1、小結(jié)小結(jié) 思索題思索題 作業(yè)作業(yè)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限函數(shù)在一點(diǎn)的極限函數(shù)在一點(diǎn)的極限2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列, 即整標(biāo)函數(shù)即整標(biāo)函數(shù)xn = f (n),其自變量的變化只需一種情形其自變量的變化只需一種情形.對(duì)于普通函數(shù)對(duì)于普通函數(shù) y = f (x) 來說來說, 有有:第第2 2章章 極限與延續(xù)極限與延續(xù) Axf)(Xx 用數(shù)學(xué)言語刻劃用數(shù)學(xué)言語刻劃;)(任意小任意小Axf .的過程的過程 x表示表示表示表示無限增大無限增大1. 定義定義定義定義2.22.2.|)(上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)axxf )(X , 0 , 0 X

2、,|時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)Xx |)(|Axf,)(Axfx有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱 Axfx )(lim記作記作).()( xAxf或或, 0 , 0 X無限接近、無限接近、假假設(shè)設(shè)恒有恒有那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列xn的極限的極限. axn有有,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn , 0 , 0 NN 定義定義,|時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)Xx |)(|Axf2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)一、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(infinite point)(infinite point)的的極限極限:)1(情情形形 x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim2. 另兩種情形另兩種情形,

3、0 X,時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Xx .|)(| Axf恒恒有有, 0 , 0 X,時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Xx .)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf .)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf x x定義定義2.22.2.|)(上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)axxf )(X ,|時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)Xx |)(|Axf,)(Axfx有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱 Axfx )(lim記作記作).()( xAxf或或, 0 , 0 X假假設(shè)設(shè)恒有恒有.|)(| Axf恒恒有有2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限解解 顯然有顯然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可見可見xxarctanlim 和和xxarctan

4、lim 雖然都存在雖然都存在,但它們不相等但它們不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例討論極限討論極限xxarctanlim Axfx )(lim且且Axfx )(lim能否存在能否存在?xyarctan Oyx2 2Axfx )(lim2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限定理定理2.5假設(shè)在假設(shè)在x的某種趨向下的某種趨向下, f (x)并不無限接近并不無限接近一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù), 那么稱那么稱:)(limxf在在x的該種趨向下的該種趨向下例例 當(dāng)當(dāng)|x|無限增大時(shí)無限增大時(shí),sin x2x都不無限接近一個(gè)常數(shù)都不無限接近一個(gè)常數(shù),因此因此,sinlimxx 2lim xx 都不存在都不

5、存在.不存在不存在.2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限,時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)XxXx A的的幾幾何何意意義義Axfx )(lim. 3,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 有有 |)(|Axf, 0 , 0 X,為中心線為中心線以直線以直線Ay )(xfy 函數(shù)函數(shù) y= f (x)圖形圖形完全落在完全落在:xyOX X A A AxfA)(.2 的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限xxysin 例例0sinlim xxx證明證明證證, 0 ,1 X取取,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.xxxxsin0sin ,|1x 只需只需 |1x有有,

6、1| x即即 解不等式解不等式| x解出解出xyO定義定義1 1.|)(上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)axxf )(X ,|時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)Xx |)(|Axf,)(Axfx有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱 Axfx )(lim記作記作).()( xAxf或或, 0 , 0 X假假設(shè)設(shè)恒有恒有,)(limCxfx 如果如果Cy 圖形的圖形的 程度漸近線程度漸近線(horizontal asymptote).結(jié)論結(jié)論那么直線那么直線是函數(shù)是函數(shù) y = f (x)2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限. 111lim22 xxx試證試證證證, 0 留意留意有有12111222 xxx,22x 為了使為了使,11

7、122 xx只需使只需使,22 x,2 x即即,2 X取取,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 有有 2222111xxx. 111lim22 xxxx解出解出,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 Axf )(lim, 0 X,時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Xx .|)(| Axf恒恒有有 x2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 Axf)( 00 xx 0 x 0 x,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 用數(shù)學(xué)言語刻劃用數(shù)學(xué)言語刻劃,0 xx 無限接近無限接近于確定值于確定值A(chǔ).;)(任意小任意小表示表示Axf .0的的過過程程表表示示xx 00 xx 二、函數(shù)在一點(diǎn)二、函數(shù)在一點(diǎn)(one-point)的極限的極限xO0 x

