1、教材教材: :自編教材自編教材大學(xué)物理大學(xué)物理講講義義20132013年春季學(xué)期開(kāi)始年春季學(xué)期開(kāi)始制作制作: :紅河學(xué)院理學(xué)院紅河學(xué)院理學(xué)院 Zhu Qiao ZhongZhu Qiao Zhong第第3 3章章功和能功和能 2第3章功和能（1）恒力的功）恒力的功 一一. .功功3.1 3.1 功和功率功和功率 FrF恒力沿直線做的功：恒力沿直線做的功： cosrFA rF單位：焦單位：焦耳（耳（J） 1 J = 1Nm 功的其它單位：功的其它單位：1eV=1.610-19J力的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng) 3第3章功和能（2） 變力的功變力的功 在極微小的時(shí)間在極微小的時(shí)間 dt dt 內(nèi)，

2、可以將內(nèi)，可以將 變力視為恒力，此間的位移為變力視為恒力，此間的位移為 drdr，則則F F所作的功也很微小，稱為元功所作的功也很微小，稱為元功dAdA。微元法！化曲為直化變?yōu)楹鉖Q變力Fm元位移rd 元路程ds rdFdA rd Fcos dr Fcos變力的總功：變力的總功：rdFAQPrrQPrr drF cos1.1.功是過(guò)程量，與路徑有關(guān)。功是過(guò)程量，與路徑有關(guān)。2.2.功是標(biāo)量，但有正負(fù)。功是標(biāo)量，但有正負(fù)。 注意：注意： 4第3章功和能（3） 合力的功合力的功物體同時(shí)受物體同時(shí)受 的作用，則的作用，則 , , , , iFFF21 iiirrirriirrArdF rdF rdF

3、AQPQPQP 結(jié)論：合力對(duì)物體所作的功等于各分力所作功的代數(shù)和。結(jié)論：合力對(duì)物體所作的功等于各分力所作功的代數(shù)和。 在直角坐標(biāo)系中，作用于物體的合力和位移為在直角坐標(biāo)系中，作用于物體的合力和位移為 kdzjdyidxrdkFjFiFFzyx則合力作功為：則合力作功為：zyxQPzQPyQPxQPAAAdzFdyFdxFrdFA結(jié)論：在直角坐標(biāo)系中，合力所作的功等于其直角分量作功的代數(shù)和。結(jié)論：在直角坐標(biāo)系中，合力所作的功等于其直角分量作功的代數(shù)和。 5第3章功和能討論：功的正負(fù)討論：功的正負(fù)QPdAAQP dsF cosPQ元路程ds元位移rd 變力Fm，表表示示力力對(duì)對(duì)物物體體不不作作功功

4、時(shí)時(shí)，表表示示力力對(duì)對(duì)物物體體作作負(fù)負(fù)功功時(shí)時(shí)，表表示示力力對(duì)對(duì)物物體體作作正正功功時(shí)時(shí)，020202AAA 6第3章功和能功率的單位：瓦特（功率的單位：瓦特（W ） 1W = 1J / s二二 功率功率dtdAtAP：tAP：t0lim瞬瞬時(shí)時(shí)功功率率平平均均功功率率 cosFvvFdtrdFPrdFdA英制：英制：hp (馬力馬力) 1 hp = 735.5 W 7第3章功和能 例例3.1、一隕石從距地面高為、一隕石從距地面高為h處由靜止開(kāi)始落向地面，忽略空氣阻力，處由靜止開(kāi)始落向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功是多少？求隕石下落過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功是多少？解：取地心為原

5、點(diǎn)，引力與矢徑方向相反解：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反mhoRrdrGMmrdFARhRRhRr) (2)(hRRGMmhdrGMmRhRr2 8第3章功和能解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量） 例例3.2、質(zhì)量為、質(zhì)量為2 kg 的質(zhì)點(diǎn)在力的質(zhì)點(diǎn)在力 的作用下，從靜止出發(fā)，的作用下，從靜止出發(fā)，沿沿x軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。vdttdtvFrdFA122000032120tdttdtmFadtvvtttJtdttdtttA7299363124303302i tF12 9第3章功和能 例例3.3 如圖示，長(zhǎng)為如圖示

