1、武漢理工大學(xué)自動控制原理課程設(shè)計說明書摘要單級倒立擺系統(tǒng)是一個典型多變量、不穩(wěn)定和強耦合的非線性系統(tǒng)。對于單級倒立擺系統(tǒng),目前已有多種控制方法可對其實現(xiàn)穩(wěn)擺控制。典型的有線性 PID控制、常規(guī) PID控制、LQR 控制、智能控制等。倒立擺的控制方法在軍工、航天、機器人領(lǐng)域和一般工業(yè)過程中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi) 星飛行中的姿態(tài)控制等。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問題，如非線性問題、魯棒性問題、隨動問題以及跟蹤問題等。因此倒立擺系統(tǒng)通常用來檢驗控制策略的效果, 是控制理論研究中較為理想的實驗裝置。本文對單級移動倒立擺的平衡問題進

2、行了比較深入研究，采用了串聯(lián)PD校正實現(xiàn)了倒立擺的平衡控制。首先，針對單級移動倒立擺的物理模型建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并提出合理的線性化方法，建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；其次，設(shè)計串聯(lián)PD校正，使系統(tǒng)的輸出動態(tài)性能滿足暫態(tài)性能指標(biāo)%16.3%，ts1.5s；最后，應(yīng)用MATLAB軟件的“Simulink”工具對系統(tǒng)進行計算機仿真，分析經(jīng)過校正后系統(tǒng)是否滿足動態(tài)性能指標(biāo)要求。關(guān)鍵字：單級移動倒立擺 非線性建模 串聯(lián)PD校正 SIMULINK仿真 單級移動倒立擺建模及串聯(lián)PD校正1單級移動倒立擺的建模1.1單級移動倒立擺的物理模型單級倒立擺系統(tǒng)物理模型為：在慣性參考系的光滑水平平面上，放置一個可以水平于紙面方

3、向左右自由移動的小車，一根鋼性的擺桿通過末端的一個不計摩擦的固定點連接點與小車相連構(gòu)成一個倒立擺。倒立擺和小車共同構(gòu)成了單級移動倒立擺系統(tǒng)。倒立擺可以在平行于紙面180的范圍內(nèi)自由擺動。如圖1-1所示。單級倒立擺控制系統(tǒng)的控制目的有兩個：使倒立擺在外力的攝動下的擺桿仍然能夠保持豎直向上的狀態(tài)；在小車靜止的狀態(tài)下，由于受到重力的作用，倒立擺的穩(wěn)定性在擺桿受到輕微的攝動下就會發(fā)生不可逆轉(zhuǎn)的破壞而使倒立擺無法復(fù)位，在保證擺桿不倒的前提下，這時必須使小車在平行于紙面的方向通過位移產(chǎn)生相應(yīng)的加速度使小車倒立擺能移動到預(yù)定位置。依照慣性參考系下的牛頓力學(xué)原理，作用力與物體對位移時間的二階導(dǎo)數(shù)存在線性關(guān)系，

4、故單級倒立擺系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)。圖1-1 單級移動倒立擺的物理模型如圖所示，M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，l是擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度，u為加在小車上的力，x為 小車位置，是擺桿與垂直向上方向的夾角（逆時針為正）。系統(tǒng)組成的框圖如圖1-2所示：圖1-2單級倒立擺系統(tǒng)組成框圖1.2單級移動倒立擺的非線性數(shù)學(xué)建模I對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。在此次的課程設(shè)計中我采用其中的Newton方法建立單級移動倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。如圖

5、1-1所示，在慣性參考系下，整個倒立擺系統(tǒng)受到重力、水平力和摩擦力的3外力的共同作用。此時小車在水平方向的位移為x，此時的擺心瞬時位置為（x + lsin）。在系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中，首先假設(shè)：擺桿為剛體；忽略擺桿與支點之間的摩擦；忽略小車與導(dǎo)軌之間的摩擦。然后，在水平方向上，由牛頓第二定律，可求得系統(tǒng)的運動方程為：即：在垂直方向上，由慣性力矩和重力力矩平衡可求得： 即由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假設(shè)很小，接近于0是合理的。則sin，cos1。在以上假設(shè)條件下，對方程線性化處理后，得到立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。即單級移動倒立擺的數(shù)學(xué)模型的線性化。1.3單級移動倒立擺的傳遞函數(shù)由上

