1、第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變部分礦山巖體變形、破壞形式部分礦山巖體變形、破壞形式底臌底臌變形變形冒落冒落突出突出沉陷沉陷2.2 體力和面力體力和面力 體力：體力： 分布在物體體積內(nèi)的力。分布在物體體積內(nèi)的力。 例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。2.2 2.2 體力和面力體力和面力 為了表明物體在xyz 坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P 所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素V, 如圖所示 。設(shè)V 的體力合力為F，則P點(diǎn)的體力平均集度為： 令微小體積元素V 趨近于0，則可以定義一點(diǎn)P的體力為 ：0limbVFV FbFVF 一般來(lái)講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力

2、是不相同的。一般來(lái)講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。 物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該表示，稱為體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定。點(diǎn)的體力合力方向確定。 體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者或者Fbx,Fby,Fbz表示，稱為體力分量。表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。致為正，反之為負(fù)。 在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。它們的因次是在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。它們的因次是 -3力 長(zhǎng)度2.2 2.2 體力和面力體力和面

3、力2.2 體力和面力體力和面力 面力：面力： 分布在物體表面上的力稱面力。分布在物體表面上的力稱面力。 例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。 0limsSFS F-2力 長(zhǎng)度2.2 體力和面力體力和面力 內(nèi)力內(nèi)力：物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱為內(nèi)力物體內(nèi)部相互作用力稱為內(nèi)力。 內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來(lái)，通過(guò)平衡截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的

4、截面暴露出來(lái)，通過(guò)平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。 應(yīng)力應(yīng)力：指指單位面積的內(nèi)力。單位面積的內(nèi)力。2.2 2.2 體力和面力體力和面力 內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含M的的微面積單元微面積單元S，如圖所示。則可認(rèn)為微，如圖所示。則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢面積上的內(nèi)力主矢F的分布是均勻的。設(shè)的分布是均勻的。設(shè)S 的法線方向?yàn)榈姆ň€方向?yàn)閚，則定義：，則定義： 上式中上式中pn為微面積為微面積S 上的平均應(yīng)力。如果上的平均應(yīng)力。如果令令S 逐漸減小，并且趨近于零，取極限可逐漸減小

5、，并且趨近于零，取極限可得得 ： pn是通過(guò)任意點(diǎn)是通過(guò)任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)?，法線方向?yàn)閚的微分面的微分面上的應(yīng)力矢量。上的應(yīng)力矢量。0limnSFpS nFpS-2力長(zhǎng) 度102.2 2.2 體力和面力體力和面力 正應(yīng)力正應(yīng)力：應(yīng)力在其作用截面的法線方應(yīng)力在其作用截面的法線方向的分量，稱正應(yīng)力。向的分量，稱正應(yīng)力。 切應(yīng)力切應(yīng)力：應(yīng)力在其作用截面的切線方應(yīng)力在其作用截面的切線方向的分量，稱切應(yīng)力。向的分量，稱切應(yīng)力。 彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。式。 由于微

6、分面法線由于微分面法線 n 的方向只有一個(gè)，因此說(shuō)明的方向只有一個(gè)，因此說(shuō)明截面方位就確定了正應(yīng)力截面方位就確定了正應(yīng)力 n的方向。但是平行的方向。但是平行于微分面的方向有無(wú)窮多，因此切應(yīng)力于微分面的方向有無(wú)窮多，因此切應(yīng)力n n不僅不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。需要確定截面方位，還必須指明方向。2.2 2.2 體力和面力體力和面力 為表達(dá)物體內(nèi)部任意一點(diǎn)為表達(dá)物體內(nèi)部任意一點(diǎn)M 的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面，通過(guò)方向一致的微分面，通過(guò)M點(diǎn)截取一個(gè)微小的正平行六面體點(diǎn)截取一個(gè)微小的正平行六面體單元單元2.2.2 2 體力與面力體力與面力 正面

7、：正面：外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向的截面。截面。 正面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)正面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。 負(fù)面：負(fù)面：外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向的截面。外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向的截面。 負(fù)面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo)負(fù)面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?。軸負(fù)向?yàn)檎?切切應(yīng)應(yīng)力互等性：力互等性：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的切應(yīng)力是互等的，即大小相等，正負(fù)號(hào)相同。兩面交線的切應(yīng)力是互等的，即大小相等，正負(fù)號(hào)相同。2.2.2 2

