1、大 連 民 族 學(xué) 院 本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文）信號(hào)稀疏表示方法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)學(xué) 院（系）： 機(jī)電信息工程學(xué)院 專 業(yè)： 自動(dòng)化 學(xué) 生 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 指 導(dǎo) 教 師： 評(píng) 閱 教 師： 完 成 日 期： 2014年6月13日 大連民族學(xué)院摘 要隨著信息技術(shù)的發(fā)展，人們需求越來越多的日常信息，信號(hào)處理的要求也高，這就要求更好的選擇，對(duì)信號(hào)處理的更巧妙的方法。做相同的事情，當(dāng)然是使用的方法越簡單越好。近些年來，稀疏表示在信號(hào)處理及應(yīng)用領(lǐng)域中處于很重要的位置。本文的目的是通過稀疏表示方法來描述一個(gè)信號(hào)，即用少量的基本信號(hào)來表示出大部分或者全部原始信號(hào)。本文使用匹配追蹤（Matching

2、Pursuit, MP）算法來進(jìn)行信號(hào)的稀疏分解。本文對(duì)稀疏表示方法與傅里葉表示方法進(jìn)行了比較，并利用MATLAB進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明，在稀疏信號(hào)的表示方面，稀疏表示方法性能更優(yōu)。關(guān)鍵詞：匹配追蹤；傅里葉變換；稀疏表示；信號(hào)處理- I -信號(hào)稀疏表示方法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)AbstractWith the information technology developed, people demand more and more routine information ,required signal processing is also high, which requires a better c

3、hoice for signal processing, more subtle ways.Do the same thing, of course, the method used simple as possible. In recent years, the sparse representation is very important in the field of signal processing and application.The purpose of this paper is to describe the sparse representation by a signa

4、l , that using a small amount of basic signal showing most or all of the original signal.This article uses the matching pursuit (Matching Pursuit, MP) algorithm for sparse signal decomposition.In this paper, the sparse representation and Fourier representation methods are compared, and using MATLAB

5、simulation conduct experiments. The results show that the sparse representation of better performance in the sparse signal presentation.Key Words：Matching Pursuit; Fourier transform；Sparse representation；Signal Processing- III -目 錄摘 要IAbstractII1 緒論11.1 研究背景和意義11.2本文的主要工作12信號(hào)的稀疏分解22.1 稀疏表示的概念22.2 信號(hào)

6、的表示22.4稀疏表示的好處33稀疏表示方法53.1 傅里葉變換53.2快速傅里葉變換64 信號(hào)的稀疏表示方法設(shè)計(jì)84.1 匹配追蹤稀疏分解84.2 信號(hào)構(gòu)造85 實(shí)驗(yàn)分析總結(jié)105.1傅里葉變換105.2 實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析115.3實(shí)驗(yàn)總結(jié)17結(jié) 論18參 考 文 獻(xiàn)19附錄A 傅里葉變換及MP算法20致 謝24信號(hào)稀疏表示方法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)1 緒論1.1 研究背景和意義當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)計(jì)算機(jī)技術(shù)、多媒體技術(shù)進(jìn)步相當(dāng)?shù)目?，可謂是日新月異，隨著這些技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，人們對(duì)信息的需求也是越來越大，為了滿足人們對(duì)信息的需求，這樣一來，媒體數(shù)據(jù)日益增多。媒體數(shù)據(jù)主要以圖像和視頻為主。這些圖像和視頻都是以一些

7、簡單的信號(hào)為基礎(chǔ)的，沒有簡單的信號(hào)，這些也難以發(fā)展。任何復(fù)雜事物都是由簡單的事物所構(gòu)成，如果復(fù)雜的事物理解不了，就可以把復(fù)雜的事物分細(xì)，分成簡單的事物，這樣就容易理解。這就要求對(duì)簡單的事物要做全面深入的理解，做到最好。這樣復(fù)雜的事物就再也不是問題了，就可以解決。這就說明了基本信號(hào)的處理是一切其他高端復(fù)雜信號(hào)處理的基礎(chǔ)。近些年來，稀疏表示已經(jīng)成為信號(hào)處理和信號(hào)應(yīng)用領(lǐng)域中處于第一位的概念之一。稀疏表示在很多的科學(xué)領(lǐng)域，如編碼和信息論，信號(hào)采集處理，醫(yī)學(xué)成像，及和地理和航天數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域中都得到應(yīng)用。由于信號(hào)的數(shù)據(jù)量極大，如何高效的表示視頻信息已經(jīng)是多媒體技術(shù)的關(guān)鍵。所以稀疏表示將發(fā)揮了它的重要作用

