1、§8.2平面的性質(zhì)及空間兩直線的位置關(guān)系2014高考會這樣考1.考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力與空間想象能力；2.考查公理、定理的應(yīng)用，證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面的問題；3.運(yùn)用公理、定理和結(jié)論證明或判斷一些空間圖形的位置關(guān)系復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解、熟記平面的性質(zhì)公理，靈活運(yùn)用并判斷直線與平面的位置關(guān)系；2.異面直線位置關(guān)系的判定是本節(jié)難點(diǎn)，可以結(jié)合實(shí)物、圖形思考1平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線公理3：經(jīng)過不在

2、同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角范圍：.3直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況4平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況5平行公理(公理4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行6定理.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.過平面內(nèi)一

3、點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1公理的用途公理1：證明點(diǎn)在平面內(nèi)；證明直線在平面內(nèi)公理2：確定兩個(gè)平面的交線；證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)公理3：確定一個(gè)平面的條件；證明有關(guān)的點(diǎn)線共面問題2正確理解異面直線的定義：異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線1在下列命題中，所有正確命題的序號是_平面與平面相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；四邊形確定一個(gè)平面答案2正方體各面所在

4、平面將空間分成_部分答案27解析如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個(gè)側(cè)面所在平面將上面的每一部分再分成三個(gè)部分；前后兩個(gè)側(cè)面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×327部分3空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，若BD1，則AC的取值范圍是_答案(0，)解析如圖所示，ABD與BCD均為邊長為1的正三角形，當(dāng)ABD與CBD重合時(shí)，AC0，將ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動，到A，B，C，D四點(diǎn)再共面時(shí)，AC，故AC的取值范圍是0<AC<.4已知A、B表示不同的點(diǎn)，l表示直線，、表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是_Al，A，Bl，Bl；A，A，B，BAB；l，AlA；

5、A，Al，llA.答案5平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為_答案5解析如圖，與AB共面也與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5條題型一平面性質(zhì)的應(yīng)用例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1，O，M共線思維啟迪：證明點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一直線，再證明其余點(diǎn)也在該直線上證明如圖所示，A1AC1C，A1A，C1C確定平面A1C. A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1線A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1與平面A1C的交線上ACBDM，

6、M平面BDC1且M平面A1C，平面BDC1平面A1CC1M，OC1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線探究提高(1)證明若干點(diǎn)共線也可以公理3為依據(jù)，找出兩個(gè)平面的交線，然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn)(2)利用類似方法也可證明線共點(diǎn)問題 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)證明(1)連結(jié)EF，CD1，A1B.E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四點(diǎn)共面(2)EFCD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由PCE，CE平面A

7、BCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE、D1F、DA三線共點(diǎn)題型二空間兩直線的位置關(guān)系例2如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由思維啟迪：第(1)問，連結(jié)MN，AC，證MNAC，即AM與CN共面；第(2)問可采用反證法解(1)不是異面直線理由如下：連結(jié)MN、A1C1、AC.M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，MNAC，A、M、N

8、、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)是異面直線證明如下：ABCDA1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線探究提高(1)證明直線異面通常用反證法；(2)證明直線相交，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等 已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交證明(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為，則B、C

9、、A、D.四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾BC與AD是異面直線(2)如圖，連結(jié)AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG、FH是EFGH的對角線，EG與FH相交題型三異面直線所成的角例3正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小思維啟迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計(jì)算(2)可證A1C1與EF垂直解(1)如圖所示，連結(jié)B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B1C與AC所成的

10、角就是AC與A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)如圖所示，連結(jié)AC、BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.探究提高求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，則異面直線BA1與A

11、C1所成的角等于_答案60°解析如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，AC1BD1.BA1與AC1所成角的大小為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形，A1BD160°.即BA1與AC1成60°的角點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤典例：(5分)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是_(填序號)l1l2，l2l3l1l3；l1l2，l2l3l1l3；l1l2l3l1，l2，l3共面；l1，l2，l3共點(diǎn)l1，l2，l3共面易錯(cuò)分析由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種

12、位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷答案解析當(dāng)l1l2，l2l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面，故不正確；當(dāng)l1l2l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故不正確溫馨提醒(1)平面幾何中的一些定理和結(jié)論在空間中不一定成立，如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立，所以在用一些平面幾何中的定理和結(jié)論時(shí)，必須說明涉及的元素都在某個(gè)平面內(nèi)(2)解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問題的基本思路：一是逐個(gè)判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯(cuò)誤的結(jié)論；