8、體力與面力體力與面力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量定義。個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量定義。zyzxzyzyxyxzxyx 例題：例題：2-1 應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫出正面什么區(qū)別？試分別畫出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力方向。面力方向。2-2 試比較（巖石）彈性力學(xué)試比較（巖石）彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定。符號(hào)規(guī)定。O zyxxyO z例題例題2-2-3 3：知：矩形板邊緣上均布著給知：矩形板邊緣上均布著給定的荷載。板厚定的荷載。板厚b=b=50mm, 邊邊AB=500mm, BC=40

9、0mm。求求:(1:(1) ) 確定確定BCBC、DADA邊上為保邊上為保持板平衡必須作用的剪力。持板平衡必須作用的剪力。 (2 (2) ) 相對(duì)于相對(duì)于x, yx, y參考軸，參考軸，確定板內(nèi)任一點(diǎn)確定板內(nèi)任一點(diǎn)P P的應(yīng)力狀態(tài)。的應(yīng)力狀態(tài)。解：解：（1）已知）已知AB、DC邊上的剪力為邊上的剪力為TAB=TDC = 250 kN，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力：剪應(yīng)力： yx= TAB/（b AB） = 250/（1000 0.05 0.5）= 10 MPa； 根據(jù)根據(jù)據(jù)剪應(yīng)力的互等性，可得據(jù)剪應(yīng)力的互等性，可得BC、DA邊上的剪應(yīng)力也為邊上的剪應(yīng)力也為 xy= 10 MPa； 于是，可以計(jì)算出于是，

10、可以計(jì)算出BC、DA邊上的剪力：邊上的剪力： TBC=TDA = xy b BC= 10 1000 0.05 0.4= 200 kN。 其中，其中，BC邊上的剪力方向朝下，邊上的剪力方向朝下，DA邊上的剪力方向朝上。邊上的剪力方向朝上。解：解：（2）相對(duì)于相對(duì)于x、y參考軸：參考軸： x= PBC/（b BC） =300/（1000 0.05 0.4）= 15 MPa； y= PAB/（b AB） = 400/（1000 0.05 0.5）= 16 MPa； xy= TAB/（b AB） = 250/（1000 0.05 0.5）= 10 MPa。2.2.3 3 應(yīng)力變換應(yīng)力變換問(wèn)：已知在（問(wèn)

11、：已知在（X，Y，Z）坐標(biāo)系下一點(diǎn)的坐標(biāo)系下一點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)力分量，個(gè)應(yīng)力分量， 如何求得該點(diǎn)在（如何求得該點(diǎn)在（l，m，n）坐標(biāo)系下的坐標(biāo)系下的6個(gè)應(yīng)力分量？個(gè)應(yīng)力分量？zxyCABPabmnllnmPyxz2.2.3 3 應(yīng)力變換應(yīng)力變換舊坐標(biāo)系（舊坐標(biāo)系（x，y，z）新坐標(biāo)系（新坐標(biāo)系（l，m，n）其中，其中，l，m，n軸相對(duì)于舊坐標(biāo)的方軸相對(duì)于舊坐標(biāo)的方向余弦分別為：向余弦分別為： （lx，ly，lz） （mx，my，mz） （nx，ny，nz） 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于舊坐標(biāo)系一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于舊坐標(biāo)系 ，對(duì)于新坐標(biāo)系，對(duì)于新坐標(biāo)系 *如何用如何用 和和 l，m，n軸相對(duì)于舊坐標(biāo)軸的方軸相對(duì)于

12、舊坐標(biāo)軸的方向余弦表示向余弦表示 *？zyzxzyzyxyxzxyxnmnmnmlmlmllnln*ztPxabcoyzxyCABPabzzOP：abc面的外法線，其方向余弦（面的外法線，其方向余弦（ X， Y， Z）。）。 t：切去部分在切去部分在abc面的平衡應(yīng)力。面的平衡應(yīng)力。ZXZYXXZXYYYZYXYYXYZXXYXZZZYZXo2.2.3 3 應(yīng)力變換應(yīng)力變換2.3.1 從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力的應(yīng)力假設(shè)假設(shè)abcabc面的外法線面的外法線OPOP由用方向余弦（由用方向余弦（ x x、 y y、 z z）的行矢量定義。的行矢量定義。如

13、果的面積為如果的面積為A A，abcabc在其法線分別為在其法線分別為x x、y y、z z軸的各平面上的投影面積由下式軸的各平面上的投影面積由下式給出：給出：OacOac面面= =A Ax x=A=A x x，OabOab面面= =A Ay y=A=A y y，Obc面面=A Az z=A=A z z假定牽引力矢量假定牽引力矢量t t的分量為的分量為t tx x、t ty y、t tz z。 第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變ztPxabcoy2.3.1 從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力的應(yīng)力利用利用x x方向的靜力平衡條件得出：方向的靜力平衡條件得出：

