1、結(jié)構(gòu)力學(xué)傅向榮第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算 xyAAFPDC CDDCFP P AAAPAxAyt 結(jié)構(gòu)剛度驗算鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求如：如：在工程上，在工程上，吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大層間位移最大層間位移t1)的情況下，微段發(fā)生圖所示變形。設(shè)微段軸向溫度變化相同，溫度沿截面高度線性變化，截面高度為h，設(shè)截面對中性軸對稱。1t2

2、tst d1dstd0std2sdh如果記桿軸線溫度改變?yōu)閠0=(t1+t2)/2，兩側(cè)溫差絕對值為t=t1t2，則不難想象，微段相對變形可分解成軸線變形du和繞中性軸的截面轉(zhuǎn)動變形d，而溫度改變不能產(chǎn)生截面錯動和扭轉(zhuǎn)變形。因此由可得dstdu0dshthdsttd)(21對于直桿ds=dx將上述實際結(jié)構(gòu)由溫度所引起的“虛變形”代入虛功方程式，即可獲得溫度改變引起的位移計算公式為如果材料、溫度沿桿長不變而且桿件為等截面，則上式可改寫作式中MFAAN和分別為單位廣義力引起的桿件軸力圖面積和彎矩圖面積。式中符號確定問題將在后面集中解釋。shtMdxFtlNd)()(00)()(0htAtAiNMF

3、e靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kPWi =MikPds kP =MikPds 其中其中:荷載作用荷載作用求求K點豎向位移點豎向位移./EIkPPMWe =1kP溫度作用溫度作用求求K點豎向位移點豎向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 關(guān)鍵是計算微關(guān)鍵是計算微段的溫度變形段的溫度變形設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度度 ，上、下邊緣的溫差，上、下邊緣的溫差 ,線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)為為 .0tt 12tttstutdd0 hththtthhtt2112121

4、10 )(微段的溫度變形分析微段的溫度變形分析hsttdd 無剪應(yīng)變無剪應(yīng)變hsMtsNthstMstNdskMQNiiitttKydddd)(iitii00若若,/ 221hhh2120/)(tttMiithtlNt)(0溫度引起的位移計算公式溫度引起的位移計算公式:hsMtsNtiitddi0對等對等 截截 面面 直直 桿桿:上式中的正、負(fù)號：上式中的正、負(fù)號：若若 和和 使桿件的同一邊使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。 Mt 求圖所示剛架，外側(cè)溫度不變，內(nèi)側(cè)溫度上升20C。已知：l=4m,線脹系數(shù)=105/C，各桿均為高度h=0.4m的矩形截面，求A點豎向

5、位移。(a)AlC20hbl先作原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)構(gòu)，在A點按所求位移加單位力，如圖所示:X=1作出結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和軸力圖，分別如圖b和c所示：X=1lM(b)X=11NF1(c)求出各桿軸線處溫度改變量t0和桿截面兩側(cè)溫差的絕對值t為CCCt1022000CCCt20020代入溫度改變引起的位移計算式即可，式中)(0hAtAtMFAyN20)21(10) 1(101 hCllllClCl)(102 . 12m例：例： 剛架施工時溫度為剛架施工時溫度為20 ，試求冬季外側(cè)溫度為，試求冬季外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時時A點的豎向位移點的豎向位移 。已知。已知 l=4 m,

6、,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)CtCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lMi1Nil )(125llhllh10121101)(.m0050例：例： 求圖示桁架溫度改變引起的求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)lNtiAB0Ni41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4(Analysis of Displacements in a Statically Determinate

7、Structures Induced by Support Movement)只討論靜定結(jié)構(gòu)。因為待求位移結(jié)構(gòu)存在支座已知位移ci，因此單位力狀態(tài)所引起的支座反力就要在這一位移上作功。將單位力狀態(tài)引起的和ci對應(yīng)的反力記為FRi，則虛功方程為01VcFWiRii支座位移引起的計算公式為iRiicF(4-8)1c2c3cKKKC1K1R2R3R變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:計算公式為計算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cC

