1、calculus第九章 微分方程與差分方程簡介9.1 微分方程的基本概念9.2 一階微分方程9.3 高階常系數(shù)線性微分方程9.4 差分方程的基本概念9.5 常系數(shù)線性差分方程9.6 高階常系數(shù)線性差分方程calculus9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定義定義1：凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程未知函數(shù)為多元函數(shù)，同時含有多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程calculus二、微分方程的階定義定義2：微分方程中，未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階三、微分方程的解定義定義3：如果某個函數(shù)代入微分方程后使其兩端恒等，則

2、稱此函數(shù)為該微分方程的解，如果微分方程的解所含獨(dú)立的任意常數(shù)個數(shù)等于方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。而微分方程任意確定的解稱為微分方程的特解calculus9.2 一階微分方程( )( )0(113).9M x dxN y dy形如的方程稱為變量已分離的微分方程一、可分離變量的微分方程(9 13)( )( )M x dxN y dyCC將式兩邊同時積分，得(9-14)其中 為任意常數(shù)，(9-14)就是(9-13)的通解表達(dá)式calculus( ) ( )(9 15)( )( )( ) ( ).02dyf x g ydxM x N y dxP x Q y dy形如或(9-16)的微分方程稱

3、可分離變量的微分方程(9 15)( )01( )( )g ydyf x dxg y對于式，當(dāng)時，可轉(zhuǎn)化為(9 16)( )0( )( )0( )( )P xM xQ ydxdyP xP y對于式，當(dāng)時，可轉(zhuǎn)化為calculus211xdyeydx例解微分方程：22101xydye dxy當(dāng)時，分離變量得解:21xdye dxy兩邊同時積分得arcsin()xye dxCC因此通解為：為任意常數(shù)calculus210111yyyy 當(dāng)時，有，顯然和是該微分方程的兩個奇解22112(1)1xydydxyxy 求定例 ：解問題22011xdxydyxy此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得解：ca

4、lculus2211xdxydyCxy兩邊同時積分2211xyC得通解(1)12yC以代入通解得：22112xy因此滿足定解條件的特解為：calculus22()()0 xyx dxyx y dy求微分方程例3：的通解22221)1)0011x ydxyxdyxdxydyxy分離變量得（解：122212111ln21xdxydyCxyyCx兩邊積分calculus122211CyCxCe 于是得到通解為其中為人員常數(shù)00(1)( )mLogisticdxxaxdtxx tx求解人口模4：型例calculus()mmxdxadtxx x這是一個可分離變量的初值問題，分離變量德解：()mmxdxa

5、dtxx x兩邊積分得：1lnln()mxxxatC即：( )1matxx teC整理得：calculus1CCe其中為任意常數(shù)0000( )1(1)atmx txCxex將初值條件代入上式得：0()0( )1 (1)ma t tmxx txex所以特解為：calculus( )(9 11).dyxfdxy形如的一階微分方程稱為一階齊次微分方程二、齊次微分方程齊次微分方程不是可分離變量的微分方程，但通過變量代換可將其化為可分離變量的微分方程，方法如下：,yuyuxxdyduuxdxdx令則calculus( )duuxf udx代入（9-17）式得( )duf uudxx即：uxyux此為可分

6、離變量的微分方程，可求 關(guān)于 的通解將代回得到原方程的通解calculus215( )dyyydxxx求解微分例方程：2,1yuxduuxuudx令則原方程化為：解：21(9 18)duxudx即：22101ududxxu當(dāng)時，分離變量得：calculusarcsinlnuxC兩邊積分：arcsinln()yuxyxCCx再將：代入上式的原方程通解為：為任意常數(shù)1uyxyx 顯然為(9-18)的解，即和均為原方程的奇解calculus111222()(9 19)2.a xb ycdyfdxa xb yc形如的微分方程可利用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將其化為齊次方程或可分離變量微分方程，分三種情況討論。12