14、t tx xA - A - xA A x x - - xyxyA A y y - - zxzxA A z z=0=0即：即： t tx x= =x x x + + xyxy y y + + zxzx z z同理可推出：對(duì)于同理可推出：對(duì)于y y、z z方向?qū)?yīng)的關(guān)方向?qū)?yīng)的關(guān)于于t ty y、 t tz z的表達(dá)式：的表達(dá)式：t ty y= = xyxy x x + + y y y y + + yzyz z zt tz z= = xzxz x x + + yzyz y y + + z z z z第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變ztPxabcoy2.3.1 從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上從一

15、般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力的應(yīng)力所以，所以，abcabc面上的牽引力分量與面上的牽引力分量與x x、y y、z z坐標(biāo)系坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩下的應(yīng)力矩陣和陣和abcabc面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變zyxzyzxzyzyxyxzxyxzyxttt或 t2.3.1 從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力的應(yīng)力同理，同理，abcabc面上的牽引力分量與面上的牽引力分量與l l、m m、n n坐標(biāo)系坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩下的應(yīng)力矩陣和陣和abcabc面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：面外法線的方向

16、余弦的關(guān)系表達(dá)式為：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變nmlnmnmnmlmlmlnmltttlnln或 *t2.3.2 坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程根據(jù)矢量分析，矢量根據(jù)矢量分析，矢量 VV按照如下變換方程從一組正交參按照如下變換方程從一組正交參考坐標(biāo)考坐標(biāo)x x、y y、z z變換到另一組參考坐標(biāo)變換到另一組參考坐標(biāo)l l、m m、n n。第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變zyxzyxzyxzyxnmlvvvnnnmmmlllvvv或 VRV*上式中，上式中， RR為旋轉(zhuǎn)矩陣，該矩陣的行可看作是由新軸相對(duì)于為旋轉(zhuǎn)矩陣，該矩陣的行可看作是由新軸相對(duì)于舊軸的方向余弦的行

17、矢量組成的。該旋轉(zhuǎn)矩陣的唯一性性質(zhì)舊軸的方向余弦的行矢量組成的。該旋轉(zhuǎn)矩陣的唯一性性質(zhì)是其逆陣等于它的轉(zhuǎn)置，即：是其逆陣等于它的轉(zhuǎn)置，即： TRR12.3.2 坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程利用上述旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，再看利用上述旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，再看 tt和和 t t* * 、 和和 * * 之之間的關(guān)系式：間的關(guān)系式： t t* *=Rt =Rt 或或 t=Rt=RT T t t* * * *=R=R 或或 =R=RT T * * 則：則： t t* *=Rt =R=Rt =R = R = R RRT T * * 由于：由于： t t* *= = * * * * 于是：于是

18、： * *=R=R RRT T（應(yīng)力變換方程）應(yīng)力變換方程）第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.3.2 坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程應(yīng)力變換方程擴(kuò)展式：應(yīng)力變換方程擴(kuò)展式：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變zzzyyyxxxzyzxzyzyxyxzxyxzyxzyxzyxnmnmnmlmlmlnmlnmlnmlnnnmmmllllnln坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)：坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)： l=lx2 x+ ly2 y +lz2 z+2（lxly xy+ lylz yz+ lxlz xz） lm=lxmx x+ lymy y+ lzmz z+（ lxmy

19、+ lymx） xy+ +（ lymz+ lzmy） yz+（ lzmx+ lxmz） xz 2.3.2 坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)：坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)： m=mx2 x+ my2 y +mz2 z+2（mxmy xy+ mymz yz+ mxmz xz） mn=mxnx x+ myny y+ mznz z+（mxny+ mynx） xy+ +（ mynz+ mzny） yz+（ mznx+ mxnz） xz n=nx2 x+ ny2 y +nz2 z+2（nxny xy+ nynz yz