6、，長(zhǎng)為R的細(xì)繩固定于點(diǎn)的細(xì)繩固定于點(diǎn)O，末端系一為質(zhì)量為，末端系一為質(zhì)量為m的小球。的小球。用水平推力將小球緩慢地從豎直位置移到細(xì)繩與豎起方向成用水平推力將小球緩慢地從豎直位置移到細(xì)繩與豎起方向成角的位置。角的位置。在不考慮空氣阻力的情形下，求推力所作的功。在不考慮空氣阻力的情形下，求推力所作的功。 解：解：以小球自然下垂時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建以小球自然下垂時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。對(duì)小球作受力分析。立坐標(biāo)系。對(duì)小球作受力分析。 dyxOFmgT 小球受力作用小球受力作用 “緩慢運(yùn)動(dòng)緩慢運(yùn)動(dòng)”，意味著可視為處，意味著可視為處于受力平衡狀態(tài)。于受力平衡狀態(tài)。x方向：方向：y方向：方向：故有故有

7、:FTsinmgTcosmgFtanRdFdsFl dFdAcoscos)cos(cosmgRRdFdAA10 10第3章功和能1 1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理3.2 3.2 動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能和動(dòng)能定理1vPQ2vrdFdsFrdFrdFrdFA cos考慮到考慮到dtdvmF 得得dvmvAvv2121222121mvmvA221mvEdefkkPkQEEA動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。 11第3章功和能（1 1）功是）功是過(guò)程過(guò)程量，動(dòng)能是量，動(dòng)能是狀態(tài)狀態(tài)量。量。討論討論（2 2）功是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改

8、變的量度。）功是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變的量度。（3 3）動(dòng)能定理有助于對(duì)功的理解：）動(dòng)能定理有助于對(duì)功的理解： A0 A0，表示合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作正功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增加；，表示合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作正功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增加； A0A0，表示合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能減少，表示合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能減少 （或：質(zhì)點(diǎn)減少自身的動(dòng)能反抗合外力對(duì)外作功）。（或：質(zhì)點(diǎn)減少自身的動(dòng)能反抗合外力對(duì)外作功）。 12第3章功和能 例例3.4 以以200N的水平推力推一個(gè)原來(lái)靜止的小車，使它沿水平路面行駛的水平推力推一個(gè)原來(lái)靜止的小車，使它沿水平路面行駛了了5.0m，若小車，若小車 的質(zhì)量為的質(zhì)量為100kg，小車運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為，小

9、車運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為0.10，試用牛頓，試用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理兩種方法求小車的末速。運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理兩種方法求小車的末速。 解法一：解法一：解法二：解法二：2/02. 1smmmgFamgfmafF 2/2 . 32smasv22/2 . 3)(2021)(smmsmgFvmgfmvsfF 動(dòng)能定理僅適用于慣性系，為變力作功的計(jì)算提供便利。 13第3章功和能 例例3.5 小球以初速率小球以初速率vA 沿光滑曲面向下沿光滑曲面向下滾動(dòng)滾動(dòng), 如圖所示。問(wèn)當(dāng)小球滾到距出發(fā)點(diǎn)如圖所示。問(wèn)當(dāng)小球滾到距出發(fā)點(diǎn)A的垂直距離為的垂直距離為h 的的B 處時(shí)處時(shí), 速率為多大速率為多大 ? 解：建立如圖所

10、示的坐標(biāo)系，小球在滾解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，小球在滾動(dòng)過(guò)程中受到動(dòng)過(guò)程中受到mg和和N兩個(gè)力的作用。合力兩個(gè)力的作用。合力為：為：根據(jù)動(dòng)能定理有：根據(jù)動(dòng)能定理有：NgmF222121ABBAmvmvrFd222121ABBABAmvmvrdNrdgm即即NyOxBAmgh因因N始終垂直于始終垂直于dr，故，故0BArdN于是于是222121ABBAmvmvrmgd所以所以mghmgdymgdyrdgmhBABA0解得末速率為解得末速率為 ghvvAB22 14第3章功和能質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：m1 m2(以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例)外力：外力：2 2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理21FF內(nèi)力：

11、內(nèi)力：21ff初速：初速：PPvv21末速：末速：QQvv21211211111112121 :1111PQQPQPvmvmrdfrdFm211211111112121 :1111PQQPQPvmvmrdfrdFm兩式相加得：兩式相加得：2211221122112211 QPQPQPQPrdfrdfrdFrdF）（22221122221121212121PPQQvmvmvmvm 15第3章功和能即即： 外力的功之和內(nèi)力的功之和系統(tǒng)末動(dòng)能系統(tǒng)初動(dòng)能外力的功之和內(nèi)力的功之和系統(tǒng)末動(dòng)能系統(tǒng)初動(dòng)能kPkQEEAA內(nèi)內(nèi)外外質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系

