1、LOGO理論物理導(dǎo)論理論物理導(dǎo)論贛南師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院贛南師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院LOGO1234四大力學(xué)：四大力學(xué)：理論力學(xué)理論力學(xué)量子力學(xué)量子力學(xué)電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物L(fēng)OGO牛頓力學(xué)回顧牛頓力學(xué)回顧物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)即物體的空間位置隨時(shí)間變化。物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)即物體的空間位置隨時(shí)間變化。一、研究對(duì)象一、研究對(duì)象 rr t二、牛頓的時(shí)空觀二、牛頓的時(shí)空觀（ 狹義相對(duì)論的時(shí)空觀）狹義相對(duì)論的時(shí)空觀） 時(shí)間、空間、質(zhì)量三個(gè)基本物理量是絕對(duì)的，時(shí)間、空間、質(zhì)量三個(gè)基本物理量是絕對(duì)的，它們與運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)且彼此獨(dú)立，它們與運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)且彼此獨(dú)立，“同時(shí)性同時(shí)性”和力學(xué)規(guī)和力學(xué)規(guī)律也是絕

2、對(duì)的，而物體的坐標(biāo)和速度是相對(duì)的。律也是絕對(duì)的，而物體的坐標(biāo)和速度是相對(duì)的。LOGO三、力學(xué)狀態(tài)的確定三、力學(xué)狀態(tài)的確定同時(shí)給定物體的坐標(biāo)和速度（量子力學(xué)與此不同）同時(shí)給定物體的坐標(biāo)和速度（量子力學(xué)與此不同）四、力學(xué)規(guī)律的表達(dá)形式四、力學(xué)規(guī)律的表達(dá)形式力是力學(xué)系統(tǒng)的核心。力是力學(xué)系統(tǒng)的核心。力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程： 力是力學(xué)系統(tǒng)的核心。力是力學(xué)系統(tǒng)的核心。LOGO五、伽利略相對(duì)性原理（愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理）五、伽利略相對(duì)性原理（愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理）六、牛頓力學(xué)的適用范圍六、牛頓力學(xué)的適用范圍 低速（低速（ ）、宏觀物體（）、宏觀物體（ ）的）的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。83 10/vm

3、 s1010lm力學(xué)規(guī)律在所有慣性系中都是等價(jià)的，不存力學(xué)規(guī)律在所有慣性系中都是等價(jià)的，不存在特殊的慣性系。在特殊的慣性系。 LOGO問(wèn)題：?jiǎn)栴}：力學(xué)規(guī)律是否只有牛頓形式？力學(xué)規(guī)律是否只有牛頓形式？ 力學(xué)規(guī)律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈力學(xué)規(guī)律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密頓形式。密頓形式。分析力學(xué)的主要內(nèi)容經(jīng)典力學(xué)：牛頓力學(xué)分析力學(xué)經(jīng)典力學(xué)：牛頓力學(xué)分析力學(xué)LOGO1-1自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置可以用一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置可以用三個(gè)三個(gè)獨(dú)立參數(shù)來(lái)確定，我們說(shuō)該自由質(zhì)點(diǎn)有獨(dú)立參數(shù)來(lái)確定，我們說(shuō)該自由質(zhì)點(diǎn)有3個(gè)自個(gè)自由度由度。一般質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)受到約束限制

4、，則其。一般質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)受到約束限制，則其自由度數(shù)會(huì)減少，在完整約束條件下，自由度數(shù)會(huì)減少，在完整約束條件下，確定確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。由度數(shù)。LOGO例如：例如：一質(zhì)點(diǎn)一質(zhì)點(diǎn)M 限制在球面的上半部運(yùn)動(dòng)，則限制在球面的上半部運(yùn)動(dòng)，則222()()zcRxayb 故該質(zhì)點(diǎn)在空間的位置由故該質(zhì)點(diǎn)在空間的位置由x、y 就就可確定，其自由度數(shù)為可確定，其自由度數(shù)為2。 LOGO 對(duì)完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度對(duì)完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。數(shù)。 一般講，一個(gè)由一般講，一個(gè)由n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若受到個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)