7、(1)0,(9 19)cc若則本身就是一階齊次微分方程。calculus11120221110002221122(20,00(,)0()abcxxaba xb ycyyxya xb ycabdfdab當(dāng) ，c 不全為 且 =時，令，其中是線性方程組的解則可將(9-19)化為關(guān)于 和 的齊次微分方程calculus11122222111111120,0(),()3)abcababkza xb yabzcdzab fdxkzc當(dāng) ，c 不全為 且 =時，此時，若令常數(shù) ，則可將(9-19)化為可分離變量的微分方程calculus27221dyxydxxy求微分方程例 ：的通解112211022ab

8、ab因?yàn)榻猓?2121zxydzxdxz 令將原方程化為2131zdzxz分離變量得：calculus25ln 3139zzxC兩邊積分得：15ln 33139zxyyxxyCC將代入上式，得原方程的通解為23其中 為任意常數(shù)calculus185dyyxdxyx例求微分方程：的通解1122112011abab解：因?yàn)?021035023xyxyyxxy 線性方程組的解為的解因此令代入原方程得：ddcalculus22ln()2arctanC解此齊次微分方程得通解為：222,33ln(2)(3) 2arctan2()xyyxyCxC再將代入上式，得原方程的通解為為任意常數(shù)calculus 一階

9、線性微分方程一階線性微分方程 （Linear differential equation of first order)1 1線性方程線性方程(Linear differential equation)2 2伯努利方程伯努利方程(Bernoulli differential equation)三三 小結(jié)小結(jié) 思考判斷題思考判斷題calculus一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的. .上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的. ., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)一一 線性方程線性方程(Linear differential equation

10、)例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的; ;非線性的非線性的. .)()(xQyxPdxdy calculus. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法( (使用分離變量法使用分離變量法) )calculus常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .作變換作變換,)()()()

11、()( dxxPdxxPexPxuexuy dxxPexuy)()(2. 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy calculus),()()(xQexudxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxudxxP 代代入入原原方方程程得得和和將將yy calculus一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解)()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(calculus,1)(xxP Cdxexxeydxxdxx11sin解解例例1 1

12、.sin1的通解求方程xxyxy,sin)(xxxQ calculus Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx calculus例例2 2 如圖所示如圖所示，平行與平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy calculus dxexCeydxdx23, 6632 xxCex,

13、0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy calculus.2的通解求方程dyeyydxxdyy解解yeyxyy2方程改寫為方程改寫為不是一階線性方程不是一階線性方程把把x看作看作y的函數(shù)，于是變?yōu)榈暮瘮?shù)，于是變?yōu)閥yexydydx1calculus)()()(CdyeyQexdyyPdyyP11Cdyeyeedyyydyycyyeycalculus222xxe yxe yx求微分方程+2例10：的通解22xyxyxe原方程變形為方法一，公式：法解+2：2222( )2 ,( )2,(922)( 2)xxdxxdxxp xx f xxeyexee

14、dxC則代入公式中calculus222( 2)()xxexdxCexC得：22()()xyexCC所以原方程的通解為：為任意常數(shù)calculus222()xxxe yxe ye y因?yàn)?方法二，湊微2分法2xe yx所以原方程變?yōu)椋ǎ?=2calculus2222()xxe y xCy exCC兩邊積分得通解為：=即 =（） 為任意常數(shù)22xyxyxe原方程變形為方法三，常數(shù)變+易法20yxy 其相應(yīng)齊次方程為： +22,xyCeC其通解為： 為任意常數(shù)calculus22222222( )2( )2xxxxxxxyCee Cexe C x exe C x ex設(shè)為非齊次方程的解，代入原方程

15、得：22( )CxC xxC即：所以22()()xyexCC故原方程的通解為為任意常數(shù)calculus9.3 高階常系數(shù)線性微分方程0(924),ypyqyp q形如的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中為常數(shù)一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程12112212( ),( )(924)( )( )y xyxyC y xC yxCC定理1：如果函數(shù)都是齊次方程的解，則也是方程(9-24)的解，其中 ，為任意常數(shù)calculus12112212( ),( )( , )( )( )( )( )( )( ),y xyxa by xy xyxyxy xyxa b設(shè)兩個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，(1 若常數(shù)，