6、述結(jié)論可知，當(dāng)很小時()，非線性三角函數(shù)可近似為,。故可對方程組進行線性化，代入sin，cos1，且忽略的微分的平方和其本身的積此項。方程式可以化簡為：將上式進行拉普拉斯變換得聯(lián)立上式解得代入M(小車的質(zhì)量)=1kg，m(倒立擺的質(zhì)量)=0.2g,l（倒立擺的長度)=0.5m,g(重力加速度)=10m/s2到下式，得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：2單級移動倒立擺系統(tǒng)的串聯(lián)比例微分（PD）校正2.1未校正系統(tǒng)輸出的動態(tài)性能根據(jù)未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-1所示。我們也用Matlab中的工具SIMULINK畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，同時仿真得到響應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線。其中將轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器

7、元件塊Transfer Fcn參數(shù)設(shè)置如圖2-2所示。設(shè)系統(tǒng)輸入為單位階躍響應(yīng)，未校正系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-3所示。圖2-1 未校正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖2-2 Transfer Fcn參數(shù)設(shè)置圖2-3 未校正系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線從圖2-3可知未校正單級移動倒立擺系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線趨近于負(fù)無窮大，沒有穩(wěn)態(tài)值，就可以看出未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定。我們也可以在MATLAB的M文件中編寫程序代碼，來觀察單級移動倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB代碼如下：k=2 %定義系數(shù)z= %定義分子多項式p=-4.899,4.899 %定義分母多項式n,d=zp2tf(z,p,k) %將系統(tǒng)函數(shù)的零極點轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一般形式的系

8、數(shù)rlocus(n,d) %繪制系統(tǒng)的根軌跡sgrid %繪制柵格title(未校正系統(tǒng)根軌跡圖和柵格) %給圖形加上標(biāo)題名運行以上程序，由MATLAB繪制出系統(tǒng)的根軌跡，并更改橫縱坐標(biāo)，如圖2-4所示。圖2-4 未校正系統(tǒng)的根軌跡用MATLAB繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖，編寫程序如下:num = 1; %定義分子多項式den=-0.5,0,12; %定義分母多項式s1=tf(num,den); %創(chuàng)建傳遞函數(shù)G（s）的TF模型對象 m,pi,w=bode(num,den); %m為幅值 pi為相角 返回變量格式不做圖 margin(s1); %給開環(huán)系統(tǒng)模型對象s1繪制伯德圖 并在圖上標(biāo)注 Gm

9、 wg Pm wp當(dāng)程序運行后，可得到未校正系統(tǒng)的伯德圖，但是經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)相位-頻率圖像部分呈波浪形，雙擊該圖像，發(fā)現(xiàn)是由于單位縱坐標(biāo)取得過小所致，適當(dāng)增大相位坐標(biāo)的單位值，可使伯德圖如下圖2-5所示：圖2-5未校正系統(tǒng)的波特圖 圖2-4、圖2-5分別為系統(tǒng)未校正前的閉環(huán)根軌跡和波特圖，由閉環(huán)根軌跡圖可看出，根軌跡有分布于S的右半平面，所以系統(tǒng)處于非穩(wěn)定狀態(tài)；而根據(jù)伯德圖穩(wěn)定性判斷依據(jù)：當(dāng)相角為-180時，系統(tǒng)幅值小于或者等于1，顯然該傳遞函數(shù)相角無法達到規(guī)定的-180，所以不穩(wěn)定。2.2系統(tǒng)的串聯(lián)PD校正 比例-微分（PD）控制是一種早期控制，可在出現(xiàn)位置誤差前提前產(chǎn)生修正作用，從而達到改善

10、系統(tǒng)性能的目的。具體來說，PD控制增大了系統(tǒng)的阻尼比,可以使系統(tǒng)動態(tài)過程的超調(diào)量下降,調(diào)節(jié)時間縮短,然而開環(huán)增益K保持不變,它的引入并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,同時也不改變系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率Wn。而且,比例微分控制使系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點s=-1/T，使系統(tǒng)的相角裕度增加。由于穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)增益成反比,因此適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分器的時間常數(shù)T, 即可減小穩(wěn)態(tài)誤差,又可獲得良好的動態(tài)性能。在此次課程設(shè)計中要求用串聯(lián)比例-微分（PD）控制器改善倒立擺系統(tǒng)性能。因為微分控制作用只對動態(tài)過程起作用，而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響，且對系統(tǒng)噪聲非常敏感，所以單一的D控制器在任何情況下都不宜于被控對象串聯(lián)起來單獨使用