8、函數(shù)函數(shù) f (x),(0 xU2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限, 0 若若)( , 0 若若1.定義定義定義定義2.32.3鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義., 0 Axf)(,)(0Axfxx有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱 記作記作).()(0 xxAxf或或, 0 恒有恒有設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0某去心某去心,00時(shí)時(shí) xx使當(dāng)使當(dāng),00時(shí)時(shí) xx Axf)(Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限注注(1) 定義中的定義中的00 xx 所以所以,0時(shí)時(shí)xx f (x)有沒有極限與有沒有極限與 f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0是是否有定義并無關(guān)系否有定義并

9、無關(guān)系.(2) 定義中定義中 標(biāo)志標(biāo)志x接近接近x0的程度的程度, 也將越小也將越小. (3) 不要求最大的不要求最大的 , ,0 xx 表示表示 它與它與普通地說普通地說, 越小越小, 只需求只需求 存在即可存在即可.有關(guān)有關(guān).)( , 0 若若定義定義2.32.3去心鄰域內(nèi)有定義去心鄰域內(nèi)有定義., 0 恒有恒有設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0某某使當(dāng)使當(dāng),00時(shí)時(shí) xx Axf)(記記作作有有極極限限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)則則稱稱,)(0Axfxx Axfxx )(lim0).()(0 xxAxf或或, 0 AyA必存在必存在x0的去心鄰域的去心鄰域,00 xx對(duì)于此鄰域內(nèi)的對(duì)于此鄰域內(nèi)的x,

10、對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).的幾何意義的幾何意義Axfxx )(lim. 20作出帶形區(qū)域作出帶形區(qū)域, 0 ,00 xx當(dāng)當(dāng) Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 x A2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限普通說來普通說來,)(lim0Axfxx 論論證證應(yīng)從不等式應(yīng)從不等式 Axf)(出發(fā)出發(fā), 推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù)推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù),這個(gè)正數(shù)就是要找的與這個(gè)正數(shù)就是要找的與 相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的 , 這個(gè)推導(dǎo)經(jīng)常是困難的這個(gè)推導(dǎo)經(jīng)常是困難的. 但是但是, 留意到我們不需求找最大的留意到我們不需求找最大的, 所以所以Axf )(適當(dāng)放

11、大些適當(dāng)放大些,的式子的式子,變成易于解出變成易于解出0 xx . 找到一個(gè)需求的找到一個(gè)需求的 找到找到就證明終了就證明終了.可把可把2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC , , 0 0 .lim0CCxx , 0 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf , 0 , 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf , .lim00 xxxx 任任, 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限例例. 211lim21 xxx證證明

12、明證證211)(2 xxAxf, 0 , 只只要要取取函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)1 x,)( Axf,2112 xx有有. 211lim21 xxx處沒有定義處沒有定義.1 x要使要使,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限例例.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx Axf)(要要使使,0 xx有有 00 xxx 即即只只要要.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明0 x且且 取取,0 x 0 x min00 xxx 0 x可用可用00 xxx 保證保證 2

13、.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限(1) 證明證明9)14(lim2 xx證證, 0 由于由于 9)14( x要使要使 9)14( x解出解出)(2 x只需只需,42 x可取可取 有有,9)14( x. 9)14(lim2 xx解不等式解不等式,4 4 24 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限(2) 證明證明0coscoslim0 xxxx 0coscosxx2sin20 xx 0 xx 證證, 0 可取可取, ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx有有,coscos0 xx0coscoslim0 xxxx 同樣有同樣有0s