8、，在很多領(lǐng)域內(nèi)都是必不可少的。1.2本文的主要工作本文在研究人員的基礎(chǔ)上，根據(jù)信號(hào)處理的基本原理，做一個(gè)稀疏表示方法的設(shè)計(jì)。在這一個(gè)過程當(dāng)中，文章的主要重點(diǎn)是如何實(shí)現(xiàn)一個(gè)信號(hào)的稀疏分解以及怎樣把這個(gè)信號(hào)用幾個(gè)點(diǎn)稀疏表示出來，并從以下幾個(gè)方面來說明和研究。（1）分析和找出信號(hào)用不同的方法來表示的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。首先分析信號(hào)基于過完備字典的稀疏表示方法的原理是什么，然后再分析實(shí)現(xiàn)方法。本文是以匹配追蹤為例，來分析信號(hào)稀疏分解的算法復(fù)雜程度，并且提出MP算法。稀疏分解方法大大降低了算法復(fù)雜程度和減少了計(jì)算量。（2）用實(shí)驗(yàn)的方法來得出結(jié)果，然后用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析說明稀疏表示的好處。本文是用稀疏的表示方法設(shè)計(jì)

9、兩個(gè)信號(hào)疊加之后再把它的原始信號(hào)用幾個(gè)經(jīng)過稀疏之后的點(diǎn)給表示出來，也就是所說的稀疏表示。2信號(hào)的稀疏分解在信號(hào)處理的研究中，對(duì)信號(hào)表示方法的研究是一個(gè)最根本的研究問題，這將涉及到很多關(guān)于信號(hào)處理的問題。但是現(xiàn)實(shí)的研究當(dāng)中，世界上的各種自然現(xiàn)象的混合體可以是一個(gè)信號(hào)，傳統(tǒng)的現(xiàn)象用正交變換很難實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的有效表示，給信號(hào)的研究造成了很多研究方面的困難?！八詾榱耸棺匀恍盘?hào)有效地表示出來，前人在小波分析的基礎(chǔ)上，S.Mallat和Z.Zhang最早提出了基于過完備字典可以稀疏分解方法，并介紹了匹配追蹤算法，指出了信號(hào)處理研究的道路”1。2.1 稀疏表示的概念“稀疏表示又稱壓縮感知。也就是用較少的基本

10、信號(hào)的線性組合來表達(dá)大部分或者全部的原始信號(hào)稱為原始信號(hào)的稀疏表示”2 。其中，最基本的信號(hào)稱為原子，是從一個(gè)超完備字典當(dāng)中挑選出來的；而過完備字典則是由個(gè)數(shù)超過信號(hào)維數(shù)的原子聚集而來?？梢姡我恍盘?hào)在不同的原子組下有不同的稀疏表示。稀疏表示最重要思想是這樣的，即在一個(gè)非常之大的訓(xùn)練空間樣本之內(nèi)，對(duì)于其中一種類別的東西，這樣就可以大致的由訓(xùn)練樣本中的同類的樣本子空間來作線性表示，因此，當(dāng)對(duì)象是整個(gè)示例表顯示的樣本空間的時(shí)候，表示的系數(shù)是稀疏的。這是稀疏表示一個(gè)假設(shè)的重要思想，然后再進(jìn)行具體分析的基礎(chǔ)。通過這些對(duì)稀疏表示的描述，可以將稀疏表示抽象成一個(gè)方程式： （2.1）這個(gè)稀疏指的是上述方程的

11、系數(shù)向量稀疏，是我們選擇的目標(biāo)樣本，A是一個(gè)作為訓(xùn)練樣本的空間。所以要進(jìn)行解決上述所說的問題時(shí)，就是要求我們把上面所說的方程給求解出來，求解上面方程的要求是x是稀疏的。2.2 信號(hào)的表示信號(hào)研究和處理中，頻域表示和時(shí)域表示這兩種表示形式是信號(hào)表示的最基本形式。如果在時(shí)域中來描述信號(hào)，時(shí)域可以直觀的分辨出信號(hào)的幅值變化，信號(hào)的連續(xù)性，和信號(hào)的變化快慢這些特征。但是在對(duì)于信號(hào)的處理研究中，我們更多的時(shí)候是要借助頻域的表示來研究信號(hào)?！耙?yàn)闀r(shí)域內(nèi)信號(hào)的很多特征不能得到清晰的表示出來”3。尤其是在人們提出快速傅里葉變換這種變換方法之后，在頻域中分析信號(hào)變成了一種很重要的工具。2.3信號(hào)的稀疏表示在信號(hào)

