1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀

2、相同. 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開

3、口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上

4、三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、

5、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故第二部分 典型習(xí)題考點(diǎn)1:函數(shù)的三種形式.拋物線yx22x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）2. 拋物線y=2(x-3)2的頂點(diǎn)在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. x軸上D. y軸上3拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A

6、（2，1）B（-2，-1）C（-2，1）D（2，-1）4如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，則下列結(jié)論中正確的是 A B當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 C D是一元二次方程的一個(gè)根5 拋物線y=x2+bx+c，經(jīng)過(guò)A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式為_.6.已知拋物線. （1）直接寫出它與x軸、y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）用配方法將化成的形式7. 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x-101234y830-103 (1) 求該二次函數(shù)的解析式； (2) 當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？ (3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)兩點(diǎn)都

7、在該函數(shù)的圖象上，計(jì)算當(dāng)m 取何值時(shí)，8. 拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x21012y04408 （1）根據(jù)上表填空： 拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 和 ； 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (-3, )； 在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而 ； （2）試確定拋物線y=ax2+bx+c的解析式. 解: （1） 拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 和 ； 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (-3, )； 在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而 . （2）考點(diǎn)2.a、b、c符號(hào)問(wèn)題1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第1,2題圖 第3題圖2.二次函數(shù)的圖象如上

8、圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c03 已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如上圖所示，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) Aa>0 Bc0 C Dabc>04.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）Aa+b+c> 0Bb> -2aCa-b+c> 0Dc< 05.拋物線y=ax2+bx+c中，b4a，它的圖象如右圖，有以下結(jié)論： c>0； a+b+c> 0 a-b+c> 0b2-4ac<0abc< 0；其中正確的為（ ） ABCD6.

9、已知二次函數(shù)yax2bxc，如果a>b>c，且abc0，則它的圖象可能是圖所示的( ) 7二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，那么abc，b24ac， 2ab，abc 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 考點(diǎn)3：二次函數(shù)的增減性1.二次函數(shù)y=3x26x+5，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最 值是 。2.已知函數(shù)y=4x2mx+5，當(dāng)x> 2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x< 2時(shí)，y隨x的增大而減少；則當(dāng)x1時(shí),y的值為 。3.已知二次函數(shù)y=x2(m+1)x+1，當(dāng)x1時(shí)

10、，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 .4.已知二次函數(shù)y=x2+3x+的圖象上有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 .考點(diǎn):4：圖象平移對(duì)稱問(wèn)題1將拋物線先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是 2. 將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式為 3. 將拋物線y=x2平移得到拋物線y=x2+3,則下列平移過(guò)程正確的是 ( )A. 向上平移3個(gè)單位 B. 向下平移3個(gè)單位C. 向左平移3個(gè)單位 D. 向右平移3個(gè)單位4.拋物線y=2x24x關(guān)

11、于y軸對(duì)稱的拋物線的關(guān)系式為 。5.拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線為y=2x24x+3，則a= b= c= 6已知拋物線（其中） （1）求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)(可以用含k的代數(shù)式表示)； （2）若記該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直接寫出的最小值； （3）將該拋物線先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，隨著的變化，平移后的拋物線的頂點(diǎn)都在某個(gè)新函數(shù)的圖象上，求這個(gè)新函數(shù)的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）考點(diǎn)5：三個(gè)二次問(wèn)題：1.已知二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、（），則對(duì)于下列結(jié)論：當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)時(shí)，y0；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是

12、（只需填寫序號(hào)）2.已知二次函數(shù)，（1）它的最大值為 ；（2）若存在實(shí)數(shù)m，n使得當(dāng)自變量x的取值范圍是mxn時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍恰好是3my3n，則m= ，n= 3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)4已知函數(shù)（x 0），滿足當(dāng)x =1時(shí)，且當(dāng)x = 0與x =4時(shí)的函數(shù)值相等 （1）求函數(shù)（x 0）的解析式并畫出它的 圖象（不要求列表）； （2）若表示自變量x相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，且 又已知關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)利用圖象直接 寫出實(shí)數(shù)k的取值范圍考點(diǎn)6：二次函數(shù)的應(yīng)用1某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種

13、手套每天的銷售量w(雙)與銷售單價(jià)x(元)滿足(20x40),設(shè)銷售這種手套每天的利潤(rùn)為y（元）. （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí), 每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解:2已知二次函數(shù)yx2+(3-)x-3 (m>0)的圖象與x軸交于點(diǎn) (x1, 0)和(x2, 0), 且x1<x2. （1）求x2的值;（2）求代數(shù)式的值.考點(diǎn)7：二次函數(shù)與一次函數(shù)1. 若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象只可能是( )2.當(dāng)b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

14、）3.已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BCAB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線的解析式.考點(diǎn)8：代數(shù)幾何綜合問(wèn)題1.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（EF不過(guò)A、B），設(shè)E到BC的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（ ）2.拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為 3. 如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是4，圖象交x軸于點(diǎn)A(m，0)和點(diǎn)B，且m>4，那么A

15、B的長(zhǎng)是( )A. 4+m B. mC. 2m-8D. 8-2m4.某大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DEAB，如圖（1）在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2） （1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域； （2）如果DE與AB的距離OM0.45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果精確到1米）5.已知拋物線與x軸交于A、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C是否存在實(shí)數(shù)a，使得ABC為直角三

16、角形若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6. 如圖, 已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及，其頂點(diǎn)為B(m,3),C是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合)，點(diǎn)D在y軸上, 且EO=ED . （1）求此拋物線及直線OC的解析式； （2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí), 求BD的長(zhǎng)； （3）連接AD, 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AED的面積為，請(qǐng)直接寫出此時(shí)E點(diǎn)的 坐標(biāo). 解:7已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（其中n0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿OABC的順序向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為l，POC的面積為S，S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形 （1）結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的m= ； （2）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng)； （3）在圖1中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線W的頂點(diǎn)時(shí)， 求此拋物線W的解析式； 若點(diǎn)Q在直線上方的拋物線W上，坐