1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第四版汪志誠(chéng)課后答案1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù)a ,壓強(qiáng)系數(shù)P和等溫壓縮系數(shù) 及1。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為pV=nRT,由此易得=2出=R=V ?T p pV T,nR _ 1pV -TV PnRT)_ 12-二一p J p12 / 111.2 證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T,p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)a及等溫壓縮系11數(shù)父根據(jù)下述積分求得：lnV = ( odT -斥dp)如果支=一 ,kt =一，試求物態(tài)萬(wàn)程。Tp解：以T, p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為 V=V(T, p)其全微分為dV = I包i dT +V dp.(1)全式除以V,有dV =2i

2、V dT+- - dp.i方p印“v v mVYp.t根據(jù)體脹系數(shù)a和等溫壓縮系數(shù) kt的定義，可將上式改寫(xiě)為dV二-dT - Tdp. V(2)上式是以T, p為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線(xiàn)積分，有 lnV = (adT -KTdp).(3)11,、11 一 1 . =一，即=一，式(3)可表為 lnV = f dT dpTpT p ；(4)選擇圖示的積分路線(xiàn)，從(T0, p0)積分到(T, p0 ),再積分到(T, p ),相應(yīng)地體積由Vo最終變到V ,有l(wèi) n = l n一 l-np即VoppVT= _pV_=C (常量)，或 pV=CT.(5), 一口 ,_11 式(5)就是由

3、所給“= 一 ,Kt =一求得的物態(tài)方T p程。確定常量C需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1.3簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)a和等溫壓縮系數(shù)父數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把作常量.試證明簡(jiǎn)單固體和液體的物態(tài)方程可近似為V(T, p)=V T, 0)(1 : T-T0 - tp .解：以T, p為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V=V(T, p).根據(jù)習(xí)題1.2式(2),有dVV(1)將上式沿習(xí)題1.2圖所示的路線(xiàn)求線(xiàn)積分，在a和父可以看作常量的情形下，有in Y_ =(TT0 )一設(shè)( p - p0 ),( 2 ) 或V (T, p )=V (To, po )e尸0聲(p* )(3)考慮到3和%的數(shù)值很小，將

4、指數(shù)函數(shù)展開(kāi),準(zhǔn)確到 a 和 J 的線(xiàn)性項(xiàng)，有 V(T, p)=V(To, po )1+a(T-To)-S(p-po).(4)如果取 p0=o,即有 V(T, p)=V(To, o)1+a(T To )Jp. (5)1.7 小匣題解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能 U與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能 U0由式（1.5.3） U U0 =W +Q（1）確定。由于過(guò)程進(jìn)行得很迅速，過(guò)程中系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換，Q = 0.過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為 叫和W2兩部分來(lái)考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣， 使其在大氣中的體積由 V。變 為零。由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng)p0

5、可以認(rèn)為沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜態(tài)的）。過(guò)程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為W1 = p0AV = p0V0.另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則W2 = 0.因此式（1）可表為U -U0 = p0V0. 如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（1.7.10）,有p0V0 = nRT, （3）nRU0 -U =Cv（T -T0） = （T -T0） -1（4）式中n是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有t=?t0.（5）活門(mén)是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到p0時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作p0,其物態(tài)方程為p0V=nRT0.（6）與式（3）比

6、較，知 V = V0.（7）1.8 滿(mǎn)足pVn =C的過(guò)程稱(chēng)為多方過(guò)程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的n-熱谷量Cn為Cn =Cvn -1解：根據(jù)式（1.6.1 ）,多方過(guò)程中的熱容量C =|日 出）=1生1 +p i1.（1）對(duì)于理想氣體，內(nèi)能 u只是溫度t的函數(shù)，n T 0 T n：T n 汀 n1 ） =C/,所以cn =C/+ p 2i.（2）將多方過(guò)程的過(guò)程方程式pvn = c與理想氣體的物產(chǎn)n汀n態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)p可彳#TVn= C1 （常量）。（3）將上式微分，有VndT+（n1）Vn*dV =0,所以，包=一一V. （4）代入式（2）,即得Cn=CV