13、二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應(yīng)用要準(zhǔn)確、考慮問題要全面細(xì)致構(gòu)造襯托平面研究直線相交問題典例：(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條審題視角找三條異面直線都相交的直線，可以轉(zhuǎn)化成在一個(gè)平面內(nèi)，作與三條直線都相交的直線因而可考慮過一條直線及另外一條直線上的一點(diǎn)作平面進(jìn)而研究公共交線問題解析方法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條

14、異面直線都有交點(diǎn)如圖所示方法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交答案無數(shù)溫馨提醒(1)本題難度不大，但比較靈活對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查，難度一般都不會太大(2)誤區(qū)警示：本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面，因此失分較多這說明學(xué)生還是缺少空間想象能力，缺少對空間直線位置關(guān)系的理解方法與技巧1主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，

15、再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”)(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理2可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線2判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面3求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往 可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解失誤與防范1全面考慮點(diǎn)

16、、線、面位置關(guān)系的情形，可以借助常見幾何模型2異面直線所成的角范圍是(0°，90°A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：62分)一、填空題(每小題5分，共35分)1若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的_條件答案充分不必要解析若兩條直線無公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)2下列命題正確的個(gè)數(shù)為_經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面梯形可以確定一個(gè)平面兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合答案2解析經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面

17、，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，正確；命題中沒有說清三個(gè)點(diǎn)是否共線，不正確3設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，、表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是_(填序號)Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPb答案解析當(dāng)aP時(shí)，Pa，P，但a，錯(cuò)；aP時(shí)，錯(cuò)；如圖，ab，Pb，Pa，由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，與重合，b，故正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故正確4 . 在正方體ABCDA1B1C1D1中，過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為_答案2解析有2條：A1B和

18、A1C1.5平面、相交，在、內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_個(gè)平面答案1或4解析若過四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線與另外兩點(diǎn)的連線相交或平行，則確定一個(gè)平面；否則確定四個(gè)平面6下列命題中不正確的是_(填序號)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面答案解析沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面，故錯(cuò)；命題錯(cuò)，此時(shí)兩直線有可能相交；命題正確，因?yàn)槿糁本€a和b異面，ca，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若cb，又ca，則ab，這與a，b異面矛盾，故cDb

19、；命題也正確，若c與兩異面直線a，b都相交，由公理3可知，a，c可確定一個(gè)平面，b，c也可確定一個(gè)平面，這樣，a，b，c共確定兩個(gè)平面7(2011·大綱全國)已知正方體ABCDA1 B1 C1 D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_答案解析取A1B1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF.在正方體ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，B1C1BC，EFBC，AEF即為異面直線AE與BC所成的角設(shè)正方體的棱長為a，則AFa，EFa.EF平面ABB1A1，EFAF，AEa.cos AEF.二、解答題(共27分)8(13分) 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形

20、，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解方法一由BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C、D、F、E四點(diǎn)共面方法二如圖所示，延長FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，M，BE綊AF，B為MA的中點(diǎn)BC綊AD，B為MA的中點(diǎn)，M與M重合，即FE與DC交于點(diǎn)M(M)，C、D、

21、F、E四點(diǎn)共面9(14分)如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S4，所以，四棱錐OABCD的體積V×4×2.(2)連結(jié)AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，DE，則EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補(bǔ)角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM為直角三角形，tanEMD.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：35分鐘，滿分：58分)一、填空題(每小題5分，共30分)1. 如圖，l，A

22、、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過點(diǎn)_答案C、M解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理2可知，M在與的交線上同理可知，點(diǎn)C也在與的交線上2. 如圖為棱長是1的正方體的表面展開圖，在原正方體中，給出下列三個(gè)命題：點(diǎn)M到AB的距離為；三棱錐CDNE的體積是；AB與EF所成的角是.其中正確命題的序號是_答案解析依題意可作出正方體的直觀圖，顯然M到AB的距離為MC，正確，而VCDNE××1×1×1，正確，AB與EF所成角為AB與MC所成的角，即為.3以下四個(gè)命題中不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A、B、C

23、、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是_答案1解析假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形4在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)答案解析圖中，直線GHMN；圖中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連結(jié)MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面所以圖、中GH與MN異面5. 如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是_答案解析還原成正四面體知GH與EF為異面