面的外法線則與之垂直。所在主平面的外法線則與之垂直。主平面方位：主平面方位：0121202OB1xDyDB2CA2A1(b)101tan212xxxyB DCB022arctanxxy得得(9-5)(a)xxyxyyxy設(shè)由該式算出由該式算出 0值即可確定值即可

20、確定1所在所在主平面的方位。主平面的方位。例例9-3 求求C偏左橫截面上偏左橫截面上a、b兩點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主平面方兩點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主平面方位。位。Iz 88106mm4。1.6m0.4mBAC230kNF M73.6kN.mSFkN4618427015159120yzba184kN,73.6kN msCCFMabab解：解： 1. C偏左橫截面正應(yīng)力偏左橫截面正應(yīng)力和切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示。和切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示。a點(diǎn)處的應(yīng)力為點(diǎn)處的應(yīng)力為27015159120yzba3612473.6 10 N m 0.135m88 1010mCaxzM yISCzaxzF SdI393120mm 1

21、5mm 135mm 7.5mm256500mm256500 10 mzaS6112.9 10 Pa112.9MPa39366124184 10 N256500 10 m59.6 10 Pa59.6MPa0.009m88 1010mb點(diǎn)的應(yīng)力為點(diǎn)的應(yīng)力為 其中其中 ,max0,SCzxxzF SdI 3,max120mm 15mm 135mm 7.5mm135mm 9mm 67.5mm338512.5mmzS39366124184 10 N338512.5 10 m78.6 10 Pa78.6MPa0.009m88 1010mx2圍繞圍繞a點(diǎn)用兩個(gè)相點(diǎn)用兩個(gè)相鄰橫截面和兩個(gè)與中鄰橫截面和兩個(gè)與中

22、性層平行的相鄰縱截性層平行的相鄰縱截面取出一單元體。面取出一單元體。23.3133122112.9MPa56.5MPa, = 56.559.682.1MPa2OCR1156.5MPa82.1MPa138.6MPaOCCA20382.1MPa56.5MPa25.6MPa 00059.6tan21.0530,246.5 ,23.356.5oo112.9MPax59.6MPaxOxDyDC1A3A02Bxxyxya4513311178.6MPaxOA3378.6MPaxOA 2000290 , 45oo3圍繞圍繞b點(diǎn)用兩個(gè)相鄰橫截面和兩個(gè)與中性層平行的相鄰縱點(diǎn)用兩個(gè)相鄰橫截面和兩個(gè)與中性層平行的相鄰

23、縱截面取出一單元體。截面取出一單元體。xyxyb78.6MPax0 xOxDyD1A3A02例例9-4 圖圖a所示單元體已知所示單元體已知 ， ， 求主應(yīng)力的值及主平面方位。求主應(yīng)力的值及主平面方位。30MPaxy=20MPa100MPax 解：按選定的比例尺，確定解：按選定的比例尺，確定 兩點(diǎn)，畫(huà)出兩點(diǎn)，畫(huà)出應(yīng)力圓如圖應(yīng)力圓如圖b所示。所示。100,30 ,20, 30 xyDDxDyD22A3AO2B1BC32(b)121002040MPa, 402060MPa2CBCBOC22304050MPaxRCD1230,605010MPa,6050110MPa 30tan2,236.9 ,18.

24、540oo由由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)18.5確定確定 的方向。主平面如圖的方向。主平面如圖a所示。所示。3xxy(a)x18.523例例9-5 圖（圖（a）所示單元體的）所示單元體的 ， ， 試試?yán)脩?yīng)力圓求利用應(yīng)力圓求 和和 。30MPa=20MPa80MPaxy80yxyn3020O80,0 xD30,20DByyDC垂直平分線垂直平分線2tanxBDBD205021.821802 21.8136.4 68.2故故2 21.843.6a2029MPsin43.6R 故故a802 2922MPy （a）6030MPa30MPa15MPa15MPa練習(xí)：試用應(yīng)力圓求該點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面方位。練