7、 pV =nCV,（5）其中用了式.汀 n （n -1）TT（n-1） n -1（1.7.8 ）和（1.7.9 ）。1.9試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量Cn如果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù)C C n =。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。Cn -Cv解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有dU=?Q+?W.（1）對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有？W = -pdV, 對(duì)理想氣體有dU =CVdT,氣體在過(guò)程中吸收的熱量為 ？Q=GdT因此式（1）可表為(Cn -Cv)dT = pdV.（2）用理想氣體的物態(tài)方程 pV =vRT除上式，并注意 Cp Cv = vR,可得(Cn -Cv)dT =(Cp -C

8、v)dV.(3)將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有dp-+dV = dTT p Vp V T式(3)與式(4)聯(lián)立，消去dT ,有T_ dp _ _ dVCn - Cp(Cn Cv)上十(Cn Cp)=0.(5) 令 n=p ,可將式(5)pVCn-Cv(4)表為d + ndV=0.（6）如果Cp, Cv和Cn都是常量，將上式積分即得pVn=C （常p V量）。式（7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.10聲波在氣體中的傳播速度為至cP,s假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量， 試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能 u和焰h可由聲速及給出:22aau1j + u，h = 7，+h0 其中 U0,h0為常量

9、。解：根據(jù)式（1.8.9 ）,聲速a的平方為a2 =pv, （1）其中v是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為pV =NrT,式中m是氣體的質(zhì)量，m是氣體的摩爾質(zhì)量。對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，有m1 CT/口2山,1pv = -RT, （2）代入式（1）得 a =-RT. （3）以u(píng), h表不理想氣體的比 mm內(nèi)能和比崎（單位質(zhì)量的內(nèi)能和烙）。由式（1.7.10 ） （1.7.12 ）知m=懸+m&,然=普1+然0. （4）將式（3）代入即有22a. au=?（vq）+u0, h=7z1+h0.定氣體中的聲速和y即可確定氣體的比內(nèi)能和比始。式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)1.11大

10、氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高 度而降低，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率色工，并給出數(shù)值結(jié)果。dz解：取z軸沿豎直方向（向上）。以p（z）和p（z+ dz）分別表示在豎直高度為 z和z + dz處的大氣壓強(qiáng)。二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即p(z) = p(z + dz)+ P(z)gdz,(1)式中P(z)是高度為z處的大氣密度，g是重力加速度。 將p(z + dz)展開(kāi)，有d一d p(z+dz) = p(z) +p(z)dz,代入式(1),得

11、 一 p(z) = P(z)g. (2)式(2)給出由于重力的存在dzdz導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以m+表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為z處，大氣的摩爾體積為m,則物態(tài)方程為 p(z:?(z)d m去P(z)得一 p(z)=- p(z). (4 )由式(1.8.6 )易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為、dz1 T RT (z)d TcT ) d(5)綜合式(4)和式(5),有、T(z)= J p(z)=dz產(chǎn)一= RT(z),(3) T(z)是豎直高度為z處的溫度。 代入式(2),.:Tdz -1 m g.(6)和，S=1.4 1(大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子)，平均摩爾質(zhì)

12、量m + = 291 旬 kgml=,92a m 傳入式6 )得 dT(z)=-1 0. K k m dz(7)式(7)表明，每升高1km,溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高1km,大氣溫度降低 6K左右。1.12假設(shè)理想氣體的Cp和Cv之比是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)名熱過(guò)程中T和V的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù) F (T ),其表達(dá)式為lnF(T)= dT-1T解：根據(jù)式(1.8.1),理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿(mǎn)足CVdTpdV =0.用物態(tài)方程pV =nRT除上式，第一項(xiàng)用 nRT除，第二項(xiàng)用pV除，可得CVdT dV 0.nRT V(2)利用式(1.7

13、.8)和(1.7.9),Cp-Cv =nR,Cn可將式(2)改定為pCv ,dT+-dV =0. (3)將上式積分，如果 是溫度的函數(shù)，定義-1 T V1 dTlnF(T)= -V,(4)可得lnF(T)+lnV=G (常量)，(5) 或 F(T)V=C (常量)。(6)式(6)給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和V的關(guān)系。1.13利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)了為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為刈=1T2.Ti解：在尸是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式(1.9.4 ) (1.9.6 )仍然成立，即仍有V2V3V2V3Qi =RT1ln,(1)Q2=RT21