5、點(diǎn)系，若受到s 個(gè)完整約束作用，則其在空間的位置可由個(gè)完整約束作用，則其在空間的位置可由N=3n-s 個(gè)個(gè)坐標(biāo)完全確定下來(lái)，我們把這些描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中坐標(biāo)完全確定下來(lái)，我們把這些描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)，用，用 來(lái)表示。廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微商來(lái)表示。廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微商 稱為稱為廣義速度廣義速度，用，用 來(lái)表示。來(lái)表示。1233n sqqqq、 、idqdt1233n sqqqq、 、LOGO222)2()2(2 ,2baRczyx 上式說(shuō)明廣義坐標(biāo)的選擇并不是唯一的。上式說(shuō)明廣義坐標(biāo)的選擇并不是唯一的。 如上面例題的質(zhì)點(diǎn)如上面例題的質(zhì)點(diǎn)M的位

6、置由的位置由x，y 確定，則確定，則x，y 就是其一組廣義坐標(biāo)，此外，我們也可以選取其它的就是其一組廣義坐標(biāo)，此外，我們也可以選取其它的一組獨(dú)立參量來(lái)表達(dá)其位置：一組獨(dú)立參量來(lái)表達(dá)其位置：LOGO1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程 力是力學(xué)系統(tǒng)的核心，求解運(yùn)動(dòng)方程需要知道力是力學(xué)系統(tǒng)的核心，求解運(yùn)動(dòng)方程需要知道物體的受力情況。物體的受力情況。牛頓力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程：牛頓力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程：22d rmFdt 拉格朗日方程的特點(diǎn)是避開(kāi)矢量力，而利用標(biāo)量拉格朗日方程的特點(diǎn)是避開(kāi)矢量力，而利用標(biāo)量動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能來(lái)描述運(yùn)動(dòng)。來(lái)描述運(yùn)動(dòng)。LOGO從牛頓方程出發(fā)推導(dǎo)拉格朗日方程從牛頓方程出發(fā)推導(dǎo)拉格朗

7、日方程1、單個(gè)質(zhì)點(diǎn)不受約束需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)描述其位置，、單個(gè)質(zhì)點(diǎn)不受約束需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)描述其位置，即有三個(gè)自由度。即有三個(gè)自由度。直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：rxiyjzkUUUUFUijkrxyz 2、單個(gè)質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：、單個(gè)質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： 勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù) U rLOGO由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：UmrFr 分量形式：分量形式：xyzmxFmyFmzF又記又記x，y，z為為x1，x2，x3，上式又寫(xiě)為：，上式又寫(xiě)為：111UmxFx 222UmxFx 333UmxFx LOGO上式合寫(xiě)為：上式合寫(xiě)為：1,2,3iiiUmxFix 說(shuō)明

8、：說(shuō)明：(1)、以上選取的是直角坐標(biāo)系，但坐標(biāo)系的選取、以上選取的是直角坐標(biāo)系，但坐標(biāo)系的選取要根據(jù)具體情況而定。要根據(jù)具體情況而定。(2)、若、若U=U(r)，即勢(shì)能僅是質(zhì)點(diǎn)到力心距離的函數(shù)，即勢(shì)能僅是質(zhì)點(diǎn)到力心距離的函數(shù)，此時(shí)適宜于選取球坐標(biāo)系。此時(shí)適宜于選取球坐標(biāo)系。LOGO3、直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：、直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：122iiiTmxmxx3222211122iiTm xyzmxiiidTmxFdtx上式再對(duì)時(shí)間求微分得：上式再對(duì)時(shí)間求微分得：動(dòng)能對(duì)動(dòng)能對(duì) 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)ix LOGOiidTFdtxiiUFx 由由 和和 二式相加得二式相加得 ： 0iidTUdtxx4、