14、insinlim0 xxxx (本人證本人證).2sin2sin200 xxxx , 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限可以證明以下重要結(jié)論可以證明以下重要結(jié)論冪函數(shù)冪函數(shù), 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù), 三角函數(shù)及三角函數(shù)及反三角函數(shù)等根本初等函數(shù)反三角函數(shù)等根本初等函數(shù), 每點(diǎn)處的極限都存在每點(diǎn)處的極限都存在, 在其定義域內(nèi)的在其定義域內(nèi)的并且等于函數(shù)在該點(diǎn)處并且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值的值.2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限3. 左、右極限左、右極限(單側(cè)極限單側(cè)極限)例如例如, 0, 10,1)(2xxxxxf設(shè)設(shè)

15、00 xx和和分分; 00 xx記作記作. 00 xx記記作作. 1)(lim0 xfx兩種情況分別討論兩種情況分別討論!xyO1xy 112 xyx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近x0,x從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近x0,2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限左極限左極限, 0 右極限右極限Axfxxxx )(lim)(000記作記作Axfxxxx )(lim)(000記作記作, 0 .)( Axf恒有恒有00 xxx 使得使得時(shí)時(shí),Axf )0(0或或, 0 , 0 使得使得時(shí)時(shí),Axf )0(0或或.)(0Axf 或或或或.)(0Axf 定定義義 , 0 若若,00時(shí)時(shí)使當(dāng)

16、使當(dāng) xx Axf)(.)(0Axfxx有極限有極限時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)則稱則稱 , 0 恒有恒有設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)有定義某去心鄰域內(nèi)有定義. 00 xxx.)( Axf恒恒有有00 xxx注注Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00均均存存在在和和右右極極限限左左極極限限)0()0(00 xfxf且且0000 xxxxxx 性質(zhì)常用于判別分段函數(shù)當(dāng)性質(zhì)常用于判別分段函數(shù)當(dāng) x 趨近于趨近于分段點(diǎn)分段點(diǎn) 時(shí)的極限時(shí)的極限.2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限定理定理2.6試證函數(shù)試證函數(shù),1sin1)( xxxxxf)(lim1xfx xx 1lim.,1無極限無極限

17、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x證證)(lim1xfx xxsinlim1 1 1sin 左、右極限不相等左、右極限不相等,故故.)(,1無無極極限限時(shí)時(shí)xfx 例例000lim,0 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0sinsinlim0 xxxx 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限xxx|lim0 xxx|lim0 左、右極限存在左、右極限存在,證證1)1(lim0 xxxx|lim0 11lim0 xxxx0lim 故極限不存在故極限不存在.例例但不相等但不相等,討論討論的存在性的存在性.xyO11 xxx 0lim2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 函數(shù)極限與數(shù)列極限相比函數(shù)極限與數(shù)列極限相比, 有類似的性質(zhì)有類似的性質(zhì),定理定理

18、2.7(2.7(極限的獨(dú)一性極限的獨(dú)一性) ) f (x)有極限有極限,假設(shè)在自變量的某種假設(shè)在自變量的某種變化趨勢(shì)下變化趨勢(shì)下,那么極限值必獨(dú)一那么極限值必獨(dú)一.定理定理2.8(2.8(部分有界性部分有界性) ),0時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xx f (x)有有那么那么 f (x)在在),(0 xU,時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng) xf (x)有極限有極限,|, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在XxX 且證明方法也類似且證明方法也類似.三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)函數(shù) f (x)上有界上有界;極限極限,有界有界.2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限證證 設(shè)設(shè),)(lim0Axfxx 取取, 1 , 0 則則,00 xx使使當(dāng)當(dāng)1

19、)( Axf有有 )(xf1 AM證畢證畢.AAxf )(:定定義義 , 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限, 0)(lim0 Axfxx如如果果定理定理2.92.9證證對(duì)對(duì),2| A ,)(lim0Axfxx 由由, 0 ,00 xx使使當(dāng)當(dāng),2|)(AAxf 從而從而2|)(2|AAxfAA ,),(0內(nèi)內(nèi)則在則在 xU有有2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限.2| )(|Axf 有有;2)(, 0AxfA 有有若若,2)(, 0AxfA 有有若若總之總之,.2| )(|Axf 有有,)(lim0Axfxx 如果如果定理定理2