12、的研究和處理中，不僅要關(guān)注信號(hào)在頻域中的不同表示方法，同時(shí)也要關(guān)注頻域信號(hào)在頻域中的有效表示程度，總是需要需找一種最簡潔的方法來表示，這種方法不但要簡潔還要靈活、自適應(yīng)性強(qiáng)，這樣對(duì)以后的處理工作將會(huì)帶來很大的方便，同時(shí)處理數(shù)據(jù)的時(shí)候也不是太麻煩，處理成本也會(huì)降低很多，這樣一來效率就會(huì)提高了。但是如果要用傳統(tǒng)的方法來表示這些信號(hào)，可能會(huì)遇到很多實(shí)際信號(hào)不能有效的表示出來。因?yàn)檫@些信號(hào)都是自然現(xiàn)象當(dāng)中的復(fù)雜集合體?！熬捅热缯f，一個(gè)含有正弦波型和鋸齒波型的混合信號(hào)，無論是采用正弦基還是采用鋸齒基都很難有效的表示出來”4。這需要人們?nèi)ふ乙环N更加新的信號(hào)表示（基于過完備字典的稀疏表示方法）方法。這一則

13、理論最先是由S.Mallat和Z.Zhang提出，并引入了匹配追蹤算法。先設(shè)定一個(gè)集合,中的所有元素為整個(gè)Hillbert空間的單位矢量，,集合為原子庫，是庫中的原子。假如為Hillbert空間的任意信號(hào)，在中通過自適應(yīng)地方式尋找個(gè)原子，使得 （2.2）其中，為的項(xiàng)逼近，定義逼近誤差為 (2.3)這種逼近由于，所以稱之為稀疏逼近，當(dāng)較小或者在實(shí)際允許的范圍內(nèi)時(shí)，這種逼近過程就可以稱為稀疏分解，系數(shù)為信號(hào)的稀疏表示。2.4稀疏表示的好處信號(hào)中包含了很多的數(shù)據(jù)，所以要從中找到所需的信息堪比大海撈針?！跋∈璞硎緞t是通過少量的系數(shù)來揭示需要找的信息，所以這是一種快速而簡單的信號(hào)處理方法，可以通過在一個(gè)

14、稱為字典的基本波形里對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解來構(gòu)造稀疏表示”5。熟悉的信號(hào)表達(dá)方式的種類很多，比如小波變換，傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換，離散余弦變換等等。但是這種的變換方式也解決不了不管哪一種信號(hào)及其自身在變換域上的表示時(shí)固定的，如果某種信號(hào)的特征完全不適應(yīng)這組基函數(shù)，那么就不能夠得到所想要的稀疏表示。把給那些給定了的信號(hào)在我們知道的函數(shù)(或矢量)集合上來進(jìn)行分解, 然后在變換域上表達(dá)出原始信號(hào)這就是所說的信號(hào)的稀疏表示。這種在變換域上用盡量少的基函數(shù)來(準(zhǔn)確地)表示原始信號(hào), 就是信號(hào)的稀疏表示, 而得到信號(hào)的稀疏表示過程就是稀疏分解。3稀疏表示方法3.1 傅里葉變換傅立葉變換是那些滿足一個(gè)函數(shù)能表示

15、為一個(gè)簡單的三角函數(shù)的某些特定條件下（正弦或余弦函數(shù)）的功能點(diǎn)的線性組合。傅里葉變換是信號(hào)發(fā)展和處理中的里程碑，傅里葉變換使信號(hào)分析和處理中的定量分析成為可能。設(shè)為一維信號(hào)，它的傅里葉變換為 （3.1）傅里葉反變換為 （3.2）利用傅里葉變換，許多在時(shí)域難以分析和處理的問題便可以得到解決。傅里葉變換作為信號(hào)描述的第二語言，傅里葉變換在信號(hào)時(shí)域分析中有很多優(yōu)點(diǎn)。由于這些優(yōu)點(diǎn)，傅立葉變換被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。但是，任何事物都有兩面性，有好的一面也有不好的一面，這就要看我們需要的部分占的比例了?！案道锶~變換一樣，有一定的局限性，傅里葉變換只針對(duì)平穩(wěn)信號(hào)起作用，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理就無能為力了，它只針對(duì)

16、全局性的，對(duì)實(shí)時(shí)發(fā)生變換的信號(hào)無能為力”6。傅里葉變換這個(gè)原理的提出可以追溯到19世紀(jì)，傅里葉變換最基本的原理是用少量基本的信號(hào)來表示大部分信號(hào)或者全部的信號(hào)，就比如像錄音這樣的信號(hào)，都可以這樣表示為一系列頻率不相同和波幅不相同的正弦波和余弦波的組合形式?！案道锶~變換就是把有限能量分解到正交基上去（）”7。這個(gè)有利于它的表示，因?yàn)檎换硎颈容^方便，不像其他表示表示方法那樣復(fù)雜，難懂，難計(jì)算。正交基是一個(gè)簡單的表示方法，所以把有限能量分解到正交基上式一種大家都熱衷的一種形式。傅里葉變換用到的基本形式（，很容易。不管是計(jì)算方面還是分析方面，因?yàn)檫@些基本形式的函數(shù)大家都明白，可能從小研究的都是這些