11、，通常，微分控制規(guī)律總是與比例控制規(guī)律或比例-積分控制規(guī)律結(jié)合起來使用。 具有比例-微分控制規(guī)律的控制器,稱為PD控制器，其輸出m(t)與輸入e(t)的關(guān)系如下式所示： 式中K為比例系數(shù)，T為微分時間常數(shù)。K與T都是可調(diào)的參數(shù)。PD控制器如圖2-6所示。圖2-6 PD控制器的結(jié)構(gòu)圖經(jīng)計算校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：由反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的計算方法得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):根據(jù)典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo),由二階系統(tǒng)阻尼比和自然震蕩頻率Wn的計算方法： 將、Wn代入極點表達式，再將極點表達式代入特征方程，可求出K=-24，T=0.08，又由于開環(huán)增益K的引入并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但K的取值越大，系統(tǒng)穩(wěn)

12、態(tài)誤差越小，所以可以適當(dāng)增大K值，但T保持不變，經(jīng)調(diào)整后取K=-1000，T=0.08顯然線性化前校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 由此在線性化前的系統(tǒng)上串聯(lián)比例-微分（PD）控制器，如圖2-6所示：圖2-7 線性化前校正系統(tǒng)框圖按照圖2-7所示的電路圖進行Simulink仿真，可得到如下響應(yīng)波形，如圖2-7所示：圖2-8線性化前校正階躍響應(yīng)曲線線性化后，串聯(lián)比例微分（PD）控制器的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：線性化后的系統(tǒng)框圖如下圖所示：圖2-9 線性化后的系統(tǒng)框圖運行Simulink啟動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖仿真，得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-9所示：圖2-10 線性化后校正階躍響應(yīng)曲線從SIMULINK仿真的系

13、統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可以看出所設(shè)計的串聯(lián)PD校正已經(jīng)使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，且滿足設(shè)計要求。而且觀察所得線性化后校正階躍響應(yīng)曲線的調(diào)節(jié)時間比線性化前校正階躍響應(yīng)曲線小，但線性化前無超調(diào)量。所以線性化后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能明顯。這是因為線性化后消除了未線性化時的振蕩波形，并且未線性化時即使加上校正裝置也無法得到完全穩(wěn)定時域響應(yīng)圖。2.3校正后系統(tǒng)輸出的動態(tài)性能 已知校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等效為：編寫下述MATLAB代碼，可得到校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出曲線：sope=tf(-80,-1000,-0.5,0,12) %定義分子，分母多項式sys=feedback(sope,1) %定義閉環(huán)傳遞函數(shù)step(sys)

14、%單位階躍輸入ltiview %啟動圖形軟件最后可以得到校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出曲線如下圖所示：圖2-11 校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出曲線由系統(tǒng)校正后單位階躍響應(yīng)曲線可得：顯然系統(tǒng)動態(tài)性能遠遠優(yōu)于我們的設(shè)計要求%16.3%，ts1.5s，即所設(shè)計的串聯(lián)PD校正系統(tǒng)滿足要求。然后求已校正系統(tǒng)的根軌跡和波特圖，運行以下Matlab代碼，可得到已校正系統(tǒng)的根軌跡如圖2-12圖所示，已校正系統(tǒng)的波特圖如圖2-13圖所示。num = -80,-1000; %定義分子多項式 den = -0.5 0 12; %定義分母多項式 rlocus(num,den); %繪制系統(tǒng)的根軌跡 grid; %畫出網(wǎng)絡(luò)標(biāo)度線 x

15、label (Real Axis),ylabel(Imaginary Axis); %給坐標(biāo)軸加上說明 title (Root Locus); %給圖形加上標(biāo)題以上為根軌跡代碼num = -80,-1000; %定義分子多項式den = -0.5 0 12; %定義分母多項式w = logspace(-2,3,100); %確定波特圖的頻率范圍bode(num,den,w); %繪制系統(tǒng)的波特圖grid %畫出網(wǎng)絡(luò)標(biāo)度線以上為波特圖的代碼圖2-12 已校正系統(tǒng)的根軌跡分析：校正后的系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點都位于s的左半平面，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖2-13 已校正系統(tǒng)的波特圖分析：從已校正系統(tǒng)的波特圖可以