9、引入、引入拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)LLTU 動(dòng)能動(dòng)能T僅是速度僅是速度 的函數(shù)，勢(shì)能的函數(shù)，勢(shì)能U僅是坐標(biāo)僅是坐標(biāo) 的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此ix ixiiiTUdTddLdtxdtxdtxiiiUTULxxx LOGO0iidLLdtxx 此式即為用拉格朗日函數(shù)表示牛頓運(yùn)動(dòng)定律的拉此式即為用拉格朗日函數(shù)表示牛頓運(yùn)動(dòng)定律的拉格朗日方程。格朗日方程。 可以證明，將可以證明，將 換成廣義坐標(biāo)換成廣義坐標(biāo) ，即可得到用廣義坐標(biāo)表示的具有即可得到用廣義坐標(biāo)表示的具有s個(gè)自由度的系統(tǒng)的個(gè)自由度的系統(tǒng)的一般形式的一般形式的拉格朗日方程拉格朗日方程。123,x x x12,sq qq01,2,iidLLisd

10、tqqLOGO說(shuō)明：說(shuō)明：1、拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)動(dòng)方、拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)動(dòng)方程在牛頓力學(xué)中是牛頓第二定律，在分析力學(xué)中是拉程在牛頓力學(xué)中是牛頓第二定律，在分析力學(xué)中是拉格朗日方程。格朗日方程。2、在分析力學(xué)中特征函數(shù)為拉格朗日函數(shù)（標(biāo)量函、在分析力學(xué)中特征函數(shù)為拉格朗日函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)），在牛頓力學(xué)中特征函數(shù)是力（矢量）。數(shù)），在牛頓力學(xué)中特征函數(shù)是力（矢量）。3、由、由 可以看出，只要給出力學(xué)體可以看出，只要給出力學(xué)體系的坐標(biāo)和速度就能完全確定經(jīng)典力學(xué)體系的狀態(tài)。系的坐標(biāo)和速度就能完全確定經(jīng)典力學(xué)體系的狀態(tài)。,iiLTUL q q4、 不再限于直角坐

11、標(biāo)，在此為廣義坐標(biāo)。不再限于直角坐標(biāo)，在此為廣義坐標(biāo)。iq5、在很多情況下，由拉格朗日方程得到的關(guān)于廣義、在很多情況下，由拉格朗日方程得到的關(guān)于廣義坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程是二階非線性的，求解很困難。坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程是二階非線性的，求解很困難。LOGO例題：例題：寫(xiě)出有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。寫(xiě)出有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。sinrdrdrerd erd e 上式兩邊除以上式兩邊除以dt，得：，得：sinrrrer ere解：選球坐標(biāo)系，位移解：選球坐標(biāo)系，位移 在在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式：球坐標(biāo)系中的表達(dá)式：drLOGO 2222222211221sinsin21sin2rrTmvmrm rer er

12、erer erem rrr動(dòng)能：動(dòng)能：所以拉格朗日函數(shù)為：所以拉格朗日函數(shù)為： 2222221sin2LTUm rrrU rLOGO 222sinLLmrmrmrUrrr222sincosLLmrmr22sin0LLmr求偏導(dǎo)：求偏導(dǎo)： 2222221sin2LTUm rrrU rLOGO得到運(yùn)動(dòng)方程：得到運(yùn)動(dòng)方程： 222sind mrmrmrUrdt222sincosdmrmrdt22sin0dmrdt000dLLdtrrdLLdtdLLdt將以上結(jié)果代入拉格朗日方程將以上結(jié)果代入拉格朗日方程LOGO1-3 哈密頓方程哈密頓方程一、廣義動(dòng)量一、廣義動(dòng)量將動(dòng)能將動(dòng)能T對(duì)速度分量求偏導(dǎo)數(shù)，即可

13、得動(dòng)量的分量。對(duì)速度分量求偏導(dǎo)數(shù)，即可得動(dòng)量的分量。iiiTmqpq2112siiTmq勢(shì)能函數(shù)只與廣義坐標(biāo)有關(guān)，與廣義速度無(wú)關(guān)，因此勢(shì)能函數(shù)只與廣義坐標(biāo)有關(guān)，與廣義速度無(wú)關(guān)，因此iiiiTUTLpqqq稱為廣義動(dòng)量稱為廣義動(dòng)量iLqLOGO二、勒讓德變換二、勒讓德變換設(shè)有設(shè)有,ffx y,ffdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd QyydQQdy又又d QyfydQPdx兩式相減得：兩式相減得：變換后的函數(shù)：變換后的函數(shù)：gQyf稱為函數(shù)稱為函數(shù)f的勒讓德變換的勒讓德變換,gQyfg x Q1、若要將變量、若要將變量y變?yōu)樽優(yōu)镼LOGO2、若要將變量、若要將變量x變?yōu)樽優(yōu)镻,f

