1、4.4 三次樣條插值n前面我們根據區(qū)間a,b上給出的節(jié)點做插值多項式Ln(x)近似表示f (x)。一般總以為Ln(x)的次數越高，逼近f (x)的精度越好，但實際并非如此，次數越高，計算量越大，也不一定收斂。因此高次插值一般要慎用，實際上較多采用分段低次插值。4.4.1 分段插值2,)1,(, 1,)(,.,1 , 0,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，則外插也選若，即取，若計算機上實現。上的現性插值函數表示用則判斷）已知（分段線性插值)/()()/()(,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxx

2、xxyxxxxyxxyyxuyuxux這是因為則線性插值函數為一般的，分段線性插值則如果做對于輸入插值點做按輸入算法：jiixumkniyxn1,2,.,j(2)u(1),.,2 , 1. 2),.,1 , 0(,. 1分段線性插值),()(.),()(),()()(,2)/()(11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函數輸出)/()(11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中n缺點：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在。足夠小才能較好的逼近max11jjjnjxxhh分段三次H

3、ermite插值n上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢必加大摩擦系數，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值2221112122111111131)()()()()(21 ()()(21 ()()()()()()(,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhxuxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令時插值三次分段三次Hermite插值算法。輸出則計算如果做對于輸入插值點計算插值）；（輸入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj

4、,. 3;,.,2 , 1)2(;) 1 (. 2,.,1 , 0,. 12112112121jjjjfBfByAyAv211211則例題222122222110) 1)(2()2)(1() 1)(32() 1)(2(21 ()2)(12()2)(1(21 (112, 2, 11)2(1) 1 (3)2(2) 1 (xxBxxBxxxxAxxxxAhxxHermiteffff則解：插值多項式。求滿足條件的，設例例題5983) 1)(2()2)(1() 1)(32( 3)2)(12(2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得4.4.2 三次樣條插值的三次樣條函數。對應于劃分為區(qū)間則稱有

5、連續(xù)的二階導數）上在開區(qū)間（三次多項式；是不超過上在每個小區(qū)間）（滿足條件如果函數：上給出一個劃分，在區(qū)間，上的二次連續(xù)可微函數是區(qū)間設函數定義,)(,)(,) 3()(),.,2 , 1(,)2();,.2 , 1 , 0()()(1)(.,)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn三次樣條插值1,.,2 , 1)0()0()0()0()0()0() 1()2(,.,1 , 0)()(1.,.2 , 1),()()(,)(1231 njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjj

6、jjjjjjjjjj條件：內節(jié)點處連續(xù)及光滑性）；（）（為：為待定常數，插值條件其中上有表達式在每個子區(qū)間設三次樣條函數三次樣條插值nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,.2 , 1.,000已知兩端點的一階導數第一類以下三類：條件稱為邊界條件，有給出兩個個，還缺兩個，因此須而插值條件為個未知系數，即對于待定系數三次樣條插值 )0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnnnnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三類：周期邊界條件時為自然邊界條件當已知兩端點二階導數第二類：三次樣條插值,)(,)(,)(),.2 ,

7、1 , 0()(!1111 iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs項式，故有上是一次多在是三次多項式，所以上在。因為令條插值函數用三彎矩陣構造三次樣三次樣條插值) 1 ()(6261()()(! 3)(! 2)()()( ! 3)(! 2)()(! 3)()(! 2)()()()(111121121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor 解得得令展示有于是由三次樣條插值iiiiiiiii

8、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyyxsxx111111111111111111)(6162()(6261(21)()2()(6162()(,記）即（）連續(xù)，所以（因為上討論得同理在三次樣條插值),(6)(2),(6)2()2)2(61,)2(61,1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即則上式為1,.2 , 1,62,62)(111111111111111nixx

9、xfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得兩邊同除三次樣條插值,62)(6261()(0) 1 ()()()()(1001001010101000 xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第一類邊界條件：三次樣條插值,621,.,2 , 1,62,62,62)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理三次樣條插值2,.,3 , 2,62,62,62)()(,)()(1122111110121021

10、1 00 0 niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二類邊界條件三次樣條插值1,.,3 , 2,62,62,2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnnnnniiiiiiiin三彎方程周期函數邊界條件下的例題n例4.4.1 已知函數y=f(x)的數表如下表所示。 求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529。并計算函數三次樣條)2 . 0(),(64879. 0)60. 0(, 0)0(sxsssn解

11、做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點,21,214 , 3 , 2 , 115. 01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxhn由第二類邊界條件得01234215.866670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.3974010.26880nMMMMaM n解方程得n將Mi代入式4.4.14)得08418. 0,43716. 0,13031. 1,77757. 1,04462. 243210MMMMM323232320.296721.022311,0,0.150.719181.212420.028510.99858,0.15,0.30( )0.770

12、171.258310.042280.99720,0.30,0.450.579271.000590.073701.014610.45,0.60 xxxxxxxs xxxxxxxxx0.200.15,0.30由于 故 33(0.20)0.71918 0.21.21242 0.20.02851 0.2 0.998580.96154s45 曲線擬和的最小二乘法n插值法是用多項式近似的表示函數,并要求在他們的某些點處的值相擬合.同樣也可以用級數的部分和作為函數的近似表達式.無論用那種近似表達式,在實際應用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.4.5.1 最佳平方逼近n定義4.5.1 設 稱 為函數

13、 在區(qū)間a,b上的內積. 其中 為區(qū)間a,b上的權函數,且滿足下面兩個條件:( ), ( ) , ,f x g xC a bbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x,.2 , 1 , 0d)(2, 0)() 1 (ixxxxbabai存在，）（零點；并且最多只能有有限個上，在容易驗證,上述定義的函數內積滿足一般內積概念中四條基本性質.內積的性質是等號成立。切當且僅當性質性質性質性質0, 0),(4);,(),(),(3;),(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf函數的歐幾里得范數n定義4.5.2 設 稱 為函數f(x)的歐幾里得范數,或