20、+ nxnz xz） ln=lxnx x+ lyny y+ lznz z+（lxny+ lynx） xy+ +（ lynz+ lzny） yz+（ lznx+ lxnz） xz 2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變 主平面：指剪應(yīng)力分量為零的平面。主平面：指剪應(yīng)力分量為零的平面。 主應(yīng)力：作用在主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力：作用在主平面上的正應(yīng)力。 主應(yīng)力軸方向：主平面的外法線方向。主應(yīng)力軸方向：主平面的外法線方向。 對(duì)于任何一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，都可以找到三對(duì)相互垂直對(duì)于任何一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，都可以找到三對(duì)相互垂直的主應(yīng)力軸，三個(gè)主應(yīng)力：的主應(yīng)力軸，三個(gè)主應(yīng)力： 1（最

21、大主應(yīng)力，（最大主應(yīng)力，major principal stress） 2（中間主應(yīng)力（中間主應(yīng)力, intermediate principal stress ） 3（最小主應(yīng)力（最小主應(yīng)力, minor principal stress ） 按照代數(shù)值的大小排列為：按照代數(shù)值的大小排列為： 1 2 3 2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變?cè)O(shè)圖設(shè)圖2-4(2)切割面正是一個(gè)主平面：切割面正是一個(gè)主平面：牽引力牽引力 t=t= p；外法線（外法線（ x x， y y， z z）牽引力分量：牽引力分量：圖圖2-4(2) 確定應(yīng)力變換方程、確定應(yīng)力變換方程、主應(yīng)力

22、及其方向的割離體圖主應(yīng)力及其方向的割離體圖zyxpzyxttttPxabcoyz2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量0pzyzxzyzpyxyxzxypx第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)齻€(gè)聯(lián)立齊次線性方程組：根據(jù)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)線性組三個(gè)聯(lián)立齊次線性方程組：根據(jù)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)線性組的理論，該方程組有非零解的必要與充分條件是這個(gè)方的理論，該方程組有非零解的必要與充分條件是這個(gè)方程組的系數(shù)行列式程組的系數(shù)行列式 =0。2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量032213IIIppp)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII第二章第二章 應(yīng)力與

23、應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量2122212122212122211111/,/,/CBACCBABCBAACBAzyxyzxzyxyzyzyzxyzyzyzy第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變I1、I2、I3分別稱為第一、第二、第三應(yīng)力不變分別稱為第一、第二、第三應(yīng)力不變量，它們由下式定義：量，它們由下式定義：2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量0212121zzyyxx主應(yīng)力的方向余弦：主應(yīng)力的方向余弦：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量主應(yīng)力軸之間正交：主應(yīng)力軸之間正交： 檢驗(yàn)正交性的條件是方向余弦矢量的三個(gè)點(diǎn)積的每一個(gè)檢驗(yàn)正交性的

24、條件是方向余弦矢量的三個(gè)點(diǎn)積的每一個(gè)必須為零，即：必須為零，即：0323232zzyyxx0313131zzyyxx131,000000Immmmm2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量球形（靜水）分量與偏斜分量：mzyzxzyzmyxyxzxymxSmmmSSS321332312213211)2(31)2(31)2(31偏斜主應(yīng)力：偏斜主應(yīng)力：)()(271)()()(610321323222121zyzxyzyxxzxyJJJ2.4 2.4 應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量應(yīng)力偏量不變量：mmmSSS321332312213211)2(31)2(31)2(31)sin2-(21cos2sin2-)cos

25、2-(21-)(21sin2)cos2-(21)(21yxxylmxyyxyxmxyyxyxl：平面問(wèn)題應(yīng)力變換方程2.2.5 5 平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題 特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1） z=0， zx=0， zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z而變化。而變化。2.2.5 5 平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1） z=0， zx=0， zy=0。（2） x 、 y 、 xy只是只是x和和y的函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z而變化。而變化。2.2.5 5 平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力平面問(wèn)題和雙軸

26、應(yīng)力xyxp2xy2,21-arctan2)21算公式：平面問(wèn)題主應(yīng)力方向計(jì)（算公式：平面問(wèn)題主應(yīng)力大小計(jì)yxyx2.2.5 5 平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力平面問(wèn)題和雙軸應(yīng)力34. 1234. 11)10(2)16(152)1615(22)(22222 , 1 xyyxyx例題例題2-2-3 3：知知矩形板邊緣矩形板邊緣上均布著給定的荷載。板厚上均布著給定的荷載。板厚50mm, 長(zhǎng)長(zhǎng)500mm, 長(zhǎng)長(zhǎng)400mm。第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變求：求：(3(3) ) 對(duì)于所示的對(duì)于所示的l, ml, m軸，確定應(yīng)力分量。軸，確定應(yīng)力分量。(4(4) ) 確定最大主應(yīng)力值和最大主應(yīng)力軸相對(duì)確定最大主應(yīng)