14、n,(2)W =Q1 一Q2 = RT1lnRT21n.(3)ViV4V1V4根據(jù)1.13題式(6),對(duì)于 1.9中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程(二)和(四)，有F(T1)V2 = F(T2)V3,(4)F (72W4 = F (Ti)Vi,(5)從這兩個(gè)方程消去 F (Ti)和F (T2),得V2 =V3,(6)故W =R(Ti -T2)lnV2,(7)所以在是溫度的函數(shù)的情形下，Vi V4Vi理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 “ =W = i _T2.(8)QiTi1.14 試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線(xiàn)不能相交。解：假設(shè)在p-V圖中兩條絕熱線(xiàn)交于 C點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線(xiàn)與兩條絕熱線(xiàn)分別交于A點(diǎn)和

15、B點(diǎn)(因?yàn)榈葴鼐€(xiàn)的斜率小于絕熱線(xiàn)的斜率，這樣的等溫線(xiàn)總是存在的)，則在循環(huán)過(guò)程 ABCA中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程 AB中從外界吸取熱量 Q,而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功 W,其數(shù)值等于三條線(xiàn)所圍面積 (正 值)。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 W = Q。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上 述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?，這違背了熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不 可能的。因此兩條絕熱線(xiàn)不可能相交。1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為工，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中， 熱源的最低溫度為T(mén)2,試根據(jù)克氏不等式證明， 熱機(jī)的效率不超

16、過(guò)i-T2.Ti解：根據(jù)克勞修斯不等式(式(i.i3.4),有一 QiZ 0,(i)式中Qi是熱機(jī)從溫度為T(mén)的熱源吸取的熱量(吸熱 Qi為正，放熱Qii Ti為負(fù))。將熱量重新定義，可將式(i)改寫(xiě)為 %- 旦E0,(2)式中Qj是熱機(jī)j Tjk Tkj從熱源Tj吸取的熱量，Qk是熱機(jī)在熱源Tk放出的熱量，Qj , Qk恒正。將式(2)改寫(xiě)為QjQZ Z .(3)假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為T(mén)i,在熱機(jī)j Tjk TkQj Qj，向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T(mén)2,必有j j j故由式(3)得。Qk， k TkT2 kiiZ Qj T2）o這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。 通過(guò)

17、均勻桿中的熱傳導(dǎo)過(guò)程，最終達(dá)到具有均勻溫度 1（工十丁2 ）的2平衡狀態(tài)。為求這一過(guò)程的嫡變， 我們將桿分為長(zhǎng)度為 dl的許多小段，如圖所示。位于l至M+dl的小段， 初溫為_(kāi) _ T1 -T2,、,、一 、，1 _T =丁2 +Ll.（1）這小段由初溫T變到終溫3（丁1 +丁2 ）后的嫡增加值為T(mén) TRJ2dT .O一、j r一dSl =Cpdl 2 =Cpdlln_2 _ ,（2）其中Cp是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。T Tt2 Tl根據(jù)嫡的可加性，整個(gè)均勻桿的嫡增加值為SP 二 dS lln工一 cll ln ln TiT22ln T_LLc LpTi ,T2Ti ln Ti _T2 l

18、n T2 _rUT2Ti ln Ti I ln T21Ti工(3)式中Cp =CpL是桿的定壓熱容量。2.1已知在體積保持不變時(shí)，一氣體的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在溫度保質(zhì)不變時(shí)，該氣體的嫡隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強(qiáng)可表為p= f( V) T (1)式中f (V)是體積V的函數(shù).由自由能的全微分 dF = -SdT - pdV得麥?zhǔn)详P(guān)系借喑將式代入，有保H乳=f (V ) = .(3)T由于p 0, T 0,故有0.這意味著，在溫度保持不變時(shí)，該氣體的嫡隨體積而增加2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:p = f (V )T,試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p = f (V)T,(i)故有空=f (V).(2)但根據(jù)式(2.2.7),有 型，=T 空 j -p, (3) 所以=Tf (V) - p = 0.：:T V：V T.FT V(4)這就是說(shuō)，如果物質(zhì)具有形式為(i)的物態(tài)方程,則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)，只是溫度T的函數(shù).S2.3 求證：(a)0.的，HI力1令V解：烙的全微分為 dH =TdS Vdp.(i)令dH=0,得 =V 0. (2)內(nèi)能