1、拋物型方程的差分解法 其中, 為 平面上某一區(qū)域。,),( , 0),(, 0),(),(txtxctxatxxtutxcxutxbxutxaxtutx),(),(),(),(眾所周知，一維線性拋物型方程的一般形式為通?？紤]的定解問題有：(1) 初值問題 在區(qū)域 上求函 數(shù)，使?jié)M足Ttxtx0 ,| ),(xxxutxutxcxutxbxutxaxtutx)() 0 ,(),(),(),(),(),( 為給定的初始函數(shù)。)(x (2) 初邊值問題(或稱混合問題) Ttttuttuxxxutxutxcxutxbxutxaxtutx0)(), 1 (),(), 0(10)()0 ,(),(),()

2、,(),(),(21 在區(qū)域上 求函數(shù) ，使?jié)M足Ttxtx0 , 10| ),(),(txu 為了構(gòu)造微分方程的有限差分逼近，首先將求解區(qū)域 用二組平行于 軸和 軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長(zhǎng)在方向 為 ，在 方向?yàn)?。 分別稱為空間方向和時(shí)間方向的步長(zhǎng)，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)。xtxhx tkt kh,差分格式的建立差分格式的建立由Taylor展開，有 nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221則 在 處對(duì) 的一階偏導(dǎo)

3、數(shù)有三個(gè)可能的近似:u),(nmtxxhuuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm22),(),()(1111向后差商向前差商中心差商 顯然，用差商近似導(dǎo)數(shù)存在誤差，令huuxuEnmnmnmnm1)(則截?cái)嗾`差1,22)(2mmtxnmxxxxuhEn現(xiàn)記現(xiàn)記nmnmnmxuuu1前差算子前差算子:,xxnmnmnmxuuu1后差算子后差算子:,中心差算子中心差算子: :nmnmnmxuuu2121x,xDx為 方向偏導(dǎo)數(shù)算子xxTnmnmxnmnmxuuTuuT1

4、11,為為 方向位移算子方向位移算子，xx)(212121nmnmnmxuuu為為 方向平均算子方向平均算子，x),2(21nmnmthxuu其中:nmnmxuuT2121,nmnmxuuT2121 建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(! 3)(! 2)(! 13332221nmxxuDhDhI22! 2! 1為恒等算子IuhDnmx)exp(由nmxnmuTu1得)exp(xxhDT 或者xxThDln同理有)exp(1xxhDT1lnxxThD因?yàn)镮TITxxxx,故323121)ln(xxxxxIhD同理32312

5、1)ln(xxxxxIhD因?yàn)?2121xxxTT)21exp()21exp(xxxhDhD)21sinh(2xxhD則54232! 523! 321)21sinh(2xxxxxarhDnmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh533232)(403)(6131213121)( 利用這些關(guān)系式就可給出偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式又由222)ln(xxIDh222)ln(xxIDh222)21sinh(2xxarDh可得二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh64233243222290112112111211)( 從以上這些偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，我們可以得到偏導(dǎo)數(shù)的各

6、種精度的近似表達(dá)式。nmnmnmxnmuuuxuh1)(且nmxnmxnmnmnmuuuuxuh3213121)()( 又由二階導(dǎo)數(shù)的前差表達(dá)式，得nmxnmuxuh2222)(因此)()(1)(1hOuuhxuEnmnmnmnm 在 的前差表達(dá)式中取第一項(xiàng)，則有nmxuh)(即截?cái)嗾`差階 為。)(hO 現(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程的差分方程的方法，為此記微分方程為uDDtxLtuxx),(2 L 是關(guān)于 的線性算子， 。包括二個(gè)相鄰時(shí)間層的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的差分方程可以從Talor 展開式推出2,xxDDxDx),()! 3! 2! 11 (),(333222txutktktkktxu),()exp(txu

7、tk 現(xiàn)在，對(duì)拋物型方程的幾種特殊情況，從方程出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。 首先考慮一維熱傳導(dǎo)方程22xutu的差分近似。顯式格式由 ，方程為2xDL nmxnmukDu)exp(21nmxxuDkkD2222)(211代入)901121(164222xxxxhD則nmxxxnmurrrrrru62421)15121(61)61(211其中 為步長(zhǎng)比。2hkr 在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設(shè) 為相應(yīng)差分方程解在結(jié)點(diǎn)(mh,nk) 上的值，則nmUnmxnmUrU)1 (21代入 的表達(dá)式，則得差分方程2xnmnmnmnmrUUrrUU111)21 (xxxuTtxxutu)()