17、基本函數(shù)，在我們的腦海里已經(jīng)把它理解的很透徹了。所以這樣分析起來就會(huì)相對(duì)容易得多，不像那些復(fù)雜的函數(shù)，要經(jīng)過很多的研究，還不一定研究得懂。所以這就是傅里葉變換的優(yōu)勢(shì)所在了。在頻域分析的時(shí)候，傅里葉變換的形式很單一，可以從幾個(gè)方面就可以把它分析好，這種分析簡單明了。傅里葉可以把一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)，分解成很多的簡單信號(hào)疊加的形式，這樣分析的時(shí)候就可以只分析那些簡單易懂的信號(hào)， 這是在頻域當(dāng)中，但是在時(shí)域當(dāng)中就不可以這么做了，因?yàn)楦道锶~變換只能在頻域中有這么方便的作用，也才能發(fā)揮它的優(yōu)勢(shì)。傅里葉變換之后可以看到幅值，頻率，還有相位，用這些參數(shù)來分析一個(gè)信號(hào)，顯而易見，這樣分析就簡單得多，因?yàn)檫@些可以在坐

18、標(biāo)中清晰的表示出來，不像在時(shí)域中，只能看到時(shí)間，具體的變換還得我們自己想象，想象的東西往往很抽象，不是太具體明了，有具體明了的表示方法，所以顯然要用這種簡單具體的方法，就要求用些簡單易懂的方法來做，這樣才能讓用這種方法的人，容易懂，一看就明白?！霸陬l域的分析中擁有唯一的性質(zhì)，傅里葉變換具有非常好的局部化能力，但是要在時(shí)域中傅里葉變換就沒有局部化能力了，也就是無法從的傅里葉變換中看出在任意一時(shí)間點(diǎn)周圍的性質(zhì)形態(tài)”8。事實(shí)上，是關(guān)于頻率為的諧波分量的振幅，在傅里葉展開式中，它是由的整體的性態(tài)所決定的。“小波變換是傅里葉變換在短的純數(shù)學(xué)的發(fā)展，理論和實(shí)踐相結(jié)合的完美的代碼具有良好的時(shí)間分辨率和頻率分

19、辨率，它能夠不斷的聚焦到所研究對(duì)象的任意微小細(xì)節(jié)具有卓越的突變點(diǎn)檢測(cè)能力”9。3.2快速傅里葉變換離散傅里葉變換的一種非?？焖俚乃惴?，這種方法有效簡單，就是所說的快速傅里葉變換，雖然快速傅里葉變換并沒有什么創(chuàng)新，也沒有什么特殊的作用，而且還有一些缺點(diǎn)，但是在計(jì)算系統(tǒng)中它卻有很大的作用，因?yàn)橛?jì)算快速，即便可能計(jì)算量稍微大了一點(diǎn)，但也可以所在這個(gè)領(lǐng)域里面也算是更進(jìn)了一步。這對(duì)以后的發(fā)展也很有作用，這對(duì)要求計(jì)算速度來說，已經(jīng)很好用了。傅里葉變換的計(jì)算量太大了，那么用這種方法來對(duì)頻譜分析和信號(hào)的實(shí)時(shí)處理是不太合理也不太切實(shí)際。所以人們發(fā)現(xiàn)了一種很快速的傅里葉變換算法，也就是快速傅里葉變換。這種算法大大

20、提高了運(yùn)算效力，還減少了運(yùn)算量?？焖俑盗⑷~變換是傅立葉變換的長序列的傅立葉變換的幾種簡單的系列，然后利用對(duì)稱的周期性因素和因子降低傅立葉變換計(jì)算。“還有就是傅里葉變換運(yùn)算比較節(jié)省存儲(chǔ)空間，這樣就降低了設(shè)備成本”10。3.3稀疏分解的種類Sparse Coding（稀疏編碼或稀疏分解）是找出很少一部分重要的系數(shù)來表示原始信號(hào)的技術(shù)，稱為稀疏分解；為原始信號(hào)從任意一個(gè)字典中尋找最稀疏的表示最常用的方法有：（1）貪婪算法，比如閾值方法、匹配追蹤（MP）、弱匹配追蹤（WMP）、正交匹配追蹤（OMP）等；（2）松弛算法。他們當(dāng)中各有各自的特點(diǎn)，先說松弛算法的特點(diǎn)，即是精度高，但速度慢；然后貪婪算法的特點(diǎn)