25、習(xí)：試用應(yīng)力圓求該點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面方位。1D2DO1A2A211D2DC120120應(yīng)力圓中應(yīng)力圓中D1到到D2應(yīng)應(yīng)該轉(zhuǎn)該轉(zhuǎn)240305 338.66MPa, 10 317.32MPaOCR12338.66 17.3255.98MPa,38.66 17.3221.34MPa,012408-3 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 考察與考察與 2主平面垂直的任意斜截面主平面垂直的任意斜截面abcd上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。 2所在的所在的兩個(gè)平面上的力是自相平衡力系，兩個(gè)平面上的力是自相平衡力系，abcd斜截面的應(yīng)力斜截面的應(yīng)力 和和 與與 2無(wú)關(guān)，僅由無(wú)關(guān)，僅由 1和和 3來(lái)決定。來(lái)決定。2

26、13(a)abcd(b)213abcd2A1A3132A2 D(c)O 與與 1（或（或 3 ）主平面垂直的任一斜截面上的應(yīng)力，可由）主平面垂直的任一斜截面上的應(yīng)力，可由s2、s3（或（或s1、s2 ）所確定的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示）所確定的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示egfA1A3132A2 D(c)OmaxBBminC213(a)最大應(yīng)力圓上最大應(yīng)力圓上A1及及A3點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1 1及及 3 3就分別代表單元體中的就分別代表單元體中的最大及最小正應(yīng)力，即最大及最小正應(yīng)力，即max1min3, （9-6）而最大應(yīng)力圓上而最大應(yīng)力圓上B點(diǎn)的縱坐標(biāo)即該圓的半徑就代點(diǎn)的縱坐標(biāo)即該圓的半徑就代表

27、單元體的最大切應(yīng)力，即表單元體的最大切應(yīng)力，即13max2（9-7） max作用面：作用面：與與 2主平面垂直且與主平面垂直且與 和和 的主平面各成的主平面各成 角角1345213max45(d)min（9-6）、（）、（9-7）式同樣適用于平式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)和單面應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)向應(yīng)力狀態(tài)例例9-6 求主應(yīng)力、主平面；最大切應(yīng)力及其作用面。求主應(yīng)力、主平面；最大切應(yīng)力及其作用面。解：這是特殊情況的三向應(yīng)力狀態(tài)解：這是特殊情況的三向應(yīng)力狀態(tài),z z面上切應(yīng)力等于零，面上切應(yīng)力等于零， 是已知的一個(gè)主應(yīng)力。另外兩個(gè)主應(yīng)力由是已知的一個(gè)主應(yīng)力。另外兩個(gè)主應(yīng)力由x面和面和y面上的應(yīng)力決

28、定面上的應(yīng)力決定的應(yīng)力圓確定，并按主應(yīng)力的代數(shù)值排定其順序。的應(yīng)力圓確定，并按主應(yīng)力的代數(shù)值排定其順序。40MPaz 2230MPa, 305058.3MPaOCR12358.33028.3MPa,40MPa,3058.388.3MPa 50tan21.667,259.04 ,29.530oo 由由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 確定確定 所在的主平面，所在的主平面， 主平面與主平面與 主平主平面垂直。面垂直。29.531328.388.358.3MPa2 作用面位置如圖所示。作用面位置如圖所示。29.531max6050 xy45231COA1A3xDyDBmax13max240MPa60MPa50

29、MPazxy練習(xí)：利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其作用面方位。練習(xí)：利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其作用面方位。C1Omaxmax45解：繪應(yīng)力圓如圖解：繪應(yīng)力圓如圖ma x2 作用面位置如圖。作用面位置如圖。max123,0 a80MPa50MPxyzmaxa50MPxy練習(xí)：利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其作用面方位。練習(xí)：利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力及其作用面方位。2OxDyD2A3A3a80MPz是主應(yīng)力之一ma xa50MP1a2a3a80M P ,50M P ,50M P 234511A13ma xa805065M P22 13245ma x9-4 應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系應(yīng)力

30、和應(yīng)變之間的關(guān)系一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律首先復(fù)習(xí)單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律首先復(fù)習(xí)單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律xzxy 在在 作用下，單元體沿作用下，單元體沿x方向伸長(zhǎng)，方向伸長(zhǎng)，沿沿y和和z z方向均縮短，當(dāng)方向均縮短，當(dāng) 時(shí)時(shí)xxP, , xxxxyzEEE 在小變形時(shí)，在小變形時(shí)， 不產(chǎn)生不產(chǎn)生x和和y方向方向的線應(yīng)變，要產(chǎn)生的線應(yīng)變，要產(chǎn)生 。xxP, xxGGyxx1.三向應(yīng)力狀態(tài)胡克定律三向應(yīng)力狀態(tài)胡克定律各向同性材料，線彈性，小變形時(shí)，可用疊加法求主應(yīng)變各向同性材料，線彈性，小變形時(shí)，可用疊加法求主應(yīng)變1,2,3iiiii33121vE11231