14、2范數.( ), ( ) , ,f x g xCab),(2fff函數的歐幾里得范數性質。性質性質；時有，當且僅當性質22222223;20001gfgfRfffff線性相關的函數系n定義4.5.3 設函數 ,如果存在一組不全為零的數 使( ) , ,(0,1,2)kxC a bknk0011( )( )( )0nnxxx 成立,則稱函數系 是線性相關的,否則稱 是線性無關的.0( )nkx0( )nkx線性相關的函數系的判定n定理4.5.1 函數 在區(qū)間a,b上線性相關的充分必要條件是Gramer行列式0( )nkx00010101110101( ,) ( , )( ,)( ,) ( , )

15、( ,)( , , ,)0( ,) ( , )( ,)nnnnnnnG n不難證明 在R上線性無關.n定理4.5.1的等價說法是:函數系 線性無關的充分必要條件是Gramer行列式 .( )(0,1,2, )kkxxkn0( )nkx01(,)0nG最佳平方逼近n定義4.5.4 設函數 及函數系 且線性無關.記 為連續(xù)函數空Ca,b的子空間,如果存在元素 滿足( ) , f xC a b( ) , (0,1,2, )kxC a b kn01,nSpan *0( )( )nkkksxx 22*2220infinf( ) ( )( )(4.5.5)nbkkasskfsfsxf xxdx 則稱 為f

16、(x)在 上的最佳平方逼近函數.且其中 是法方程唯一的一組解.*( )sx*0()()nkkksxx *01,n 02( ) ( )( )( )0(0,1,2, )nbkkjakxf xxx dxjn n令 則誤差為*( )( )f xsx2*22*20(,)(,)(,)( ,)(,)( ,)nkkkfsfsfsffs sf fsfff特例n取則法方程為其中( )(0,1,2, ),( )1, , 0,1kkxxknxa b001111121111(4.5.10)3221111221nnnnnnn10( )(0,1,2, )kjx f x dxkn例題n例4.5.1 設 求f(x)在區(qū)間0,1

17、上的一次最佳平方逼近多項式.n解 設 由于( ),0,1,xf xex01( )s xx11000(,)1xfe dxe 11110(,)1xfxe dx n故法方程為解得11e10312121101*4100.873127313,6(3)1.69030903( )0.873127313 1.69030903ees xxn平方誤差為06277. 00039402234. 0)3(6) 1)(104(210211002222所以eeedxefx4.5.2 對離散數據的曲線擬合最小二乘法n曲線擬合問題 對于f(x)插值問題,要想提高精度,就要增加節(jié)點,因此多項式的次數也就太高,計算量過大,而節(jié)點少

18、,多項式的次數低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點利用最小二乘法確定低次多項式近似表示f(x),這就是曲線擬合問題.n在科學實驗中,得到函數y=f(x)的一組實驗數據: ,求曲線 與實驗數據誤差在某種度量意義下最小.),.2 , 1 , 0(),(miyxii)(.)()()(*1*10*0*xxxxsnnn設 是a,b上一組線性無關的連續(xù)函數系,令0( )nkx0011( )( )( )( )(4.5.11)nns xxxx 記誤差 .為尋求 我們常以誤差 加權平方和最小為度量標準,即( )(0,1,2 , )iiis xyim01,ni220120(,)()mniiiIx

19、( ) 0 x達到極小值,這里 是a,b上的權函數.類似前述最佳平方逼近方法,有多元函數極值必要條件有002()()()()0(0,1,2, )mnikkiijiikjIxxf xxjn n用向量內積形式表示,上式可記 上式為求 的法方程組,其矩陣的形式為0(,)(0,1,2, )njkkjkjn0000010111011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(4.5.14)(,)(,)(,)nnnnnnnn 01,nn其中0(,)()()()mjkijikiixxx),.2 , 1 , 0()()()(),(0njxxfxfijmiiijj由于向量組 是線性無關,故式(4.5.14)的系

20、數行列式 01,n01(,)0,nG n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函數f(x)的最小二乘解n其平方誤差為*01,n*0011( )( )( )( ),nnsxxxx TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff)(),.,(),(,),.,(),(10100*220*2222這里特例miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001),.,2 , 1 , 0()(1)(最小二乘的法方程為時，當例題n例4.5.2 設函數y=f(x)的離散數據如下表所示 試用

21、二次多項式擬和上述數據,并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718iixiyn解 由式(4.5.16)可得n解方程組得n所以擬合二次函數為08612. 5433. 6479.105664. 18 . 12 . 28 . 12 . 232 . 2362100121.006321428,0.862589295,0.84241070421.0063214280.8625892950.842410704yxxn平方誤差為01755.01007893.3242211002222所以fn例4.5.3 地球溫室效應問題n下表統(tǒng)計了近10

22、0年內地球大氣氣溫上升的數據.試根據表中數據建立一數學模型即擬和曲線,并根據這一模型,預報地球氣溫何年會比1860年的平均溫度高7oC年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08Ct0Ct0n解解 為簡化數據,從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴大100倍,根據新數據繪制圖4.5.1 (P119)n從圖4.5.1可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數函數增長過程,因此,可以假設t與n滿足指數函數關系n為決定參數,將上式改寫成ntelnlnttn記 則有n這是已知數據相應地變?yōu)槿缦卤硭緇n ,ln ,yt x n abbxayn1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32tylnn由式(4.5.16),取n=1,