1、2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知全集，2，3，4，集合，則AB，C，D，2，3，2設(shè)，則ABCD3已知命題，；命題，則下列命題中為真命題的是ABCD4函數(shù)的最小正周期和最大值分別是A和B和2C和D和25若，滿足約束條件則的最小值為A18B10C6D46ABCD7在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為ABCD8下列函數(shù)中最小值為4的是ABCD9設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是ABCD10在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為ABCD11設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大

2、值為ABCD212設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。13已知向量，若，則14雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為15記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，面積為，則16以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)

3、舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）18（12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積19（12分）設(shè)是首項(xiàng)為1的等

4、比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前項(xiàng)和證明：20（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，求直線斜率的最大值21（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1（1）寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作的兩條切線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程選修4

5、-5：不等式選講（10分）23已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知全集，2，3，4，集合，則AB，C，D，2，3，【思路分析】利用并集定義先求出，由此能求出全集，2，3，4，集合，2，3，故選：【歸納總結(jié)】本題考查集合的運(yùn)算，考查并集、補(bǔ)集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題2設(shè)，則ABCD【思路分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案解法一：由，得故選：解法二：（山西

6、運(yùn)城劉麗補(bǔ)解）：等式兩邊同乘可得。兩邊再同乘即得結(jié)果為，故選：【歸納總結(jié)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題3已知命題，；命題，則下列命題中為真命題的是ABCD【思路分析】先分別判斷命題和命題的真假，然后由簡(jiǎn)單的復(fù)合命題的真假判斷法則進(jìn)行判斷，即可得到答案對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，故命題為真命題，為假命題；對(duì)于命題，因?yàn)椋趾瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，故命題為真命題，為假命題，所以為真命題，為假命題，為假命題，為假命題，故選：【歸納總結(jié)】本題考查了命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握全稱(chēng)命題和存在性命題真假的判斷方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題4函數(shù)的最小正周期和最大值分別是A和B和2C和D和2【思路

7、分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；函數(shù)的周期為，最大值故選：【歸納總結(jié)】本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題5若，滿足約束條件則的最小值為A18B10C6D4【思路分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：【歸納總結(jié)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題6ABCD【思路分析】直接利用二倍角的余弦化簡(jiǎn)求值即可

8、解法一：故選：解法二：（山西運(yùn)城劉麗補(bǔ)解）：【歸納總結(jié)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值和二倍角的余弦，是基礎(chǔ)題7在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為ABCD【思路分析】我們分別計(jì)算出區(qū)間和的長(zhǎng)度，代入幾何概型概率計(jì)算公式，即可得到答案由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為，構(gòu)成該事件的區(qū)域長(zhǎng)度為，所以取到的數(shù)小于的概率故選：【歸納總結(jié)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出基本事件總數(shù)對(duì)應(yīng)的幾何量的大小，和滿足條件的幾何量的大小是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題8下列函數(shù)中最小值為4的是ABCD【思路分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式以及取最值的條件，即可判斷

9、選項(xiàng)，利用基本不等式求出最值，即可判斷選項(xiàng)，利用特殊值驗(yàn)證，即可判斷選項(xiàng)對(duì)于，所以函數(shù)的最小值為3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以等?hào)取不到，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為4，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤(詳解D) 當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0,所以2（當(dāng)且僅當(dāng)lnx=2即x=時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)0<x<1時(shí)，lnx<0,所以-2（當(dāng)且僅當(dāng)lnx=-2即x=取等號(hào)），綜上，,所以選項(xiàng)D錯(cuò)故選：【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解，利用基本不

10、等式求解最值的應(yīng)用，在使用基本不等式求解最值時(shí)要滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題9設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是ABCD【思路分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式，得到的對(duì)稱(chēng)中心，然后通過(guò)圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，從而得到答案因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，所以將函數(shù)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，故函數(shù)為奇函數(shù)故選：【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對(duì)稱(chēng)中心，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題10在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為ABCD【思路分析】由，得是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

11、由此利用余弦定理，求出直線與所成的角，是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，直線與所成的角為故選：【歸納總結(jié)】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題11設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為ABCD2【思路分析】求出的坐標(biāo)，設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化求解距離的最大值即可解法一：是橢圓的上頂點(diǎn)，所以，點(diǎn)在上，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為故選：解法二：（安徽滁州劉家范補(bǔ)解）：是橢圓的上頂點(diǎn)，所以，設(shè)P,因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，PB=5（1-）+-2+1=-4-2+6=-4（+）+，因?yàn)?11，所以當(dāng)= 時(shí)，PB最大值為，即PB最