16、看出相角裕度良好且系統(tǒng)已穩(wěn)定。3 線性化前系統(tǒng)與線性化后系統(tǒng)的比較 通過加入比例-微分（PD）控制器，我們得到了一個穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)，比例-微分（PD）控制器的串入，使得系統(tǒng)動態(tài)過程的超調(diào)量下降由原來的不穩(wěn)定時的無窮到校正后的不到16%，同時調(diào)節(jié)時間縮短至1.5s；值得注意的是串入比例-微分（PD）控制器后開環(huán)增益k保持不變，可見比例-微分校正環(huán)節(jié)的引入并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，同時也不改變系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率Wn。由于穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)增益成反比，因此適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分器的時間常數(shù)T， 即可減小穩(wěn)態(tài)誤差,又可獲得良好的動態(tài)性能。由圖2-8和圖2-10可以看出，線性化前的超調(diào)量比線性化后的超調(diào)量

17、要小的多，但是線性化后的響應(yīng)速度要快一些，這些都是因為極點的變化和阻尼的變化引起的。4 心得與體會拿到這個題目的時候，我首先對這次課設(shè)的內(nèi)容產(chǎn)生了濃厚的興趣，所謂的單級移動倒立擺從來沒有在課堂上提及過，對于我來說完全是一個全新的領(lǐng)域，這樣的課設(shè)內(nèi)容一定能極大地鍛煉我各方面的能力。但是我也不免開始擔(dān)心，畢竟我們這學(xué)期所學(xué)習(xí)的自動控制原理完全是建立在已知傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上的，但是面對平常生活中的各種系統(tǒng)，建立模型，以及線性化是十分困難的。好在做課設(shè)之前，老師已經(jīng)詳細(xì)地幫助我們推導(dǎo)出了單級移動倒立擺的開環(huán)傳遞函數(shù)，剩下便是本學(xué)期所學(xué)自動控制原理的工作了。一開始，我以為這次完全是手到擒來，但是伴隨著逐級

18、深入，我不由慢慢收起了輕視的心，首先是公式的編輯，由于倒立擺的傳遞函數(shù)推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，所用的公式自然也是不在少數(shù)。有時甚至覺得十分煩躁，導(dǎo)致出錯率也隨之上升，到頭來又要花更多的時間 去糾錯。這在某種程度極大地考驗了我的耐心，但最后我還是堅持下了。在這次的課設(shè)中，我對Matlab和Simulink的操作熟練度再次得到了提升。上一次的基礎(chǔ)強化，已對兩者初有涉獵，但是掌握的程度并不高，而且隨著時間的推移，遺忘的遠遠多于還記得的。但是通過這次課設(shè)，我極大地提高了Simulink的操作能力，不再花很長的時間找元件，設(shè)參數(shù)以及調(diào)試。但是編寫Matlab代碼無疑對于我來說是一大挑戰(zhàn)。對于基本的那幾個函數(shù)的

19、用法，我已經(jīng)遺忘。好在此次代碼的編寫并不困難，而且老師在ppt中已經(jīng)做了詳盡的說明，只需自己選擇即可，極大地減少了工作量，也在一定程度上提高了我們對一些基本函數(shù)的應(yīng)用能力。雖然如此，在使用這款軟件的時候我也碰到了不少難題，首先是不少圖形不是僅僅仿真就可以了，還要對它地坐標(biāo)進行修改使其變得美觀，易懂，直觀。然后是示波器背景的修改又是一大難題。有時甚至出現(xiàn)文件無法保存以及打開的情況。幸好這些問題都在查閱了一些網(wǎng)上的資料后得到解決，卻也浪費了不少的時間，但是我覺得這些時間花的值，課設(shè)的過程本身就是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，重要的是在這個貌似痛苦的過程中，我們有所得，使自己的能力得到提升。在設(shè)計過程中我一路磕磕絆絆，但是我遇到最大的難題就是串聯(lián)PD校正裝置的參數(shù)選取，網(wǎng)上這方面的內(nèi)容提及甚少，而有的提及了PID控制器的參數(shù)設(shè)置也是令人云里霧里，我自己依靠筆算得出一對比較合理的K、T值，與查閱的資料相比，發(fā)現(xiàn)T值的誤差僅為0.01，但是K的誤差卻有50倍，我頓時懵了，在數(shù)次計算均無錯之后，我決定一條路走到黑，用自己計算所得的數(shù)據(jù)設(shè)計出了PD校正，并進行了仿真，但是效果并不是十分明顯，尤其是調(diào)節(jié)時間，幾乎是緊靠著設(shè)計要求。無奈之下，我只好重新回到K值的選取，翻閱課本例題之后，發(fā)