21、是速度快，精度相對(duì)較低。4 信號(hào)的稀疏表示方法設(shè)計(jì)4.1 匹配追蹤稀疏分解經(jīng)過科學(xué)計(jì)算的一步一步的發(fā)展，信號(hào)處理方面也有了很大進(jìn)步，發(fā)展到現(xiàn)在為止，已經(jīng)有很多種信號(hào)稀疏分解的算法了，現(xiàn)在列舉一下比較常見的方法，小波變換、傅里葉變換、正交匹配追蹤、閥值方法、弱匹配追蹤快速傅里葉變換、匹配追蹤等等。匹配追蹤就是本文所重點(diǎn)描述的方法了，也是本文的核心內(nèi)容。匹配追蹤與傅里葉變換相比，雖然計(jì)算量相對(duì)要大一點(diǎn)，但是它計(jì)算的精度很高，而且顯示的東西都是在頻域當(dāng)中，這個(gè)時(shí)候匹配追蹤在信號(hào)當(dāng)中的表示更明確，更接近真實(shí)的信號(hào)，所以選用了匹配追蹤來對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解。但是這種計(jì)算依然很繁瑣，所以就要有能夠求解局部最

22、優(yōu)解來代替 求全局最優(yōu)解的貪婪算法，這種算法可以減少計(jì)算的復(fù)雜程度?！柏澬乃惴∕P算法是一種迭代算法，在每次迭代過程中MP算法，是選擇一個(gè)最佳匹配原子從完整的字典形成原子近似處理的信號(hào)結(jié)構(gòu)”11。匹配追蹤是現(xiàn)在已有的稀疏分解算法中復(fù)雜度比較低的算法，盡管他是貪婪算法?！氨M管使用了一些線性規(guī)劃方法，基追蹤法因?yàn)橐谒乃凶值湎蛄康牟煌慕M合當(dāng)中尋找滿足成立的最優(yōu)解，但是這些算法還是很復(fù)雜，所以采用能夠求解局部的最優(yōu)的貪婪算法來取代全局最優(yōu)解”12。這樣就可以減少很多計(jì)算量了。4.2 信號(hào)構(gòu)造設(shè)一原始時(shí)間信號(hào)為，設(shè)一組基本函數(shù)為，則可以由線性表示 （4.1）其中為變換系數(shù)。“式（3.2）是信號(hào)在

23、頻域當(dāng)中的一種普通的表達(dá)方式，不相同的頻域表達(dá)方式也只需要選擇不同的基本函數(shù)”12?！皩?duì)信號(hào)的研究，根據(jù)研究的要求和目的，選擇基本函數(shù)很重要”13。通常說，根據(jù)基本函數(shù)的選擇，可以將頻域表示分為兩種方式，第一種是基于完備正交基的正交線性變換，另一種是基于過完備原子庫的稀疏變換?！耙沟姆纸膺^程為正交分解，就必須是基本函數(shù)為一組兩兩正交的函數(shù)“14。假如我們?cè)O(shè)為維的向量空間，空間向量中的任意個(gè)線性不相關(guān)的向量為，那么也就是說空間向量中的任意一個(gè)向量都可以用基函數(shù)來作線性表示，但是這種表示僅有的。 （4.2）用矩陣表示時(shí)為 (4.3)A為展開系數(shù)，因?yàn)镻是可逆的，因此 （4.4）正交變換主要包括傅

24、里葉變換、短時(shí)傅里葉變換、小波變換等。在信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用。這個(gè)就不多說了，我下面以實(shí)驗(yàn)的方式來說明這個(gè)問題。5 實(shí)驗(yàn)分析總結(jié)5.1傅里葉變換函數(shù)的傅立葉變換就是它能夠把一個(gè)信號(hào)經(jīng)過變換之后，最后變換到頻域。因?yàn)橛幸恍┬盘?hào)在時(shí)域上表示的時(shí)候很難看出它的具體的特征，也許你根本就看不出它的特征，特征是什么樣都不知道，這就很難對(duì)它進(jìn)行研究了。但是把它變換到頻域之后，這樣一來，該信號(hào)有什么特征將很明顯的看出來了，這樣對(duì)我們的研究就非常方便簡潔了。剛好傅里葉變換就是把在時(shí)域上表示的信號(hào)變換到頻域上面來，這就容易看出給信號(hào)的特征了，這樣對(duì)信號(hào)的研究就會(huì)變得更加簡潔方便了，也就節(jié)省了研究的時(shí)間。所以