8、BAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求制造誤差引起的位移計算制造誤差引起的位移計算)(.)(mmA272348118每個上弦桿加長每個上弦桿加長8mm,求求由此引起的由此引起的A點豎向位移點豎向位移.118/mm4886m11A1118/118/118/第五章 結(jié)構(gòu)位移計算5-8 互等定理（Reciprocal Theory in Linear Structures)一、線性桿系

9、結(jié)構(gòu)的變形能一、線性桿系結(jié)構(gòu)的變形能 根據(jù)能量守恒，對線彈性、小變形結(jié)構(gòu)，根據(jù)能量守恒，對線彈性、小變形結(jié)構(gòu)，外力所做的功恒等于儲存于體內(nèi)的應(yīng)變能。外力所做的功恒等于儲存于體內(nèi)的應(yīng)變能。 由第一節(jié)所復(fù)習(xí)的材料力學(xué)知識可知由第一節(jié)所復(fù)習(xí)的材料力學(xué)知識可知 sGIMsEIMsGAkFsEAFVxd2 d2d2d2P222Q2N或者或者 )sGIsEIskGAsEA(Vdd dd212P222 V的性質(zhì)：的性質(zhì)：(1) 總為正總為正; (3) 內(nèi)力或位移的二次式內(nèi)力或位移的二次式;(4) 疊加原理不適用疊加原理不適用;(2) 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),是狀態(tài)的函數(shù)。是狀態(tài)的函數(shù)。二、線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理

10、二、線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1. 功的互等定理功的互等定理:方法一方法一11 2P12 22 222212111112121 PPPW11 第第 I 狀態(tài)狀態(tài)先加廣義力先加廣義力P1，后加廣義力，后加廣義力P2。12 2P11 21 222 11121222222121 PPPW12 2P22 2由由21WW 212121 PP功的互等定理功的互等定理第第 狀態(tài)狀態(tài)先加廣義力先加廣義力P2，后加廣義力，后加廣義力P1。方法二方法二由虛功原理由虛功原理12 2P2第第 II 狀態(tài)狀態(tài)第第 I 狀態(tài)狀態(tài)21 12112 PWs)GIMMEIMMGAFFkEAFF(xxdP21212Q1Q2N1N 21

11、221 PWs)GIMMEIMMGAFFkEAFF(xxdP12121Q2Q1N2N 212121 PP2. 位移互等定理位移互等定理:2112 由功的互等定理，等式兩邊同除廣義力乘由功的互等定理，等式兩邊同除廣義力乘積積 P1 P2 ，則可得，則可得121212PP 上式表明，上式表明，。若記若記21212P 12121P 則則可見可見1. 單位廣義力是量綱為一的量單位廣義力是量綱為一的量；2. 互等不僅是指互等不僅是指數(shù)值相等數(shù)值相等，且，且量綱也相同量綱也相同。由由2112121212 PP第第 II 狀態(tài)狀態(tài)12PACBCf如圖示長如圖示長 l ，EI 為常數(shù)的簡支梁為常數(shù)的簡支梁EI

12、lB16221 EIlfc16212 第第 I 狀態(tài)狀態(tài)B AC11PB跨中跨中 國家有關(guān)部門最近規(guī)定，對新近出版的教國家有關(guān)部門最近規(guī)定，對新近出版的教材，材，EIlPB162121 EIlPfc162212 若上例簡支梁受的是廣義力，而不是單位廣若上例簡支梁受的是廣義力，而不是單位廣義力，則義力，則P 1的量綱為的量綱為MLT-2， P 2的量綱為的量綱為ML2T-2根據(jù)功的互等定理，有：根據(jù)功的互等定理，有：BcPfP 21兩邊同除以兩邊同除以P 1 P 2得：得：EIlPPPPEIlPPPP16162112222211或或11PP22PP稱為稱為。 更確切，應(yīng)稱為更確切，應(yīng)稱為，它有廣義力它有廣義力的三要素（數(shù)值為一），但無單位和量綱。的三要素（數(shù)值為一），但無單位和量綱。 因此，與其說施加單位廣義力，倒不如因此，與其說施加單位廣義力，倒不如說施加廣義力系數(shù)。這樣說施加廣義力系數(shù)。這樣21221216111611 EIlEIl3. 反力互等定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：111221rr1221rr反力互等定理反力互等定理請自行驗證：數(shù)值、量綱都相同。請自行驗證：數(shù)值、量綱