12、做的功和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。系作的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。注意：內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。注意：內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。說(shuō)明： 1、動(dòng)能是狀態(tài)量，任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)一定的動(dòng)能。 2、 EK為動(dòng)能的增量，增量可正可負(fù)，視功的正負(fù)而變。 3、動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而具有的做功本領(lǐng)。 16第3章功和能 17第3章功和能3.3 3.3 勢(shì)能勢(shì)能一一. .引力勢(shì)能和重力勢(shì)能引力勢(shì)能和重力勢(shì)能1.1.萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功: :0 xyPQLdrdlFCr l dFdAArrdrrMmGrrl drrMmGAQPQP22)PQrMmG

13、rMmG定義引力勢(shì)能定義引力勢(shì)能rMmGEdefP則則: :)(PPPQEEA萬(wàn)有引力的功等于引力勢(shì)能的負(fù)增量。萬(wàn)有引力的功等于引力勢(shì)能的負(fù)增量。與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)有心力？有心力？零勢(shì)能面的選擇？零勢(shì)能面的選擇？0P處 ，Er 18第3章功和能2.2.重力的功重力的功在地球表面附近有在地球表面附近有QQPPQPhRr;hRr;Rrr2重力的功重力的功: :)()()()(PQPQPQPQPQhhmgRhhMmGrrrrMmGrMmGrMmGA2定義重力勢(shì)能定義重力勢(shì)能mghEdefP則則: :)(PPPQEEA重力的功等于重力勢(shì)能的負(fù)增量。重力的功等于重力勢(shì)能的負(fù)增量。與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)零

14、勢(shì)能面的選擇？零勢(shì)能面的選擇？ 19第3章功和能二二. .彈力的功彈力的功222121QPxxxxkxkx kxdxrdFAbaba定義彈性勢(shì)能定義彈性勢(shì)能221kxEdefP則則: :)(PPPQEEA彈力的功等于彈性勢(shì)能的負(fù)增量。彈力的功等于彈性勢(shì)能的負(fù)增量。與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)零勢(shì)能面的選擇？零勢(shì)能面的選擇？ 20第3章功和能三三. .保守力與非保守力保守力與非保守力一、保守力：作功與路徑無(wú)關(guān)的力。一、保守力：作功與路徑無(wú)關(guān)的力。 萬(wàn)有引力、重力、彈性力、靜電場(chǎng)力萬(wàn)有引力、重力、彈性力、靜電場(chǎng)力:保守力作功與路徑無(wú)關(guān)，僅取決于始末位置。保守力作功與路徑無(wú)關(guān)，僅取決于始末位置。 保守力有對(duì)

15、應(yīng)的勢(shì)能。保守力有對(duì)應(yīng)的勢(shì)能。 保守力作功的特性：沿任意閉合路徑繞行一周所作的功恒為保守力作功的特性：沿任意閉合路徑繞行一周所作的功恒為0 0。即。即: :0Ll dF二、非保守力（二、非保守力（耗散力耗散力）：作功不僅與物體的始末位置有關(guān)，還與物體）：作功不僅與物體的始末位置有關(guān)，還與物體所經(jīng)歷的路徑有關(guān)的力。所經(jīng)歷的路徑有關(guān)的力。 例如：摩擦力、磁場(chǎng)力例如：摩擦力、磁場(chǎng)力 21第3章功和能零勢(shì)能點(diǎn)的一般取法零勢(shì)能點(diǎn)的一般取法引力勢(shì)能引力勢(shì)能以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)( r = ，EP = 0， 恒負(fù)恒負(fù) )重力勢(shì)能重力勢(shì)能以地面為零勢(shì)能點(diǎn)以地面為零勢(shì)能點(diǎn)（ h = 0，E P