25、都喜歡在處理信號(hào)的時(shí)候把需要處理的信號(hào)經(jīng)過傅里葉變換，把它變換到頻域上來處理。   現(xiàn)在就用一個(gè)實(shí)際的例子來說明一下傅里葉變換的重要意義，在實(shí)際當(dāng)中是怎么用的，看看上述的觀點(diǎn)是否正確。采樣定理告訴，采樣的頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些就是不常說的耐克斯為采樣定理。在此就不作詳細(xì)的解釋了。數(shù)字信號(hào)采樣后，可以做傅里葉變換?！斑x取N個(gè)采樣點(diǎn)之后，經(jīng)過傅里葉變換之后，這樣就能夠得到N個(gè)采樣點(diǎn)的傅里葉變換的結(jié)果了”15?！盀榱擞?jì)算方便，一般情況是用N取2的整數(shù)次方”16。 先構(gòu)造一個(gè)信號(hào)，讓這個(gè)信號(hào)的采樣頻率為Fs，這個(gè)信號(hào)的頻率為F，對(duì)這個(gè)信號(hào)采集N個(gè)點(diǎn)。則該

26、信號(hào)的傅里葉變換就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率點(diǎn)。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：。那么由這個(gè)公式就可以看出，F(xiàn)s/N就是Fn所分辨到的頻率了。對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行匹配追蹤計(jì)算?！跋葮?gòu)造一個(gè)函數(shù)，其中是給出來的已知函數(shù)，是建立的一個(gè)過完備字典，是一系列采集的點(diǎn)的集合”17。對(duì)于采樣數(shù)列則稱 （5.1）即 為列數(shù)，的離散傅里葉變換，為了方便表示，零，則可以寫成矩陣形式： (5.2)如果設(shè)為的傅里葉變換，則 (5.3)求出說有的的值，從其中選擇幾個(gè)不為零的數(shù)，這幾個(gè)說就能表示出這個(gè)信號(hào)了。這就是所說的稀疏表示，即用少量的信號(hào)就可以表示大部分或者全部原始信號(hào)。這就是本論文的宗旨，本文的主題了。5.2

27、實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析下面以實(shí)驗(yàn)的方式做一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來做說明。假設(shè)有一個(gè)正弦信號(hào)，這個(gè)信號(hào)的頻率為100Hz，信號(hào)的振幅為1、信號(hào)的相位為0度，那用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示它。信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：。要以10000Hz的采樣頻率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，這個(gè)信號(hào)總共采樣1024個(gè)點(diǎn)。按照上面的分析，就能夠知道，n-1為第n個(gè)點(diǎn)的頻率，也就是1024點(diǎn)頻率。我們正弦信號(hào)當(dāng)頻率為100時(shí)，它的信號(hào)圖像如圖5.1所示。圖5.1頻率為100Hz的正弦信號(hào)另外假設(shè)另外一個(gè)信號(hào)，該信號(hào)的頻率為300Hz，幅度為1，相位為0度，信號(hào)的表達(dá)式如下：。從圖中可以看到，該信號(hào)在同一個(gè)周期內(nèi)變換明顯要快得多。圖5.2 頻率為300Hz

28、的正弦信號(hào)把頻率為100Hz的信號(hào)和頻率為300Hz的信號(hào)疊加起來，疊加起來就是把這些信號(hào)變成一個(gè)混合的信號(hào)。這個(gè)信號(hào)的表達(dá)式為 ，也就是。相同頻率的正弦波，相位固定不變，疊加結(jié)果取決于初始相位差，相位差為180°時(shí)，疊加結(jié)果達(dá)到最小值，為有效值相減；相位差為0°時(shí)，疊加結(jié)果達(dá)到最大值，為有效值相加；其它相位差時(shí)，結(jié)果介于差與和兩者之間。兩個(gè)信號(hào)疊加的仿真如圖5.3所示。 圖5.3 兩個(gè)信號(hào)疊加把這兩個(gè)正弦信號(hào)的疊加信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換。所疊加的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、100Hz、300Hz，這些頻率應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第101個(gè)點(diǎn)、第301個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0

29、。那么實(shí)際情況如何呢？變換結(jié)果如圖5.4所示。圖5.4 疊加信號(hào)傅里的葉變換對(duì)這個(gè)疊加的函數(shù)先進(jìn)行傅里葉變換，得到一個(gè)傅里葉變換函數(shù)，使這個(gè)函數(shù)變形成的形式，這里是字典矩陣，為一個(gè)向量的線性組合，是一組向量，如圖5.5所示：左邊矩陣是字典矩陣，又K個(gè)N維的列向量組成。根據(jù)K與N的關(guān)系的不同，可以化為不同的矩陣。第一步，用貪婪算法先找到最接近X的原子，這個(gè)原子等效于向量，然后再把這個(gè)最接近的原子保留下來，第二步，計(jì)算誤差滿不滿足要求，要是滿足的話就可以停止算法了，要是不滿足的話，我們計(jì)算出殘差，和第一步的步驟一樣，找到最接近殘差的向量原子，然后把它保留下來。最后，調(diào)整已選擇的向量的系數(shù)，使得最接