27、力值和最大主應(yīng)力軸相對(duì)x x軸的方向。軸的方向。(5(5) ) 對(duì)于對(duì)于GHGH面，其外法線對(duì)軸的傾角為面，其外法線對(duì)軸的傾角為 。確定作用在該面上。確定作用在該面上的的 x x、 y y、 xyxy和和 的函數(shù)表達(dá)式，并分別給出的函數(shù)表達(dá)式，并分別給出 =0=0 、6060 、9090 時(shí)的值。給出時(shí)的值。給出 =60=60 時(shí)的平面合應(yīng)力。時(shí)的平面合應(yīng)力。解解:（3）l軸的方向余弦： lx=cos30=0.866 ly=cos60=0.5 m軸的方向余弦： mx=cos120= 0.5 my=cos30=0.866 所以, l=lx2 x+ ly2 y +lz2 z+2（lxly xy+

28、lylz yz+ lxlz xz） =0.8662 15+ 0.52 （ 16）+2 0.866 0.5 （ 10） =11.24934 4 8.66 = 1.41（MPa）第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變 x= 15 MPa y= 16 MPa xy= 10 MPa解解:（3） m=mx2 x+my2 y +mz2 z+2（mxmy xy+ mymz yz+ mxmz xz） =（-0.5）2 15+ 0.8662 （-16）+2 （-0.5 ） 0.866 （-10） =3.75 11.9993+8.66 = 0.41（MPa） lm=lxmx x+ lymy y+ lzmz z+（ l

29、xmy+ lymx） xy+ +（ lymz+ lzmy） yz+（ lzmx+ lxmz） xz =0.866 (-0.5) 15+0.5 0.866 (-16)+0.866 0.866+0.5 (-0.5) (-10) =-6.495-6.928-4.99956= 18.42第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變解解:（4）最大主應(yīng)力：）最大主應(yīng)力：366. 0101534.11tan11xyx最大主應(yīng)力方向最大主應(yīng)力方向(相對(duì)相對(duì)x軸軸): 1=20.1)442.0,771.0,457.0(),()490.0,219.0,844.0(),()751.0,597.0,281.0(),(zyxz

30、yxzyxnnnmmmlll第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變解解:（5）當(dāng)）當(dāng) =0時(shí)時(shí): x x=1=1， y y=0=0， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y + + zxzx z z=15=15（MPaMPa） t ty y= = xyxy x x + + y y y y + + yzyz z z=-10=-10（MPaMPa） 當(dāng)當(dāng) =60時(shí)時(shí): x x=0.5=0.5， y y=0.866=0.866， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y=15=15 0.5 10 0.866= 1.16（MPaMPa） t t

31、y y= = xyxy x x + + y y y y=-10=-10 0.5 16 0.866=-18.856（MPaMPa） t=（ t tx x2 2+t+tx x2 2）1/21/2=18.89=18.89（MPaMPa）第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變解解:（5）當(dāng)）當(dāng) =90時(shí)時(shí): x x=0=0， y y=1=1， z z=0=0 t tx x= =x x x + + xyxy y y= = 1010（MPaMPa） t ty y= = xyxy x x + + y y y y=-16=-16（MPaMPa） 第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變作業(yè)1： 如圖如圖中所示的單位割離

32、體，在正六中所示的單位割離體，在正六面體的可見(jiàn)面上，作用有平行于給定面體的可見(jiàn)面上，作用有平行于給定參考軸方向的應(yīng)力分量。參考軸方向的應(yīng)力分量。（1）填寫所需的應(yīng)力分量使割離體填寫所需的應(yīng)力分量使割離體圖形完整，確定圖形完整，確定x x，y y，z z坐標(biāo)系中的坐標(biāo)系中的六個(gè)應(yīng)力分量。六個(gè)應(yīng)力分量。（2）l，m，n參照軸相對(duì)于參照軸相對(duì)于x x，y y，z z的的方向余弦由下式確定：方向余弦由下式確定：dzzudyyudxxududuuudzzudyyudxxududuuudzzudyyudxxududuuuzzzzzz*zyyyyyy*yxxxxxx*x，式中，式中，式中作業(yè)1：（續(xù)）（2