8、0 ,(0 ,022將格式應(yīng)用于解初值問題此差分格式也可簡(jiǎn)單地由導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式得到)(1)(1nmnmnmuuktu)2(1)(11222nmnmnmnmuuuhxu代入微分方程，并令差分方程解為 即可。雖然在邊界結(jié)點(diǎn)上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結(jié)點(diǎn) 上微分方程的精確解 和古典顯式差分格式的精確解 不相等。nmU1nmu1nmU111nmnmnmUuz記 假定 具有下面推導(dǎo)中所需要的有界偏導(dǎo)數(shù)，則由 展開，有 ),(txuTaylornmnmnmnmnmtuktuktukuu)(6)(2)(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)

9、(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差42nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(244222則那么得nmnmnmnmnmxurtukzzrzrz)61(2)()21 (44222111從而有nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(214422或nmnmnmnmnmnmxutuhuuukuu)(222211nmx

10、urtuk)61(214422從而，上式右邊量描寫了古典顯式差分格式在 點(diǎn)對(duì)微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點(diǎn) 的截?cái)嗾`差，記為 ，即),(nm),(nmnmRnmnmxurtukR)61(24422 假定假定 在所考慮的區(qū)域保持有界，則古在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為 。4422,xutu)(2hkOnmxxnmUrrrU421)61(211或者)(32(32)652(211121nmnmnmnmUUrrUrrU)(61 (12122nmnmUUrr相應(yīng)的截?cái)嗾`差階為 。通常，格式可用下圖表示。 )(42hkO 為了提高截?cái)嗾`差的

11、階，我們也可用在式中保留四階中心差分項(xiàng)的辦法達(dá)到，這時(shí)有差分格式m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n隱式格式隱式格式隱式差分格式特點(diǎn)： 1. 具有二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)處的值未知； 2. 計(jì)算工作量較大； 3. 穩(wěn)定性較好。nmxnmukDu)exp(21得 nmnmxuukD12)exp(nmnmxxuuDkkD1422)211 (由22xutu推導(dǎo)其最簡(jiǎn)單的隱式差分逼近古典隱式格式。 現(xiàn)在對(duì)熱傳導(dǎo)方程格式用下圖表示，其截?cái)嗾`差階為 ，與古典顯式差分格式相同。 )(2hkO或者nmnmnmnmUrUUrrU11111)21 (nmnmxUU

12、hk122)1 (保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以 替代 ，則得差分格式221xh2xD 我們也可通過直接用差分算子代替 的方法，即2,xxDDkuutunmnmnm11)(2111111222)(huuuxunmnmnmnm代入微分方程，得到此格式。m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n穩(wěn)定。所以向前誤差格式條件誤差也無限增長(zhǎng)時(shí)則誤差仍然衰減；但當(dāng)若限制是允許的顯然如此誤差傳播表所示此時(shí)誤差逐漸衰減，如則誤差方程為，并取如果采用向前差分格式,21,210.)(2121111rreeerkjkjkj圖方法圖方法 5 . 0 5 . 0 25. 0 125. 0 0625. 0000000000000

13、000000000 375. 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 000 5 . 00000 375. 0 375. 000 25. 0 25. 0 25. 0 125. 0 0625. 0),(), 0 ,(),(), 0(),()0 ,()0( ,0),(2222tlxutxutylutyuyxyxualyxyuxuatu傳導(dǎo)方程的邊值問題：作為模型，考慮二維熱二維問題.,0, 1, 0, 1, 0, 0,/2個(gè)小矩形分割成將區(qū)域平行的直線：作兩族與坐標(biāo)軸時(shí)間步長(zhǎng)取空間步長(zhǎng)NlyxkkhyyjjhxxNlhkj格式。如下的算分成兩步。于是得到層計(jì)層到第把由第交替方向隱格式法ADInnADI1)()()(12/)()(12/122122212212221buuhuuauuhuunjkynjkxnjknjknjkynjkxnjknjk)24)122/,)( ,)(.12212112221221njknjkynjknjknjknjknjkyn