20、.10(2.10(函數(shù)極限的部分保號(hào)性函數(shù)極限的部分保號(hào)性) ).0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在 ),0(0 AA或或而而且且2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限),0)(0)(),(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有如如果果在在 ).0(0 AA或或那那么么推論推論2.22.2,)(lim0Axfxx 而而且且證證, 0)( xf設(shè)設(shè) 假設(shè)上述結(jié)論不成立, 0 A即設(shè)即設(shè)那末定理那末定理3就有就有),(0 xU在該鄰域內(nèi)在該鄰域內(nèi), 0)( xf這與這與. 0 A所以所以類似可證類似可證 的情形的情形.0)( xf假設(shè)矛盾假設(shè)矛盾,假設(shè)定理假設(shè)定理3 3推論中的條件改為推論中的條

21、件改為, 0)( xf能否必有能否必有?0 A不能不能! ! 20lim xx如如 . 0定理定理3(3(函數(shù)極限的部分保號(hào)性函數(shù)極限的部分保號(hào)性) ).0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在 ),0(0 AA或或而而且且,)(lim0Axfxx 如果如果2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限),0)(0)(),(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有如如果果在在 ).0(0 AA或或那那么么推論推論2.22.2,)(lim0Axfxx 而而且且定理定理2.11(2.11(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) )極限極限存在的充要條件為對(duì)于存在的充要條件為對(duì)于f (x)定義域內(nèi)任一

22、收斂于定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列的數(shù)列xn,相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f (xn)均收斂均收斂. 且滿足且滿足:0 xxn ),( Nn證證設(shè)設(shè)那那么么, 0 , 0 ,|00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf有有故對(duì)故對(duì), 0 ,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 有有.|0 xxn,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn0limxxnn )(lim0 xfxx,)(lim0Axfxx )(limnnxf.A要證要證即即, 0 , 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.)( Axf恒有恒有Axfxx )(lim02.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限歸并原理歸并原理, ,也稱海涅也稱海涅(Heine)(He

23、ine)定理定理那么存在那么存在, 00 ,nx ,1|00nxxn .|)(|0 Axfn或或.)(limAxfnn 設(shè)設(shè)定理定理4(4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) )極限極限存在的充要條件為對(duì)于存在的充要條件為對(duì)于f (x)定義域內(nèi)任一收斂于定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列的數(shù)列xn,相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f (xn)均收斂均收斂. 且滿足且滿足:0 xxn ),( Nn)(lim0 xfxx2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限歸并原理歸并原理, ,也稱海涅也稱海涅(Heine)(Heine)定理定理證證滿足定理中條件的函數(shù)值數(shù)列滿足定理中條件的函數(shù)值數(shù)列f (xn)

24、 極限均相等極限均相等, 不存在不存在若若)(lim0 xfxx,)(lim0Axfxx 使得對(duì)于任給使得對(duì)于任給, Nn數(shù)列數(shù)列xn滿足滿足,00 xxxxnn 且且某個(gè)某個(gè)但但f (xn)不趨向于不趨向于A, 矛盾矛盾.由定理由定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)可把可把函數(shù)極限的許多性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限去討論函數(shù)極限的許多性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限去討論. .它還可證明函數(shù)它還可證明函數(shù)f (x)極限不存在極限不存在, 用用只需找出兩個(gè)只需找出兩個(gè)數(shù)列數(shù)列,0 xxxnn都都收收斂斂于于 ,00 xxxxnn 且且)(),(nnxfxf 但但卻收斂于不同的極限卻收斂于不同的極

25、限, ,或者找出或者找出一個(gè)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列發(fā)散即可一個(gè)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列發(fā)散即可. .2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限例例.1sin,0的的極極限限不不存存在在函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)證證明明當(dāng)當(dāng)xx 證證 取取 nx,1 n nx, 0lim nnx, 0lim nnx, 0 nx且且, 0 nx而而 nnx1sinlim0,sinlim nn nnx1sinlim1,)212(sinlim nn兩者不相等兩者不相等.1sin,0的極限不存在的極限不存在函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)xx 2121 n 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限注注 以上定理也適用于其它極限過程以上定理也適用于其它極限過程)(limxfx 等等(包括單側(cè)極限包括