14、fdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd PxxdPPdx兩式相減得：兩式相減得：d PxfxdPQdy,gPxfg y P變換后的函數(shù)：變換后的函數(shù)：gPxf稱為函數(shù)稱為函數(shù)f的勒讓德變換的勒讓德變換LOGO3、 三個(gè)變量（可推廣到三個(gè)變量（可推廣到N個(gè)變量）個(gè)變量）, ,ffx y z要將要將 ，采用與前面一樣的方法，有：，采用與前面一樣的方法，有：, ,x y zx Q R, , , ,fffdfdxdyxyzP x y z dxQ x y z dyR x y z dzd QyRzydQQdyzdRRdzd QyRzfydQzdRPdx,gQyRzfg x Q RLOGO三、

15、哈密頓函數(shù)三、哈密頓函數(shù)廣義動(dòng)量廣義動(dòng)量iiLpq01,2,iidLLisdtqqiiiidLLppdtqq根據(jù)拉格朗日方程根據(jù)拉格朗日方程1111ssssiiiiiiiiiiiiLLdLdqdqp dqp dqqq,iiLL q q又又LOGO對(duì)對(duì)L進(jìn)行勒讓德變換，目的：進(jìn)行勒讓德變換，目的：iiqp1111111siiissssiiiiiiiiiiiissiiiiiidp qLp dqq dpp dqp dqq dpp dq定義定義哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)H1siiiHp qL11ssiiiiiidHq dpp dq,iiHH q pLOGO四、哈密頓函數(shù)的物理意義四、哈密頓函數(shù)的物理意義11

16、2ssiiiiiiHp qLp qTE112siiip qTHEH就是系統(tǒng)的能量就是系統(tǒng)的能量E。LOGO五、哈密頓方程五、哈密頓方程,iiHH q p由由 得得 ： 11ssiiiiiiHHdHdqdpqp比較比較11ssiiiiiidHq dpp dq于是有：于是有：iiiidqHdtpdpHdtq 哈密頓方程（正則方程，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程）哈密頓方程（正則方程，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程）LOGO說(shuō)明：說(shuō)明：1、數(shù)學(xué)上，哈密頓形式上為一階微分方程（、數(shù)學(xué)上，哈密頓形式上為一階微分方程（2s個(gè)），個(gè)），而拉格朗日形式上為二階微分方程而拉格朗日形式上為二階微分方程簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算；簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算；3、哈密頓正則形

17、式對(duì)稱，有利于從經(jīng)典力學(xué)到量子、哈密頓正則形式對(duì)稱，有利于從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的過(guò)渡。力學(xué)的過(guò)渡。2、哈密頓方程中，、哈密頓方程中， 地位平等地位平等相互共軛的正相互共軛的正則變量；則變量；,iiq pLOGO例題：例題：寫(xiě)出有心力場(chǎng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。寫(xiě)出有心力場(chǎng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。xyz1m2mr解：兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為：解：兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為：1 122121122121 12212m xm xxmmm ym yymmm zm zzmm 選取為球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)選取為球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系為：系的關(guān)系為：212121sincossin

18、sincosxxryyrzzrLOGO解上兩式得：解上兩式得：211221122112sincossinsincosmxxrmmmyyrmmmzzrmm121212121212sincossinsincosmxxrmmmyyrmmmzzrmmLOGO 222122222221212121sin2mmxyzm mrrrU rmm將將 對(duì)對(duì)t求導(dǎo)，代入拉格朗日函數(shù)得：求導(dǎo)，代入拉格朗日函數(shù)得：111222,x y z xyz2222221111222211( )22LmxyzmxyzU rLOGO121212xyzLpmmxxLpmmyyLpmmzz222sinrLprrLprLpr , , , , ,x y z r 與與相對(duì)應(yīng)的動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的動(dòng)量 為為,xyzrpppppp其中其中 ，稱為折合質(zhì)量，稱為折合質(zhì)量1212