1、Department of Mathematics1 1 平面點集的幾個基本概念平面點集的幾個基本概念2 2 區(qū)域與約當(dāng)曲線區(qū)域與約當(dāng)曲線第二節(jié)第二節(jié) 復(fù)平面上的點集復(fù)平面上的點集1. 1. 基本概念基本概念: :01.z點 的 鄰域00() | ,NzzzzzC000 , (): .zzzz平面上以為中心任意的正數(shù) 為半徑的圓內(nèi)部的點的的 鄰集合稱域為記為0z點 的 去心鄰域000() |0,NzzzzzzC聚點聚點:00(),(),NzEzE 有無窮多點為 聚點 極限點EE的全體聚點所成之集用表示,孤立點孤立點:00,zE zE外點外點:000,()zE zENzE 或內(nèi)點內(nèi)點:0(Nz)

2、E邊界點邊界點:0(),NzEE既有 的點 也有不是 的點集E的全部邊界點所組成的集合稱為E的邊界邊界，記為.E開集開集:所有點為內(nèi)點的集合；閉集閉集:或者沒有聚點，或者所有聚點都屬于它；0,MzE zM 有界集有界集:0,( )MMENo或使例例 |1Ezz1,EzE的每一點及圓周上點都是 的聚點1,zE圓周為 的邊界.E為開集,EE聚點聚點(極限點極限點)的等價說法的等價說法0(1),zE0(2)(),NzE有無窮多點00(3)(),NzzE存在異于 屬于 的點0(4)(),NzE含屬于 的兩個不同的點0(5) ,limnnnzEzz0lim(,0,1,2,)nnnnnzzzxiy n00

3、lim,limnnnnxxyy00lim0,nnnzzNnNzz 當(dāng)時 有以上基本概念的圖示以上基本概念的圖示:1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:arg;z(4) 帶形域帶形域:.Imbza xyo例例2.2.區(qū)域與區(qū)域與JordanJordan曲線曲線 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則則稱它為一個稱它為一個區(qū)域區(qū)域. .(1) D是一個是一個開集開集；(2) D中任何兩點都可以用完全屬于中任何兩點都可以用完全屬于D的一

4、條折的一條折線連結(jié)起來線連結(jié)起來.(1) 區(qū)域區(qū)域區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域,記為記為 定義定義1.5定義定義1.6DDD區(qū)域是連通的開集區(qū)域是連通的開集. 問題問題:閉區(qū)域是閉區(qū)域是區(qū)域嗎區(qū)域嗎? (2)Jordan(2)Jordan曲線曲線連續(xù)曲線連續(xù)曲線C: ( ) ( ) , ( ) , ( ), () , .x ty txx tyy tatb 如果和是兩個連續(xù)的實變函數(shù)那末方程組代表一條連平面曲線為續(xù)曲線稱平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz Jordan曲線曲線( 簡單曲線簡單曲線):. )( )( , )(

5、)( :的的起起點點和和終終點點分分別別稱稱為為與與為為一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC 121212121, , ( )( ) , ( ) .atb atbttttz tz tz tC對于滿足的 與當(dāng)而有時 點稱曲線的重點為 沒有重點的連續(xù)曲線沒有重點的連續(xù)曲線 C 稱為稱為JordanJordan曲線曲線( (簡單曲線簡單曲線).). , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 例例02.itzet 曲線是簡單閉曲線解解cos

6、sin ,itzetitcos ,sin0,2 tt在上連續(xù)1212,0,2 ,t ttt 時12,ititee若122,(0, 1, 2,)ttkk 則12,0,2 ,t t由12,02 ,t t只能取 與itze故無重點判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz Jordan定理定理 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集分成三個互不相交的點集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界(1)

7、彼此不交彼此不交(2) E(C)是無界區(qū)域是無界區(qū)域(3) I(C)是有界區(qū)域是有界區(qū)域(4) 若簡單折線若簡單折線T的的一個端點屬于一個端點屬于I(C) ,另一端點屬于另一端點屬于E(C),則則T必與必與C相交相交.(3) 曲線長度曲線長度:定義定義1.8 設(shè)連接弧設(shè)連接弧AB的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為( ),()zz tt nt任取實數(shù)列0121,(1.17)nnttttt并且考慮弧并且考慮弧AB上對應(yīng)的點列上對應(yīng)的點列( ),1,2,jjzz tjn,nnQQ將它們用一折線連接起來的長度11( )()nnjjjIz tz t(1.17),.sup.nnIABLIAB如果對于所有數(shù)列有上界

8、則弧稱為可求長的上確界稱為弧的長度光滑曲線光滑曲線:.0, )( )( , , )( )( , 22稱稱這這曲曲線線為為光光滑滑的的那那末末有有的的每每一一個個值值且且對對于于都都是是連連續(xù)續(xù)的的和和上上如如果果在在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo注注: :按段光滑曲線是可求長的按段光滑曲線是可求長的,但簡單曲線不一定可求長但簡單曲線不一定可求長.問題問題:曲線的方向如何定義曲線的方向如何定義? 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡單閉曲

9、線一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱就稱為單連通域為單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱為多連通域為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域5. 單連通區(qū)域單連通區(qū)域 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?例例2 20arg,4zizi , 時時當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx222222120,(1)(1)xyxxyxy, 0)1( 22 yx因為因為 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于于是是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部部且且屬屬于于左左半半平平面面的的點點的的外外表表示示在在圓圓 yx單連通域單連通域.(2) 012,zi , 2 , )1( 的