16、即與不成比例，則稱函數(shù)，在()內(nèi)線定義1：性無關(guān)。112212( )()( )( )( )( )( ),y xky xyxyxy xyxa b若(1 若 常數(shù) ，即與（2）則稱函數(shù)，在()內(nèi)線性相關(guān)。calculus12112212( ),( )( , )( )( )( )( )( )( ),y xyxa by xy xyxyxy xyxa b設(shè)兩個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，(1 若常數(shù)，即與不成比例，則稱函數(shù)，在()內(nèi)線定義1：性無關(guān)。12112212( ),( )(924)( )( )y xyxyC y xC yxCC若函數(shù)是齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，則其通解為其中 ，為定理3：任意常數(shù)cal

17、culus 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, , 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有特征方程特征方程,2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy02 qprrcalculus 有兩個不相等的實(shí)根有兩個不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為特征根為特征根為)0( ;2121xrxreCeCy calculus有兩個相等的實(shí)根有兩個相等的實(shí)根,11xrey ,221prr

18、 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為,12xrxey 設(shè)另一特解為特征根為特征根為)0( ;)(121xrexCCy calculus有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1jr,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為特征根為特征根為)0( ).sincos(21xCxCeyx calculus0ypyqy求二階齊次線通解性微分方程步驟如下：200ypyqypq(1)寫出的特征方程12(2)求出特征方程的兩個根 、(3)根據(jù)特征根的不同情況寫出

19、通解calculus.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1calculus.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2calculus00401,2xxyyyyy +4求2：題例解初值問212402 特征方程+4特征根為解：212()xyCC e故通解為：2212(22)xyCCC x e00121,210 xxyyCC 將條件代入以上

20、兩式中得，2xye故所求特解為calculus( )(926),( )ypyqyf xp qf x形如的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其中為常數(shù)，為已知函數(shù)，且不恒為零二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(926)0yyypyqyyyy若 是非齊次方程的一個特解，而是相應(yīng)的齊次方程的通解，則是非齊次方程(9-26定理4：)的通解calculus1.常數(shù)變易法11220( )( )ypyqyy xC y xC y首先假定齊次方程的通解已經(jīng)求出，為(x)設(shè)設(shè))()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy)279( 對對x求導(dǎo)求導(dǎo))279()()()()(

21、2211xyxCxyxCy為非齊次方程為非齊次方程)(xfqyypy calculus0)()()()(2211xyxCxyxC)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy )()()()(2211xyxCxyxCy令令則有則有二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)calculus12( )0yyyy xyypyqy將 ， ， 代入非齊次方程(9-26)式，并注意到(x)齊次方程的解,經(jīng)整理得：1122( )( )( )( )Cx yxCx yf x(x)2211221122( )( )( )( )( )0(929)( )( )( )( )CxCxCx y xCx yCx yx

22、Cx yf x于是得到關(guān)于，的二元一次方程組(x)(x)calculus121212( )( )(929)( ),( )( ),( )(926)y xyxCx CxC x Cx當(dāng)，線性無關(guān)時，方程組有唯一解解出再積分，求出一組原函數(shù)便得到非齊次方程的一個特解2sin2yyyx求微分方程34：+例的通解2320320yyy相應(yīng)的齊次方程為其：特征方程為解212( )xxy xC eC e齊次方程通解為212,xxyeye因此calculus212( )( )( )xxy xC x eCx e設(shè)非齊次方程的一個特解為212212( )( )02( )( )sin2xxxxCx eCx eCx eC