33、2）試寫出）試寫出 m m， nlnl相對(duì)于相對(duì)于x x，y y，z z的應(yīng)力的應(yīng)力分量和方向余弦的表達(dá)式，并計(jì)算它們分量和方向余弦的表達(dá)式，并計(jì)算它們各自的值。各自的值。（3）根據(jù)上面根據(jù)上面（1）中建立的應(yīng)力分量，中建立的應(yīng)力分量，計(jì)算應(yīng)力不變量計(jì)算應(yīng)力不變量I I1 1、I I2 2、I I3 3 ，寫出應(yīng)力，寫出應(yīng)力矩陣的特征方程。并求出各主應(yīng)力值和矩陣的特征方程。并求出各主應(yīng)力值和相對(duì)于相對(duì)于x x，y y，z z軸的方向角。軸的方向角。（4 4）證明主應(yīng)力方向形成一組相互正交的）證明主應(yīng)力方向形成一組相互正交的軸。軸。第二章前第二章前5節(jié)內(nèi)容節(jié)內(nèi)容基本概念基本概念基本原理基本原理基

34、本公式基本公式體力體力剪應(yīng)力互等性剪應(yīng)力互等性應(yīng)力分量坐標(biāo)變換應(yīng)力分量坐標(biāo)變換面力面力靜力平衡靜力平衡主應(yīng)力不變量主應(yīng)力不變量?jī)?nèi)力內(nèi)力主應(yīng)力方向主應(yīng)力方向正應(yīng)力正應(yīng)力最大偏斜主應(yīng)力最大偏斜主應(yīng)力剪剪/切應(yīng)力切應(yīng)力平面主應(yīng)力平面主應(yīng)力正面正面平面主應(yīng)力方向平面主應(yīng)力方向負(fù)面負(fù)面主平面主平面主應(yīng)力主應(yīng)力靜水靜水/球形分量球形分量偏斜分量偏斜分量偏斜主應(yīng)力偏斜主應(yīng)力2.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變xxxxyyyyzzzzuuuxyzd ud xuuud ud yxyzd zd uuuuxyz2

35、.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變 d D d rxzyyzzzyxdudydzdudxdzdudxdy位移增量的矩陣表示：位移增量的矩陣表示：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變相對(duì)位移的組成：相對(duì)位移的組成： 剛體旋轉(zhuǎn)剛體旋轉(zhuǎn) + 單元變形單元變形2.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn) 繞繞x軸發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)軸發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng) x，對(duì)對(duì)應(yīng)的應(yīng)的Q相對(duì)于相對(duì)于P的相對(duì)位移的相對(duì)位移分量為：分量為： duy= xdz； duz= xdy。第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.7 2.7 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn) x： duy= xdz；duz= xdy y：

36、duz= ydx；dux= ydz z： dux= zdy；duy= zdx000 xzyyzxyxzdudxdudydzdu 第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.7 2.7 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn)000 xzyyzxyxzdudxdudydzdu ddr 22xy第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.7 2.7 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（2）單元變形）單元變形（伸縮和畸變）（伸縮和畸變）NoImage第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變dxdudyduxyyxyx2121（2）單元變形）單元變形（伸縮）（伸縮） 假定假定dx長(zhǎng)度的單元發(fā)生均勻長(zhǎng)度的單元發(fā)生均勻拉伸（或壓縮）

37、應(yīng)變，因此，拉伸（或壓縮）應(yīng)變，因此，正應(yīng)變分量用下式計(jì)算：正應(yīng)變分量用下式計(jì)算： x=dux/dx 所以，由于正應(yīng)變引起的相所以，由于正應(yīng)變引起的相對(duì)位移分量為：對(duì)位移分量為：2.7 2.7 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（2）單元變形）單元變形（畸變）（畸變） 在在x、y平面內(nèi)平面內(nèi)，由于由于 角小，單角小，單元的純剪應(yīng)變導(dǎo)致的位移分量可元的純剪應(yīng)變導(dǎo)致的位移分量可表為：表為： dux= dy；duy= dx 由于剪應(yīng)變大小由下式確定：由于剪應(yīng)變大小由下式確定： 所以，所以， NoImagedydudzduyzzyzy2121dzdudxduxzxxzz2121第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變2.2.6 6 位移和應(yīng)變位移和應(yīng)變（2）單元變形）單元變形（畸變）（畸變） 在在y、z平面內(nèi)平面內(nèi)： 在在z、x平面內(nèi)平面內(nèi)：第二章第二章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變112211221122xxxxyzxyxyyyyzzzxyzzzdudxdydzdudxdydzdudxdydz112211221122xxxyzxxyxyyyyzzzxyzzzd ud xd ud yd zd u 2.2.6 6 位移和應(yīng)變位