30、近X，重復(fù)第二步的操作。遍歷更新矩陣字典D中的每一列，如果滿足要求，則停止迭代。圖5.5 字典矩陣的這里就不詳細(xì)的列出來了。先將原始信號(hào)變換成公式（5.2）的形式，然后將規(guī)定的采樣點(diǎn)2048，采樣頻率為10000，然后將這數(shù)代入公式（5.2）中，然后經(jīng)過一系列變換之后，在MATLAB中仿真得到如圖5.6所示結(jié)果。圖5.6 MP算法的原始信號(hào)5.3實(shí)驗(yàn)總結(jié)假設(shè)的采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，那么在經(jīng)過傅里葉變換之后，任何一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率就是：；在仿真圖像中選擇幾個(gè)比較大的值，就可以表示整個(gè)信號(hào)的全部或者大部分值了，但是，傅里葉變換得出的仿真圖像，能量不是太集中，這就說明它有一定的誤

31、差，只能用稀疏逼近法來對(duì)這些誤差進(jìn)行特殊處理，得出一個(gè)大致等于所需要求的值，這樣也可以表示的原始信號(hào)，但是誤差還是比較大，表示不夠準(zhǔn)確。所以選用另外一種表示方法來表示了，就是用匹配追蹤算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，這種算法進(jìn)行仿真得出的能量圖，相對(duì)傅里葉變換得到的能量要集中一點(diǎn)，就是除了少部分不為零之外，其他的都為零，這個(gè)不為零的數(shù)據(jù)，就是所要求的，所需要的數(shù)據(jù)了。這樣匹配追蹤算法來表示原始信號(hào)，會(huì)比傅里葉變換來表示的誤差更小，更準(zhǔn)確，更有效。如果需要提高精確度的話，則需要增加采樣的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)越多越好，就越精確。但是要考慮計(jì)算量，所以合適就好。增加采樣點(diǎn)數(shù)算出來的值更接近理想的值，這個(gè)誤差會(huì)更小，更精確

32、。這樣少量的幾個(gè)非零數(shù)值來表示整個(gè)信號(hào)，就是的稀疏表示，這樣表示可以達(dá)到更高效率的表達(dá)。結(jié) 論本文主要用匹配追蹤算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，然后再把信號(hào)通過稀疏表示方法表示出來。經(jīng)過匹配追蹤算法與傅里葉變換對(duì)信號(hào)稀疏表示結(jié)果精確度的比較，得出了匹配追蹤算法的表示更加準(zhǔn)確。對(duì)各個(gè)概念進(jìn)行了一定的介紹。稀疏表示有很多種類，但是匹配追蹤算法是所以算法當(dāng)中比較簡單的一種算法了。信號(hào)一般都是在時(shí)域當(dāng)中表示，雖然用這種方法方便表示，但是對(duì)對(duì)信號(hào)性質(zhì)的分析不太方便，有好多性質(zhì)在時(shí)域當(dāng)中是很難看出來的，所以還得把這種表示方式變換到頻域當(dāng)中來，在頻域當(dāng)中就容易分析信號(hào)的特性了。所以一般情況對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的時(shí)候都是經(jīng)

33、過一定的變換把在時(shí)域當(dāng)中的表示的信號(hào)變換到頻域當(dāng)中來，也就是這個(gè)道理。把信號(hào)由時(shí)域當(dāng)中變換到頻域的方法有好多種，但是為了后續(xù)的計(jì)算方便，選擇了匹配追蹤算法。這種算法是目前為止最為簡單的算法。要對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，然后才能把信號(hào)進(jìn)行稀疏表示。信號(hào)稀疏分解的方法也同樣有很多種，比如傅里葉變換、小波變換、快速傅里葉變換、匹配追蹤等等，本文用了匹配追蹤算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行了稀疏分解，還有傅里葉變換。經(jīng)過這兩種方法的比較，這兩種方法相比較而言，匹配追蹤算法相對(duì)要簡單一點(diǎn)，殘差比較小，也就是說，匹配追蹤算法的精確度比較高，得出的信號(hào)稀疏表示更為準(zhǔn)確。匹配追蹤算法的能量分配是這樣的，除了幾個(gè)非零的值以外，其他值都