31、vE22311vE(98a)132主應(yīng)變主應(yīng)變 31211223313E 11E 12E 23E 21vE 22E 33E31E 32E 用主應(yīng)變表示主應(yīng)力的形式為用主應(yīng)變表示主應(yīng)力的形式為1123111 2Evvvv2231111 2Evvvv3312111 2Evvvv(98b)公式公式(9-8)稱為稱為廣義胡克定律廣義胡克定律2.平面應(yīng)力狀態(tài)胡克定律（重點(diǎn)掌握）平面應(yīng)力狀態(tài)胡克定律（重點(diǎn)掌握）a) 主應(yīng)力形式，設(shè)主應(yīng)力形式，設(shè) 30312vE 1121vE2211vE(99a)11221Ev22121Ev(99b)12主應(yīng)變主應(yīng)變 312b) 非主應(yīng)力形式（比較常見(jiàn)）非主應(yīng)力形式（比較常

32、見(jiàn)）xxyyxxy21xxyEvv21yyxEvv(911)x 不會(huì)產(chǎn)生不會(huì)產(chǎn)生x、y方向方向的線應(yīng)變的線應(yīng)變(要產(chǎn)生其它要產(chǎn)生其它方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變)1xxyvE1yyxvE（ ）90901vE901vE或或例如：例如：3030601ooovE4545451ooovE30o45o課堂練習(xí)課堂練習(xí)1已知已知 、E、v，求，求 。3030CO230D260D603030601oooE301313444oEE306031,44oo CO245D245D(C)O45D45D454545, 22oo4511121222ovvvEE4545451ooovE2已知已知 、E、v，求，求 。459-5

33、 平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力一、主應(yīng)力方向已知的平面應(yīng)力狀態(tài)一、主應(yīng)力方向已知的平面應(yīng)力狀態(tài) 當(dāng)測(cè)點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力方向已知時(shí)，可用電測(cè)法測(cè)出這兩個(gè)主當(dāng)測(cè)點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力方向已知時(shí)，可用電測(cè)法測(cè)出這兩個(gè)主應(yīng)變，然后利用廣義胡克定律即可求出主應(yīng)力值。應(yīng)變，然后利用廣義胡克定律即可求出主應(yīng)力值。pCC12dp 例如受內(nèi)壓力作用的圓筒形薄壁容器，由于兩端的內(nèi)壓力使圓例如受內(nèi)壓力作用的圓筒形薄壁容器，由于兩端的內(nèi)壓力使圓筒部分產(chǎn)生軸向拉伸，因而圓筒的橫截面上作用有均勻分布的拉筒部分產(chǎn)生軸向拉伸，因而圓筒的橫截面上作用有均勻分布的拉應(yīng)力；筒壁的徑向內(nèi)壓力使圓筒

34、的直徑增大，因而在圓筒部分的應(yīng)力；筒壁的徑向內(nèi)壓力使圓筒的直徑增大，因而在圓筒部分的徑向截面上也將作用有拉應(yīng)力。如果在圓筒部分的外表面上某點(diǎn)徑向截面上也將作用有拉應(yīng)力。如果在圓筒部分的外表面上某點(diǎn)處，用橫截面、徑向截面和周向截面取出一單元體，它就是該點(diǎn)處，用橫截面、徑向截面和周向截面取出一單元體，它就是該點(diǎn)處的主單元體。處的主單元體。1211221Ev22121Ev(99b)例例97 d=40mm,測(cè)得測(cè)得C點(diǎn)點(diǎn) ，求，求外扭矩外扭矩 Me。645625 10 ,210GPa, =0.3oE C4545eMxxyC解：圓桿橫截面上解：圓桿橫截面上C點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為316expMTWd由前面可知其主應(yīng)力方向與由前面可知其主應(yīng)力方向與x軸成軸成 ，主單元體如圖所示，主單元體如圖所示45123, 0, xx 345o451oxE 345116oeEdM45x1311xxxvvEE 311vE316eMd451oE3693625 10210 10 Pa0.04m1.27 10 N m=1.27kN m16 1 0.3二、主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài)二、主