16、 = 0，可正可負(fù)，可正可負(fù) ）彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能以彈簧原長(zhǎng)末端為零勢(shì)能點(diǎn)以彈簧原長(zhǎng)末端為零勢(shì)能點(diǎn)( x = 0，E p= 0，恒正，恒正 )mgh Ep rMm GEp保守力的功保守力的功 = = 勢(shì)能增量的負(fù)值勢(shì)能增量的負(fù)值 勢(shì)能具有相對(duì)意義，所以在具體問(wèn)題中必須規(guī)定零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具有相對(duì)意義，所以在具體問(wèn)題中必須規(guī)定零勢(shì)能點(diǎn)。221kx E p 22第3章功和能勢(shì)能函數(shù)與保守力的關(guān)系勢(shì)能函數(shù)與保守力的關(guān)系: :drdFEP * *四四. . 勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線只有保守場(chǎng)引入勢(shì)能才有意義；只有保守場(chǎng)引入勢(shì)能才有意義；勢(shì)能是屬于相關(guān)系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)。勢(shì)能是屬于相關(guān)系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)。勢(shì)能具有相對(duì)性，勢(shì)能大

17、小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。勢(shì)能具有相對(duì)性，勢(shì)能大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。 23第3章功和能一一. .質(zhì)點(diǎn)系的功能原理質(zhì)點(diǎn)系的功能原理3.43.4機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 對(duì)于有對(duì)于有 n n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系, ,它們所受外力為它們所受外力為 ，所受內(nèi)力為所受內(nèi)力為 。在。在這些力的作用下，系統(tǒng)從初狀態(tài)這些力的作用下，系統(tǒng)從初狀態(tài) P 變到末狀態(tài)變到末狀態(tài) Q。ijfiF123nFnF1F3F2f31f21fn1f12fn2f32fn3f23f13f3nf1nf2n 據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)第據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)第 個(gè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別有：質(zhì)點(diǎn)分別有：n,， 21nnkPkQQPniinQPnkPkQQ

18、PniiQPkPkQQPniiQPEErdfrdFEErdfrdFEErdfrdF 12221112211 24第3章功和能)()( nikPkQQPnjniijQPniinnEErdfrdF11111質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理kPkQAAAA內(nèi)內(nèi)外外考慮到考慮到非 保 內(nèi)PPPQ非 保 內(nèi)保 內(nèi)內(nèi)AEEAAA)(PQPPKPPQKQ非保內(nèi)EEEEEEAA)()(外外 25第3章功和能二二. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律)()(PPKPPQKQ非保內(nèi)EEEE，AA則則如如果果外外0系統(tǒng)的機(jī)械能守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒推而廣之，推而廣之，機(jī)械能守恒定律可以推廣為機(jī)械能守恒定律可以推廣為能量守恒定

19、律。能量守恒定律。 能量守恒定律能量守恒定律是自然界的基本定律之一。是自然界的基本定律之一。 26第3章功和能 例例3.6 如圖所示如圖所示, 擺長(zhǎng)為擺長(zhǎng)為 l, 擺錘質(zhì)量為擺錘質(zhì)量為 m, 起始時(shí)擺與鉛直線間的夾角起始時(shí)擺與鉛直線間的夾角為為。在鉛直線上距懸點(diǎn)。在鉛直線上距懸點(diǎn)x 處有一小釘，處有一小釘，擺可繞此小釘擺可繞此小釘運(yùn)動(dòng)。問(wèn)：運(yùn)動(dòng)。問(wèn)： x 至少至少為多少才能使擺就釘子為中心為多少才能使擺就釘子為中心繞完整繞完整的圓周？的圓周？ 解：解：考慮單擺及地球的系統(tǒng)，考慮單擺及地球的系統(tǒng)， 由于只有重力作功，由于只有重力作功，所以所以機(jī)械能守恒。取擺錘最低位置為零勢(shì)能點(diǎn)。對(duì)機(jī)械能守恒。取擺錘最低位置為零勢(shì)能點(diǎn)。對(duì)初始位置和最高點(diǎn)，有：初始位置和最高點(diǎn)，有：)(xlmgmvmgh2212由圖示，知由圖示，知)()cos(xlgvllg2212 擺錘到最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)作圓周運(yùn)動(dòng)，最小向心力等于重力，即：擺錘到最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)作圓周運(yùn)動(dòng)，最小向心力等于重力，即：)(xlgvxlvmmg22xl xlh 27第3章功和能xl xlh以上關(guān)系式聯(lián)解，得以上關(guān)系式聯(lián)解，得)()()cos(xlgxlgllg221 lx523 cos x 至少滿足以上長(zhǎng)度時(shí)，才能使擺以釘子至少滿足以上長(zhǎng)度時(shí)，才能使擺以釘子為中心繞完整的圓周。為中心繞完整的圓周。 28第3章功和能 例例3