23、x ex由(9-29)式可得212( )(sin2)( )(sin2xxCxexCxex 解上述方程組)calculus212( )( sincos1)( )( sincos2)xxC xexxCxexx 再積分：1221sincosyxx 所以原方程的一個特解為：131010212121sincosxxyC eC exxCC 故原方程的通解為：131010其中 ，為任意常數(shù)calculus2.待定系數(shù)法01( )nnf xAAxA x(1)( )0ypyqyf xypyqy對于方程對應(yīng)的齊次方程的特征根的不同情況分三種情況討論01010,nnnqyBB xB xB BB1當(dāng)，即零不是特征根時

24、，可設(shè)特解為其中、為待定系數(shù)calculus0100nnqpyx BB xB x當(dāng)，但，即零是特征根時，可設(shè)特解為（2、）010100,nnnqpyx BB xB xB BB當(dāng)，但，即零是二重特征根時，可設(shè)特解為（）用與1類似的方法可確定3、calculus222yyyxx例5：求方程 +的通解22020yyy相應(yīng)的齊次方程為其：特征解方程為212xxyC eC e故齊次方程通解為0120nnqyBB xB x ，故設(shè)特解為222212102(2)(22)2yyyB xBB xBBBxx將 ，(),（ ） 代入原方程得：calculus221210212()1222BBBBBB 比較等式兩邊同

25、次冪的系數(shù)得：21021,12BBByxx 1解之，得：=- ，=02故非齊次方程的一個特解為22121212xxyC eC exxCC故原方程的通解為：其中，為任意常數(shù)calculus2yyx求方程 +的例6：一個特解2012010qpyx BB xB x 因?yàn)?，但，所以它的設(shè)特解為（解：）22212106232yyyB xBB xB xBx將 ，(),（ ） 代入原方程得：221103162020BBBBB比較等式兩邊同次冪的系數(shù)得：calculus210321,123BBByxxx 1解之，得：= ，=23故非齊次方程的一個特解為01( )()naxnf xeAAxA x(2)201(

26、)(2)()()naxaxaxnye zypyqyf xezaza zp zazqzeAAxA x首先對未知函數(shù)作變量代換，令將其代入非齊次方程得：calculus201(2)()nnzap zapaq zAAxA x即22,pap qapaq令01(930)nnzpzqzAAxA x則上式可寫為：于是原方程轉(zhuǎn)化為第1種類型，根據(jù)前面的討論，可以得出如下結(jié)論：010nnpyBB xB x當(dāng)，即 不是特征根時，方程(9-30)特解可設(shè)為1、01( )()axnnypyqyf xyeBB xB x于是非齊次方程的特解為：calculus0100nnqpzx BB xB x當(dāng)，但，即 是單特征根時，

27、方程(9-30)特解可設(shè)為（2、）01( )()axnnypyqyf xyxeBB xB x于是非齊次方程的特解為：20100nnqpzxBB xB x當(dāng)，但，即 是二重特征根時，方程(9-30)特解可設(shè)為（3、）201( )()axnnypyqyf xyx eBB xB x于是非齊次方程的特解為：calculus23xyyyxe例7：求方程 +3的一個特解2011320()xayxeBB x 因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃?，所以設(shè)原方程的特解為解：1012(2)3xxyyyB xBBexe將 ，(),（ ） 代入原方程得：1012320BBB比較等式兩邊同次冪的系數(shù)得：calculus01232332

28、xxBByxex e 解之，得：=-3，故非齊次方程的一個特解為(21)xyyyxe求例8方程 -2的：一個特解22011210()xayx eBB x 因?yàn)槭翘卣鞣匠痰亩馗?，所以設(shè)原方程的特解為解：calculus10(62)(21)xxyyyB xB exe將 ，(),（ ） 代入原方程得：106221BB比較等式兩邊同次冪的系數(shù)得：10232121111()()2332xxBByx exexx1解之，得：= ，3故非齊次方程的一個特解為calculus( )(cossin)axf xeMxNx(3)(cossin)axiyeAxBx根據(jù)方程的特征，可分為以下兩種情況：若不是特征根，設(shè)特解為：1)(cossin)axiyxeAxBx若是特征根，2設(shè)特解為：)