34、為零，用這些非零值來表示的信號(hào)，就要更加準(zhǔn)確明了。參 考 文 獻(xiàn)1 姜程.基于DSP的六相感應(yīng)電機(jī)矢量控制系統(tǒng)：（碩士學(xué)位論文）.重慶:重慶理工大學(xué),2011.2 郭俊嶺.基于DSP的信號(hào)采集與處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)：（碩士學(xué)位論文）.湖北:武漢理工大學(xué),2009.3 林中正.圖像稀疏表示方法設(shè)計(jì)及其在圖像檢索：（碩士學(xué)位論文）.上海:華南理工大學(xué),2013.4 屈冉.壓縮感知算法及其應(yīng)用研究：（碩士學(xué)位論文）.江蘇:碩士學(xué)位論文,2013.5 汪桃林.基于稀疏表示的短語音說話人識(shí)別：（碩士學(xué)位論文）.成都:電子科技大學(xué),2013.6 徐勇俊.基于信號(hào)稀疏表示的字典設(shè)計(jì)：（碩士學(xué)位論文）.江蘇:

35、 南京理工大學(xué),2013.7 文首先.壓縮感知匹配追蹤算法的研究：（碩士學(xué)位論文）.安徽:安徽大學(xué),2013.8 趙亮.信號(hào)稀疏表示理論及應(yīng)用：（工學(xué)碩士論文）.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué),20123.9 管蓉.基于壓縮感知的圖像稀疏表示方法：（碩士學(xué)位論文）.山西:中北大學(xué),2012.10劉鋼 .基于壓縮感知和稀疏表示理論的圖像去噪研究：（碩士學(xué)位論文）.成都:電子科技大學(xué),2013.11 鄧承志.圖像稀疏表示理論及其研究：（博士學(xué)位論文）.湖北:華中科技大學(xué),2008.12 孫玉寶.圖像稀疏表示模型及其在圖像處理反問題中的應(yīng)用：（中華人民共和國工學(xué)博士論文）.江蘇:南京理工大學(xué),2010.13

36、 沈斌.稀疏表示在圖像處理中的應(yīng)用：（申請(qǐng)清華大學(xué)工學(xué)博士學(xué)位論文）.北京:清華大學(xué),2009.14 何艷敏.稀疏表示在圖像壓縮和去噪中的應(yīng)用研究：（博士學(xué)位論文）.成都:電子科技大學(xué),2011.15 劉丹華.信號(hào)稀疏分解及壓縮感知理論應(yīng)用研究：（博士學(xué)位論文）.西安:西安電子科技大學(xué),2009.16 Emmanuel J.Candes,Michael B.Wakin Compressive Sampling：IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE21MARCH2008.17 YANG JingYu,PENG YiGang XU WenLi et al.Ways to

37、sparse representation:An overview.sci China Ser F-inf Sci.vol.52 no.4:695-703.附錄A 傅里葉變換及MP算法close all; %先關(guān)閉之前的信息fs=10000; %設(shè)定采樣頻率N=1024; %采樣點(diǎn)數(shù)n=0:N-1;t=n/fs;f1=100;f2=300; %設(shè)定正弦信號(hào)頻率x1=sin(2*pi*f1*t); %生成正弦信號(hào)x1x2=sin(2*pi*f2*t); %生成正弦信號(hào)x2 figure(1);plot(t,x1); %顯示信號(hào)1xlabel('時(shí)間t');ylabel('

38、x1');title('頻率為100的正弦函數(shù) x1=sin(x)');figure(2);plot(t,x2);xlabel('時(shí)間t');ylabel('x2');title('頻率為300的正弦函數(shù) x2=sin(x)');x=x1+x2;figure(3);plot(t,x);xlabel('時(shí)間t');ylabel('x1');title('y=sin(x), x=x1+x2');figure(4);x3=fft(x,N);plot(t,abs(x3)xlabel(

39、'時(shí)間t');ylabel('x1');title('疊加信號(hào)傅里葉變換結(jié)果');figure(5);N = 1000 * N;x4=fft(x,N);plot(abs(x4)MP算法function sols, iters, activationHist = SolveMP(A, y, N, maxIters, lambdaStop, solFreq, verbose, OptTol)% SolveMP: Matching Pursuitif nargin < 8, OptTol = 1e-5;endif nargin < 7, v

40、erbose = 0;endif nargin < 6, solFreq = 0;endif nargin < 5, lambdaStop = 0;endif nargin < 4, maxIters = 100*length(y);end explicitA = (ischar(A) | isa(A, 'function_handle');n = length(y); % Initializex = zeros(N,1);k = 1;activeSet = ;sols = ;res = y;normy = norm(y);resnorm = normy; done = 0; while done if (explicitA) corr = A'*res; else corr = feval(A,2,n,N,r