12、大值為【歸納總結(jié)】本題考察的考點(diǎn)時(shí)橢圓的基本性質(zhì)（縱坐標(biāo)的范圍），利用二次函數(shù)求最值的的方法，考查劃歸轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬中檔題。12設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則ABCD【思路分析】分及，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過(guò)圖象發(fā)現(xiàn)，的大小關(guān)系，進(jìn)而得出答案令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，故選：【歸納總結(jié)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。13已知向

13、量，若，則【思路分析】根據(jù)題意，由，可得關(guān)于的方程，再求出即可因?yàn)?，所以，解得故答案為：【歸納總結(jié)】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題14雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為【思路分析】求出雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可雙曲線的右焦點(diǎn)，所以右焦點(diǎn)到直線的距離為故答案為：【歸納總結(jié)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題15記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，面積為，則【思路分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于的方程，解方程可得的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，面積為，又，（負(fù)值舍）故答案為：【歸納總結(jié)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)

14、題16以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為或（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）【思路分析】通過(guò)觀察已知條件正視圖，確定該三棱錐的長(zhǎng)和高，結(jié)合長(zhǎng)、高、以及側(cè)視圖視圖中的實(shí)線、虛線來(lái)確定俯視圖圖形觀察正視圖，推出三棱錐的長(zhǎng)為2和高1，圖形的高也為1，即可能為該三棱錐的側(cè)視圖，圖形的長(zhǎng)為2，即可能為該三棱錐的俯視圖，當(dāng)為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為，當(dāng)為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該三棱錐的俯視圖為故答案為：或【歸納總結(jié)】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學(xué)生掌握三視圖中

15、各個(gè)圖形邊長(zhǎng)的等量關(guān)系，以及對(duì)于三視圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強(qiáng)空間想象，屬于中等題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

16、舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【思路分析】（1）利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）比較與的大小，即可判斷得到答案（1）由題中的數(shù)據(jù)可得，；解法二：（安徽滁州劉家范補(bǔ)快速解）： ，（2），所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高【歸納總結(jié)】本題考查了樣本特征數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18（12分）如圖，四棱錐的底面是矩

17、形，底面，為的中點(diǎn)，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【思路分析】（1）通過(guò)線面垂線即可證明；即只需證明平面（2）根據(jù)底面，可得即為四棱錐的高，利用體積公式計(jì)算即可（1）證明：底面，平面，又，平面平面平面，平面平面；（2）解：由底面，即為四棱錐的高，是直角三角形；底面是矩形，為的中點(diǎn)，且設(shè)，取的中點(diǎn)為因?yàn)辄c(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接，可得，那么且，那么是直角三角形，是直角三角形，根據(jù)勾股定理：，則；由是直角三角形，可得，解得底面的面積，則四棱錐的體積解法二：（安徽滁州劉家范補(bǔ)解第二小題）：由（1）知：平面又平面，設(shè)=O,底面ABCD是矩形，ADBC,易證：OADOMB,又M為中點(diǎn)，若設(shè)B

18、C=x,得BM=x, OB=BD=，OM=AM=，OMB中，即+=x，解得：x=,底面的面積，則四棱錐的體積【歸納總結(jié)】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，體積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19（12分）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前項(xiàng)和證明：【思路分析】（1）根據(jù)，成等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，求出公比，進(jìn)一步求出和的通項(xiàng)公式；（2）分別利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法，求出和，再利用作差法證明（1），成等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，（2）證明：由（1）知，得，【歸納總結(jié)】本題考

19、查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題20（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，求直線斜率的最大值【思路分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2求出，進(jìn)而得到拋物線方程，（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照向量關(guān)系得出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線方程中，利用基本不等式即可求出最值（1）解：由題意知，（2）解法一：由（1）知，拋物線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得，整理得，當(dāng)時(shí)取最大值故答案為：解法二：（安徽滁州劉家范另解）：)，同乘以分母可得：，整理得，當(dāng)K=0時(shí)，n=0;當(dāng)

20、K0時(shí),n有根，解得：，綜上：，所以k的最大值為故答案為：【歸納總結(jié)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考察基本不等式求最值，屬于中檔題21（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)【思路分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分及討論導(dǎo)函數(shù)與零的關(guān)系，進(jìn)而得出的單調(diào)性情況；（2）先設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程，根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)，可求得切線方程，將切線方程與曲線聯(lián)立，即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo)（1），當(dāng)，即時(shí)，由于的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，故此時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，令，解得或，令，解得，在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）設(shè)曲線過(guò)坐標(biāo)